Оценка средней степени, обеспечиваемой ветряным двигателем

Открыть Live Script

Этот пример использует Symbolic Math Toolbox и Statistics and Machine Learning Toolbox, чтобы исследовать и вывести параметрическое аналитическое выражение для средней степени, произведенной ветряным двигателем.

Параметрическое уравнение может использоваться для оценки различных строений ветряного двигателя и мест расположения ветровой электростанции. Более подробную информацию см. в разделе Оценка ветряного ресурса.

Фон

Общая степень, поданная на ветряной двигатель, может быть оценена путем взятия производной от кинетической энергии ветра. Это приводит к следующему выражению:

$P_{w} = \frac{ρ {A u}^{3}}{2}$ (1)

A - площадь , заметаемая турбинными лопатками, в $m^{2}$
.r= плотность воздуха, в $kg / m^{3}$
u = скорость ветра, в $m / s$

Процесс преобразования ветряной степени в электрическую степень результатов в эффективность потерях, как описано на схеме ниже.

Выходная мощность электроэнергии практичного ветряного двигателя может быть описана с помощью следующего уравнения:

$P_{e} = \frac{C_{tot} ρ {Au}^{3}}{2}$ (2) где $C_{tot} = overall efficiency = C_{p} C_{t} C_{g}$

Общая эффективность составляет от 0,3 до 0,5 и изменяется как со скоростью ветра, так и со скоростью вращения турбины. Для фиксированной скорости вращения существует номинальная скорость ветра, при которой электрическая степень, генерируемая ветряным двигателем, близка к своей максимальной ( $P_{er}$ ), и общая эффективность на данной точке обозначена $C_{totR}$ .

$P_{er} = \frac{C_{totR} ρ {Au}^{3}}{2}$ (3)

Принимая фиксированную скорость вращения, выходная мощность электроэнергии ветряного двигателя может быть оценена с помощью следующего профиля:

Где

$u_{r}$ = номинальная скорость ветра
$u_{c}$ = скорость включения, скорость, с которой выходная мощность электроэнергии поднимается выше нуля и начинается выработка степени
$u_{f}$ = скорость ветра чрезмерной закрутки турбины, скорость отключения турбины для предотвращения структурных повреждений

Как видно на рисунке, мы принимаем, что выходная степень увеличивается между $u_{c}$ и $u_{r}$ , тогда находится при постоянном максимальном значении между $u_{r}$ и $u_{f}$ . Степень выхода равна нулю для всех других условий.

Вывод уравнения для средней степени ветряного двигателя

I. Задайте кусочное выражение для степени

Зададим кусочно-линейную функцию, которая опишет степень турбины

syms Per C_1 C_2 k u u_c u_f u_r 
Pe = piecewise(u < u_c, 0, u_c <= u <= u_r, C_1 + C_2 * u^k, (u_r <= u) <= u_f, Per, u_f < u, 0)

Pe = 
 ${\begin{array}{cl} 0 & если u < u_{c} \\ C_{1} + C_{2} u^{k} & если u_{c} \leq u \land u \leq u_{r} \\ Per & если u \leq u_{f} \land u_{r} \leq u \\ 0 & если u_{f} < u \end{array}$

Где переменные $C_{1}$ и $C_{2}$ определяются следующим образом:

C_1 = (Per * u_c^k)/(u_c^k - u_r^k)

C_1 = 
 $\frac{Per {u_{c}}^{k}}{{u_{c}}^{k} - {u_{r}}^{k}}$

C_2 = Per/(u_r^k - u_c^k)

C_2 = 
 $- \frac{Per}{{u_{c}}^{k} - {u_{r}}^{k}}$

II. Определить внешние условия по ветру

Номинальная выходная мощность степени служит хорошим показателем того, какую мощность способно создание ветряной двигатель, однако мы хотели бы оценить, какую степень (на среднее значение) ветряной двигатель производит на самом деле. Чтобы вычислить среднюю степень, мы должны принять во внимание внешние условия по ветру. При моделировании отклонений по ветру хорошее приближение дает распределение Вейбула (Weibull), поэтому профиль ветра может быть оценен с помощью следующей функции плотности вероятностей:

$f (u) = \frac{(\frac{b}{a}) {(\frac{u}{a})}^{b - 1}}{e^{{(\frac{u}{a})}^{b}}}$ (4)

В целом, большие значения 'a' указывают на более высокую медианную скорость ветра, а большие значения 'b' указывают на уменьшенную изменчивость.

