Исследование однопериодического арбитража по активам

Этот пример исследует основные арбитражные концепции в однопериодическом портфеле активов с двумя состояниями. Портфель состоит из облигации, длинного запаса и длинной опции на акции.

Он использует эти функции Symbolic Math Toolbox™:

  • equationsToMatrix для преобразования линейной системы уравнений в матрицу.

  • linsolve для решения системы.

  • Символьные эквиваленты стандартных функций MATLAB ®, такие как diag.

Этот пример символически выводит нейтральные к риску вероятности и вызывает цену для сценария с одним периодом и двумя состояниями.

Определите параметры портфеля

Создайте символьную переменную r представление безрисковой ставки за период. Установите предположение, что r является положительным значением.

syms r positive

Определите параметры для начала одного периода, time = 0. Вот S0 - цена акций, и C0 - вызов опции цена со страйком, K.

syms S0 C0 K positive

Теперь определите параметры для конца периода, time = 1. Пометьте два возможных состояния в конце периода как U (цена акций за этот период повышается) и D (цена акций за этот период снижается). Таким образом, SU и SD цены акций в состояниях U и D, и CU - значение вызова в состоянии U. Обратите внимание, что SD<=K<=SU.

syms SU SD CU positive

Цена облигаций в time = 0 равен 1. Обратите внимание, что этот пример игнорирует затраты на трение.

Собирайте цены по time = 0 в вектор-столбец.

prices = [1 S0 C0]'
prices = 

(1S0C0)[sym (1); S0; C0]

Собирайте выплаты портфеля по адресу time = 1 в payoff матрица. Столбцы payoff соответствуют выплате для состояний D и U. Строки соответствуют выплате для облигации, акции и вызова. Выплата по облигации 1 + r. Выплата для вызова в состоянии D равна нулю, поскольку она не выполняется (потому что SD<=K).

payoff = [(1 + r), (1 + r); SD, SU; 0, CU]
payoff = 

(r+1r+1SDSU0CU)[r + 1, r + 1; SD, SU; sym (0), CU]

CU стоит SU - K в состоянии U. Заменить это значение на payoff.

payoff = subs(payoff, CU, SU - K)
payoff = 

(r+1r+1SDSU0SU-K)[r + 1, r + 1; SD, SU; sym (0), SU - K]

Решение для риск-нейтральных вероятностей

Задайте вероятности достижения состояний U и D.

syms pU pD real

Без арбитража, eqns == 0 всегда должно соответствовать положительным pU и pD.

eqns = payoff*[pD; pU] - prices
eqns = 

(pDr+1+pUr+1-1SDpD-S0+SUpU-C0-pUK-SU)[pD * (r + 1) + pU * (r + 1) - 1; SD * pD - S0 + SU * pU; - C0 - pU * (K - SU)]

Преобразуйте уравнения, чтобы использовать нейтральные к риску вероятности.

syms pDrn pUrn real;
eqns = subs(eqns, [pD; pU], [pDrn; pUrn]/(1 + r))
eqns = 

(pDrn+pUrn-1SDpDrnr+1-S0+SUpUrnr+1-C0-pUrnK-SUr+1)[pDrn + pUrn - 1; (SD * pDrn )/( r + 1) - S0 + (SU * pUrn )/( r + 1); - C0 - (pUrn * (K - SU) )/( r + 1)]

Неизвестные переменные pDrn, pUrn, и C0. Преобразуйте линейную систему в матричную форму, используя эти неизвестные переменные.

[A, b] = equationsToMatrix(eqns, [pDrn, pUrn, C0]')
A = 

(110SDr+1SUr+100-K-SUr+1-1)[sym (1), sym (1), sym (0); SD/( r + 1), SU/( r + 1), sym (0); sym (0), - (K-SU )/( r + 1), -sym (1)]

b = 

(1S00)[sym (1); S0; sym (0)]

Использование linsolve, найдите решение для нейтральных к риску вероятностей и цены вызова.

x = linsolve(A, b)
x = 

(S0-SU+S0rSD-SU-S0-SD+S0rSD-SUK-SUS0-SD+S0rSD-SUr+1)[(S0 - SU + S0 * r )/( SD - SU); - (S0 - SD + S0 * r )/( SD - SU); ((K - SU) * (S0 - SD + S0 * r) )/( (SD - SU) * (r + 1))]

Проверьте решение

Проверьте, что при нейтральных к риску вероятностях x(1:2), ожидаемая норма возврата для портфеля, E_return равен безрисковой ставке, r.

E_return = diag(prices)\(payoff - [prices,prices])*x(1:2);
E_return = simplify(subs(E_return, C0, x(3)))
E_return = 

(rrr)[r; r; r]

Тест на нарушения без арбитража

В качестве примера проверки нарушений без арбитража используйте следующие значения: r = 5%, S0 = 100, и K = 100. Для SU < 105условие отсутствия арбитража нарушается из-за pDrn = xSol(1) отрицательно (SU >= SD). Далее, для любой цены вызова кроме xSol(3), есть арбитража.

xSol = simplify(subs(x, [r,S0,K], [0.05,100,100]))
xSol = 

(-SU-105SD-SUSD-105SD-SU20SD-105SU-10021SD-SU)[- (SU-105 )/( SD-SU); (SD-105 )/( SD-SU); (20 * (SD - 105) * (SU - 100) )/( 21 * (SD - SU))]

Постройте график цены вызова как поверхности

Постройте график стоимости вызова, C0 = xSol(3), для 50 <= SD <= 100 и 105 <= SU <= 150. Обратите внимание, что вызов стоит больше, когда «отклонение» базовой цены акций выше, например SD = 50, SU = 150.

fsurf(xSol(3), [50,100,105,150])
xlabel SD
ylabel SU
title 'Call Price'

Figure contains an axes. The axes with title Call Price contains an object of type functionsurface.

Ссылка

Advanced Derivatives, Pricing and Risk Management: Theory, Tools and Programming Applications Альбанезе, К., Кампольети, Г.

Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте