Электрический дипольный момент и степень излучения

Открыть Live Script

Этот пример находит среднее излучение степени двойки притягивания зарядов, движущихся по эллиптической орбите (электрическому диполю).

Общий центр масс

Два противоположных заряда, e1 и e2, образуют электрический диполь. Массы заряженных частиц m1 и m2, соответственно. Для общего центра масс m1*r1 + m2*r2 = 0, где r1 и r2 являются векторами расстояний до заряженных частиц. Расстояние между заряженными частицами r = r1 - r2.

syms m1 m2 e1 e2 r1 r2 r
[r1,r2] = solve(m1*r1 + m2*r2 == 0, r == r1 - r2, r1, r2)

r1 = 
 $\frac{m_{2} r}{m_{1} + m_{2}}$

r2 = 
 $- \frac{m_{1} r}{m_{1} + m_{2}}$

Дипольный Момент

Найдите дипольный момент этой системы:

d = e1*r1 + e2*r2;
simplify(d)

ans = 
 $\frac{r (e_{1} m_{2} - e_{2} m_{1})}{m_{1} + m_{2}}$

Степень излучения в Модуль времени

Согласно формуле Лармора, общая степень, излучаемая за модуль времени, является $J = \frac{2}{3 c^{3}} {d_{}^{¨}}^{2}$ или, с точки зрения расстояния между заряженными частицами, $J = \frac{2}{3 c^{3}} \frac{m 1 m 2}{m 1 + m 2} {(\frac{e 1}{m 1} - \frac{e 2}{m 2})}^{2} {r_{}^{¨}}^{2}$ . Здесь точка означает производную по времени. Закон Кулона $m r_{}^{¨} = - \frac{α}{r^{2}}$ позволяет вам найти значения ускорения $r_{}^{¨}$ с точки зрения уменьшенной массы системы, $m = \frac{m 1 m 2}{m 1 + m 2}$ и продукт зарядов частиц, $α = | e 1 e 2 |$ .

alpha = sym('alpha');
syms m c
m = m1*m2/(m1 + m2);
r2 = -alpha/(m*r^2);

J = simplify(subs(2/(3*c^3)*d^2, r, r2))

J = 
 $\frac{2 α^{2} {(e_{1} m_{2} - e_{2} m_{1})}^{2}}{3 c^{3} {m_{1}}^{2} {m_{2}}^{2} r^{4}}$

Параметры эллиптической орбиты

Основная полуось a и эксцентриситет $ϵ$ эллиптической орбиты задаются следующими выражениями, где E - общая орбитальная энергия, и $L = m r^{2} ϕ_{}^{˙}$ - угловой импульс.

syms E L phi
a = alpha/(2*E)

a = 
 $\frac{α}{2 E}$

eccentricity = sqrt(1-2*E*L^2/(m*alpha^2))

eccentricity = 
 $\sqrt{1 - \frac{2 E L^{2} (m_{1} + m_{2})}{α^{2} m_{1} m_{2}}}$

Уравнение эллиптической орбиты, $1 + ϵ \cos ϕ = a (1 - ϵ^{2}) / r$ , позволяет вам выразить расстояние r в терминах угла phi.

r = a*(1 - eccentricity^2)/(1 + eccentricity*cos(phi));

Средняя степень излучения

Средняя степень двойки заряженных частиц, движущихся по эллиптической орбите, является интегралом степени излучения за один полный цикл движения, нормированный периодом движения, $J_{a v g} = 1 / T \int_{0}^{T} J d t$ . Период движений T является

T = 2*pi*sqrt(m*a^3/alpha);

Изменение переменной интегрирования t на phi, вы получаете следующий результат. Используйте simplify функция для получения более короткого результата интегрирования. Здесь используйте subs для оценки J.

J = subs(J);
Javg = simplify(1/T*int(J*m*r^2/L, phi, 0, 2*pi))

Javg = 
 $- \frac{2 \sqrt{2} α^{2} {(e_{1} m_{2} - e_{2} m_{1})}^{2} (2 E L^{2} m_{1} + 2 E L^{2} m_{2} - 3 α^{2} m_{1} m_{2})}{3 L^{5} c^{3} {(m_{1} + m_{2})}^{3} \sqrt{\frac{α^{2} m_{1} m_{2}}{E^{3} (m_{1} + m_{2})}}}$

Если одна частица намного тяжелее другой

Оцените среднюю степень излучения электрического диполя с одной частицей намного тяжелее, чем выше, m1>>m2. Для этого вычислите предел выражения для степени излучения, принимая, что m1 имеет тенденцию к бесконечности.

limJ = limit(Javg, m1, Inf);
simplify(limJ)

ans = 
 $- \frac{2 \sqrt{2} α^{2} {e_{2}}^{2} (2 E L^{2} - 3 α^{2} m_{2})}{3 L^{5} c^{3} \sqrt{\frac{α^{2} m_{2}}{E^{3}}}}$

Документация