Мы используем Statistics and Machine Learning Toolbox, чтобы сгенерировать распределение Вейбула и проиллюстрировать изменчивость ветра на нашем месте расположения ветровой электростанции (a = 12.5, b = 2.2):

a = 12.5;
b = 2.2;
N = 1000;
pd = makedist('Weibull','a',a,'b',b)

pd = 
  WeibullDistribution

  Weibull distribution
    A = 12.5
    B =  2.2

r = wblrnd(a,b,[1 N])

r = 1×1000

    6.0811    4.3679   17.3751    4.1966    8.7677   18.3517   13.9761    9.9363    3.0039    2.7496   16.5233    2.5333    3.0151   10.7854    6.3169   16.9442   11.6922    4.1418    6.4460    2.9379    8.4449   21.6033    5.4887    3.6903    8.1241    6.9789    7.1974   12.1293    8.4485   16.1833    7.7371   21.9390   14.0043   20.8297   18.3668    5.9351    7.8970   13.3122    3.2335   21.7093   11.4461   12.2905    6.8609    6.3983   15.8128   10.7241   11.3478    8.5754    7.6896    7.0249

x = linspace(0,34,N);
y = pdf(pd,x);
plot(x,y,'LineWidth',2)
hold on 
histogram(r,15,'Normalization','pdf')
hold off
title('Weibull Distribution of Wind Speeds')
xlabel('Wind Speed (m/s)')

Figure contains an axes. The axes with title Weibull Distribution of Wind Speeds contains 2 objects of type line, histogram.

III. Вычисление средней степени

Средняя степень выхода от ветряного двигателя может быть получено с помощью следующего интеграла:

$P e_{a v e r a g e} = \int_{0}^{\infty} P e (u) f (u) d u$ (5)

Степень равна нулю, когда скорость ветра меньше, чем скорость обрыва ветра $u_{c}$ и больше, чем скорость ветра чрезмерной закрутки турбины $u_{f}$ . Поэтому интеграл может быть выражен следующим образом:

$P e_{a v e r a g e} = C_{1} (\int_{u_{c}}^{u_{r}} f (u) d u) + C_{2} (\int_{u_{c}}^{u_{r}} u^{b} f (u) d u) + P e r (\int_{u_{r}}^{u_{f}} f (u) d u)$ (6)

Существует два разных интеграла в уравнении (7). Мы включим уравнение (4) в эти интегралы и упростим их с помощью замен: $x = {(\frac{u}{a})}^{b}$ и $d x = (\frac{b}{a}) {(\frac{u}{a})}^{b - 1} d u$ . Это упрощает наши исходные интегралы к следующему:

$\int f (u) d u = \int \frac{1}{e^{x}} d x$ (7)

$\int u^{b} f (u) d u = a^{b} (\int \frac{x}{e^{x}} d x)$ (8)

Решение этих интегралов и последующая замена x на ${(\frac{u}{a})}^{b}$ приводит к:

syms a b x
int1 = int(exp(-x), x);
int1 = subs(int1, x, (u/a)^b)

int1 = 
 $- e^{- {(\frac{u}{a})}^{b}}$

int2 = int(x * exp(-x) * a^b, x);
int2 = subs(int2, x, (u/a)^b)

int2 = 
 $- a^{b} e^{- {(\frac{u}{a})}^{b}} ({(\frac{u}{a})}^{b} + 1)$

Подстановка результатов вычисления в уравнение (6) приводит в выражении к уравнению для средней выходной степени ветряного двигателя.

Peavg = subs(C_1 * int1, u, u_r) - subs(C_1 * int1, u, u_c) + subs(C_2 * int2, u, u_r) - subs(C_2 * int2, u, u_c) + subs(Per * int1, u, u_f) - subs(Per * int1, u, u_r)

Peavg = 
 $\begin{array}{l} Per σ_{2} - Per e^{- {(\frac{u_{f}}{a})}^{b}} + \frac{Per {u_{c}}^{k} e^{- {(\frac{u_{c}}{a})}^{b}}}{σ_{1}} - \frac{Per {u_{c}}^{k} σ_{2}}{σ_{1}} - \frac{Per a^{b} e^{- {(\frac{u_{c}}{a})}^{b}} ({(\frac{u_{c}}{a})}^{b} + 1)}{σ_{1}} + \frac{Per a^{b} σ_{2} ({(\frac{u_{r}}{a})}^{b} + 1)}{σ_{1}} \\ where \\ σ_{1} = {u_{c}}^{k} - {u_{r}}^{k} \\ σ_{2} = e^{- {(\frac{u_{r}}{a})}^{b}} \end{array}$

IV. Заключение

Мы использовали Symbolic Math Toolbox, чтобы разработать параметрическое уравнение, которое может использоваться для выполнения симуляции для определения средней степени, произведенной для различных строений ветряного двигателя и мест расположения ветровой электростанции.

Документация