Определенный интеграл

Покажите, что определенный интеграл $$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$$ для $$f(x)=sin(x)$$ на $$[\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}]$$ равен 0.

syms x
int(sin(x),pi/2,3*pi/2)

ans = $$0$$

Определенные интегралы в максимумах и минимумах

Максимизировать $$F(a)={\int }_{-a}^a\sin (ax)\sin (x/a)dx$$ для $$a\ge 0$$, во-первых, задайте символические переменные и примите, что $$a\ge 0$$:

syms a x
assume(a >= 0);

Затем задайте функцию, чтобы максимизировать:

F = int(sin(a*x)*sin(x/a),x,-a,a)

F = 
$$\{\begin{array}{cl}1-\frac{\sin \left(2\right)}{2}& \text{ если }a=1\\ \frac{2\hspace{0.17em}a\hspace{0.17em}\left(\sin \left(a^2\right)\hspace{0.17em}\cos \left(1\right)-a^2\hspace{0.17em}\cos \left(a^2\right)\hspace{0.17em}\sin \left(1\right)\right)}{a^4-1}& \text{ если }a\ne 1\end{array}$$

Обратите внимание на специальный случай здесь для $$a=1$$. Чтобы облегчить расчеты, используйте assumeAlso игнорировать эту возможность (и позже проверить, что $$a=1$$ не является максимальным):

assumeAlso(a ~= 1);
F = int(sin(a*x)*sin(x/a),x,-a,a)

F = 
$$\frac{2\hspace{0.17em}a\hspace{0.17em}\left(\sin \left(a^2\right)\hspace{0.17em}\cos \left(1\right)-a^2\hspace{0.17em}\cos \left(a^2\right)\hspace{0.17em}\sin \left(1\right)\right)}{a^4-1}$$

Создайте график из $$F$$ для проверки его формы:

fplot(F,[0 10])

Использование diff чтобы найти производную от $$F$$ по отношению к $$a$$:

Fa = diff(F,a)

Fa = 
$$\begin{array}{l}\frac{2\hspace{0.17em}{\sigma }_1}{a^4-1}+\frac{2\hspace{0.17em}a\hspace{0.17em}\left(2\hspace{0.17em}a\hspace{0.17em}\cos \left(a^2\right)\hspace{0.17em}\cos \left(1\right)-2\hspace{0.17em}a\hspace{0.17em}\cos \left(a^2\right)\hspace{0.17em}\sin \left(1\right)+2\hspace{0.17em}{a}^3\hspace{0.17em}\sin \left(a^2\right)\hspace{0.17em}\sin \left(1\right)\right)}{a^4-1}-\frac{8\hspace{0.17em}{a}^4\hspace{0.17em}{\sigma }_1}{{\left(a^4-1\right)}^2}\\ \\ \mathrm{where}\\ \\ \mathrm{ }{\sigma }_1=\sin \left(a^2\right)\hspace{0.17em}\cos \left(1\right)-a^2\hspace{0.17em}\cos \left(a^2\right)\hspace{0.17em}\sin \left(1\right)\end{array}$$

Нули $$Fa$$ являются локальным экстремумом $$F$$:

hold on
fplot(Fa,[0 10])
grid on

Максимальное значение находится между 1 и 2. Использование vpasolve чтобы найти приближение нуля $$Fa$$ в этом интервале:

a_max = vpasolve(Fa,a,[1,2])

a_max = $$1.5782881585233198075558845180583$$

Использование subs для получения максимального значения интеграла:

F_max = subs(F,a,a_max)

F_max = $$0.36730152527504169588661811770092\hspace{0.17em}\cos \left(1\right)+1.2020566879911789986062956284113\hspace{0.17em}\sin \left(1\right)$$

Результат все еще содержит точные числа $$\sin (1)$$ и $$\cos (1)$$. Использование vpa чтобы заменить их численными приближениями:

vpa(F_max)

ans = $$1.2099496860938456039155811226054$$

Проверяйте, что исключенный случай $$a=1$$ не приводит к большему значению:

vpa(int(sin(x)*sin(x),x,-1,1))

ans = $$0.54535128658715915230199006704413$$

Множественное интегрирование

Численное интегрирование по более высоким размерным областям имеет специальные функции:

integral2(@(x,y) x.^2-y.^2,0,1,0,1)

ans = 4.0127e-19

Нет таких специальных функций для высокомерного символического интегрирования. Вместо этого используйте вложенные одномерные интегралы:

syms x y
int(int(x^2-y^2,y,0,1),x,0,1)

ans = $$0$$

Интегралы линий

Задайте векторное поле F в 3D пространстве:

syms x y z
F(x,y,z) = [x^2*y*z, x*y, 2*y*z];

Далее задайте кривую:

syms t
ux(t) = sin(t);
uy(t) = t^2-t;
uz(t) = t;

Интеграл линии F вдоль кривой u определяется как $$\int f\cdot du=\int f(ux(t),uy(t),uz(t))\cdot \frac{du}{dt}dt$$, где $$\cdot$$ с правой стороны обозначает скалярный продукт.

Используйте это определение для вычисления интеграла линии для $$t$$ от $$[0,1]$$

F_int = int(F(ux,uy,uz)*diff([ux;uy;uz],t),t,0,1)

F_int = 
$$\frac{19\hspace{0.17em}\cos \left(1\right)}{4}-\frac{\cos \left(3\right)}{108}-12\hspace{0.17em}\sin \left(1\right)+\frac{\sin \left(3\right)}{27}+\frac{395}{54}$$

Получите численное приближение этого точного результата:

vpa(F_int)

ans = $$-0.20200778585035447453044423341349$$