Исследование однопериодического арбитража по активам

Открыть Live Script

Этот пример исследует основные арбитражные концепции в однопериодическом портфеле активов с двумя состояниями. Портфель состоит из облигации, длинного запаса и длинной опции на акции.

Он использует эти функции Symbolic Math Toolbox™:

equationsToMatrix для преобразования линейной системы уравнений в матрицу.
linsolve для решения системы.
Символьные эквиваленты стандартных функций MATLAB ®, такие как diag.

Этот пример символически выводит нейтральные к риску вероятности и вызывает цену для сценария с одним периодом и двумя состояниями.

Определите параметры портфеля

Создайте символьную переменную r представление безрисковой ставки за период. Установите предположение, что r является положительным значением.

syms r positive

Определите параметры для начала одного периода, time = 0. Вот S0 - цена акций, и C0 - вызов опции цена со страйком, K.

syms S0 C0 K positive

Теперь определите параметры для конца периода, time = 1. Пометьте два возможных состояния в конце периода как U (цена акций за этот период повышается) и D (цена акций за этот период снижается). Таким образом, SU и SD цены акций в состояниях U и D, и CU - значение вызова в состоянии U. Обратите внимание, что $S D < = K < = S U$ .

syms SU SD CU positive

Цена облигаций в time = 0 равен 1. Обратите внимание, что этот пример игнорирует затраты на трение.

Собирайте цены по time = 0 в вектор-столбец.

prices = [1 S0 C0]'

prices = 
 $(\begin{array}{c} 1 \\ S_{0} \\ C_{0} \end{array})$

Собирайте выплаты портфеля по адресу time = 1 в payoff матрица. Столбцы payoff соответствуют выплате для состояний D и U. Строки соответствуют выплате для облигации, акции и вызова. Выплата по облигации 1 + r. Выплата для вызова в состоянии D равна нулю, поскольку она не выполняется (потому что $S D < = K$ ).

payoff = [(1 + r), (1 + r); SD, SU; 0, CU]

payoff = 
 $(\begin{array}{c} r + 1 & r + 1 \\ SD & SU \\ 0 & CU \end{array})$

CU стоит SU - K в состоянии U. Заменить это значение на payoff.

payoff = subs(payoff, CU, SU - K)

payoff = 
 $(\begin{array}{c} r + 1 & r + 1 \\ SD & SU \\ 0 & SU - K \end{array})$

Решение для риск-нейтральных вероятностей

Задайте вероятности достижения состояний U и D.

syms pU pD real

Без арбитража, eqns == 0 всегда должно соответствовать положительным pU и pD.

eqns = payoff*[pD; pU] - prices

eqns = 
 $(\begin{array}{c} pD (r + 1) + pU (r + 1) - 1 \\ SD pD - S_{0} + SU pU \\ - C_{0} - pU (K - SU) \end{array})$

Преобразуйте уравнения, чтобы использовать нейтральные к риску вероятности.

syms pDrn pUrn real;
eqns = subs(eqns, [pD; pU], [pDrn; pUrn]/(1 + r))

eqns = 
 $(\begin{array}{c} pDrn + pUrn - 1 \\ \frac{SD pDrn}{r + 1} - S_{0} + \frac{SU pUrn}{r + 1} \\ - C_{0} - \frac{pUrn (K - SU)}{r + 1} \end{array})$

Неизвестные переменные pDrn, pUrn, и C0. Преобразуйте линейную систему в матричную форму, используя эти неизвестные переменные.

[A, b] = equationsToMatrix(eqns, [pDrn, pUrn, C0]')

A = 
 $(\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ \frac{SD}{r + 1} & \frac{SU}{r + 1} & 0 \\ 0 & - \frac{K - SU}{r + 1} & - 1 \end{array})$

b = 
 $(\begin{array}{c} 1 \\ S_{0} \\ 0 \end{array})$

Использование linsolve, найдите решение для нейтральных к риску вероятностей и цены вызова.

x = linsolve(A, b)

x = 
 $(\begin{array}{c} \frac{S_{0} - SU + S_{0} r}{SD - SU} \\ - \frac{S_{0} - SD + S_{0} r}{SD - SU} \\ \frac{(K - SU) (S_{0} - SD + S_{0} r)}{(SD - SU) (r + 1)} \end{array})$

Проверьте решение

Проверьте, что при нейтральных к риску вероятностях x(1:2), ожидаемая норма возврата для портфеля, E_return равен безрисковой ставке, r.

E_return = diag(prices)\(payoff - [prices,prices])*x(1:2);
E_return = simplify(subs(E_return, C0, x(3)))

E_return = 
 $(\begin{array}{c} r \\ r \\ r \end{array})$

Тест на нарушения без арбитража

В качестве примера проверки нарушений без арбитража используйте следующие значения: r = 5%, S0 = 100, и K = 100. Для SU < 105условие отсутствия арбитража нарушается из-за pDrn = xSol(1) отрицательно (SU >= SD). Далее, для любой цены вызова кроме xSol(3), есть арбитража.

xSol = simplify(subs(x, [r,S0,K], [0.05,100,100]))

xSol = 
 $(\begin{array}{c} - \frac{SU - 105}{SD - SU} \\ \frac{SD - 105}{SD - SU} \\ \frac{20 (SD - 105) (SU - 100)}{21 (SD - SU)} \end{array})$

Постройте график цены вызова как поверхности

Постройте график стоимости вызова, C0 = xSol(3), для 50 <= SD <= 100 и 105 <= SU <= 150. Обратите внимание, что вызов стоит больше, когда «отклонение» базовой цены акций выше, например SD = 50, SU = 150.

fsurf(xSol(3), [50,100,105,150])
xlabel SD
ylabel SU
title 'Call Price'

Figure contains an axes. The axes with title Call Price contains an object of type functionsurface.

Ссылка

Advanced Derivatives, Pricing and Risk Management: Theory, Tools and Programming Applications Альбанезе, К., Кампольети, Г.

Документация