Жорданова каноническая форма (Жорданова нормальная форма) результатов от попытки преобразовать матрицу в свою диагональную форму путем преобразования подобия. Для заданной матричной A, найти несингулярную матрицу V, так что inv(V)*A*Vили, более кратко, J = V\A*V, является «как можно ближе к диагонали». Для почти всех матриц жорданова каноническая форма является диагональной матрицей собственных значений, а столбцы матрицы преобразования являются собственными векторами. Это всегда происходит, если матрица симметричная или если она имеет отдельные собственные значения. Некоторые несимметричные матрицы с несколькими собственными значениями не могут быть преобразованы в диагональные формы. У Жорданова форма есть собственные значения на своей диагонали, но некоторые из сверхдиагональных элементов - единица, вместо нуля. Оператор
J = jordan(A)
вычисляет Жорданову каноническую форму A. Оператор
[V,J] = jordan(A)
также вычисляет преобразование подобия где J = inv(V)*A*V. Столбцы V являются обобщенными собственными векторами A.
Эта Жорданова форма чрезвычайно чувствителен к изменениям. Практически любое изменение в A приводит к тому, что его жорданова форма будет диагональной. Это подразумевает, что A должна быть точно известна (то есть без круговой ошибки и т.д.) и очень затрудняет надежное вычисление жордановой формы с помощью арифметики с плавающей точкой. Таким образом, вычисление Жордановой формы со значениями с плавающей точкой ненадежно и не рекомендуемо.
Для примера позвольте
A = sym([12,32,66,116;-25,-76,-164,-294;
21,66,143,256;-6,-19,-41,-73])A = [ 12, 32, 66, 116] [ -25, -76, -164, -294] [ 21, 66, 143, 256] [ -6, -19, -41, -73]
Тогда
[V,J] = jordan(A)
производит
V = [ 4, -2, 4, 3] [ -6, 8, -11, -8] [ 4, -7, 10, 7] [ -1, 2, -3, -2] J = [ 1, 1, 0, 0] [ 0, 1, 0, 0] [ 0, 0, 2, 1] [ 0, 0, 0, 2]
Показать, что J и inv(V)*A*V равны при помощи isequal. isequal функция возвращает логический 1 (true) что означает, что входы равны.
isequal(J, inv(V)*A*V)
ans = logical 1
Из J, мы видим это A имеет двойное собственное значение в 1, с одной матрицей Жордана и двойное собственное значение в 2, также с одной матрицей Жордана. Матрица имеет только два собственных векторов, V(:,1) и V(:,3). Они удовлетворяют
A*V(:,1) = 1*V(:,1) A*V(:,3) = 2*V(:,3)
Другие два столбца V являются обобщенными собственными векторами степени 2. Они удовлетворяют
A*V(:,2) = 1*V(:,2) + V(:,1) A*V(:,4) = 2*V(:,4) + V(:,3)
В математическом обозначении, с vj = v(:,j), столбцы V и собственные значения удовлетворяют отношениям