Задайте функцию

Функция в этом примере является

Во-первых, создайте функцию.

syms x
num = 3*x^2 + 6*x -1;
denom = x^2 + x - 3;
f = num/denom

f = 
$$\frac{3\hspace{0.17em}{x}^2+6\hspace{0.17em}x-1}{x^2+x-3}$$

Постройте график функции при помощи fplot. The fplot функция автоматически показывает вертикальные асимптоты.

fplot(f)

Найти асимптоты

Чтобы найти горизонтальную асимптоту $$f$$ математически примите предел $$f$$ как $$x$$ приближается к положительной бесконечности.

limit(f,Inf)

ans = $$3$$

Предел как $$x$$ приближается к отрицательной бесконечности также 3. Этот результат означает линию $$y=3$$ является горизонтальной асимптотой, $$f$$.

Чтобы найти вертикальные асимптоты $$f$$, установите знаменатель равным 0 и решите его.

roots = solve(denom)

roots = 
$$\left(\begin{array}{c}-\frac{\sqrt{13}}{2}-\frac{1}{2}\\ \frac{\sqrt{13}}{2}-\frac{1}{2}\end{array}\right)$$

roots указывает, что вертикальные асимптоты являются линиями

и

$\mathit{x}=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$.

Поиск максимального и минимального

На графике можно увидеть, что $$f$$ имеет локальный максимум между точками $$x=–2$$ и $$x=0$$. Это также имеет локальный минимум между $$x=–6$$ и $$x=–2$$. Чтобы найти $$x$$-координаты максимума и минимума, сначала возьмите производную от $$f$$.

f1 = diff(f)

f1 = 
$$\frac{6\hspace{0.17em}x+6}{x^2+x-3}-\frac{\left(2\hspace{0.17em}x+1\right)\hspace{0.17em}\left(3\hspace{0.17em}{x}^2+6\hspace{0.17em}x-1\right)}{{\left(x^2+x-3\right)}^2}$$

Чтобы упростить это выражение, введите следующее.

f1 = simplify(f1)

f1 = 
$$-\frac{3\hspace{0.17em}{x}^2+16\hspace{0.17em}x+17}{{\left(x^2+x-3\right)}^2}$$

Затем установите производную равной 0 и решите для критических точек.

crit_pts = solve(f1)

crit_pts = 
$$\left(\begin{array}{c}-\frac{\sqrt{13}}{3}-\frac{8}{3}\\ \frac{\sqrt{13}}{3}-\frac{8}{3}\end{array}\right)$$

Как график $$f$$ показывает, что функция имеет локальный минимум в

и локальный максимум в

${\mathit{x}}_1=\frac{-8+\sqrt{13}}{3}$.

Постройте график максимума и минимума f.

fplot(f)
hold on
plot(double(crit_pts), double(subs(f,crit_pts)),'ro')
title('Maximum and Minimum of f')
text(-4.8,5.5,'Local minimum')
text(-2,4,'Local maximum')
hold off

Найти точку перегиба

Чтобы найти точку перегиба $$f$$установите вторую производную равной 0 и решите для этого условия.

f2 = diff(f1);
inflec_pt = solve(f2,'MaxDegree',3);
double(inflec_pt)

ans = 3×1 complex

  -5.2635 + 0.0000i
  -1.3682 - 0.8511i
  -1.3682 + 0.8511i

В этом примере только первый элемент является вещественным числом, поэтому это единственная точка перегиба. MATLAB ® не всегда возвращает корни к уравнению в том же порядке.

Вместо выбора реального корня путем индексации в inter_pt, идентифицируйте действительный корень путем определения, какие корни имеют нулевую мнимую часть.

idx = imag(double(inflec_pt)) == 0;
inflec_pt = inflec_pt(idx)

inflec_pt = 
$$-\frac{13}{9\hspace{0.17em}{\left(\frac{169}{54}-\frac{\sqrt{2197}}{18}\right)}^{1/3}}-{\left(\frac{169}{54}-\frac{\sqrt{2197}}{18}\right)}^{1/3}-\frac{8}{3}$$

Постройте график точки перегиба. Дополнительный аргумент [-9 6] в fplot расширяет область значений $$x$$ значения на графике так, чтобы вы могли видеть точку перегиба более четко, как показано на рисунке.

fplot(f,[-9 6])
hold on
plot(double(inflec_pt), double(subs(f,inflec_pt)),'ro')
title('Inflection Point of f')
text(-7,1,'Inflection point')
hold off