Введение

Представьте, как десантник выпрыгивает из самолета. Предположим, что на десантника действуют только две силы: гравитационная сила и противоположная сила сопротивления от парашюта. Сила сопротивления пропорциональна скорости в квадрате десантника.

Сетевая сила, действующая на десантника, может быть выражена как

$$\mathrm{mass}\cdot \mathrm{acceleration}=\mathrm{drag}\mathrm{force}-\mathrm{gravitational}\mathrm{force}$$,

$$\mathit{m}\frac{\partial }{\partial \mathit{t}}\mathit{v}\left(\mathit{t}\right)={\mathit{c}}_{\mathit{d}}{\mathit{v}\left(\mathit{t}\right)}^2-\mathit{m}\mathit{g}$$,

где

Задайте и решите уравнение движения

Задайте дифференциальное уравнение, описывающее уравнение движения.

syms g m c_d
syms v(t)
eq = m*diff(v(t),t) + m*g == c_d*v(t)^2

eq = 
$$m\hspace{0.17em}\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }v\left(t\right)+g\hspace{0.17em}m=c_d\hspace{0.17em}{v\left(t\right)}^2$$

Предположим, что парашют открывается сразу при $\mathit{t}=0$ так что уравнение eq действителен для всех значений $\mathit{t}\ge 0$. Решить дифференциальное уравнение аналитически используя dsolve с начальным условием $\mathit{v}\left(0\right)=0$. Решение представляет скорость десантника как функцию времени.

velocity = simplify(dsolve(eq, v(0) == 0))

velocity = 
$$-\frac{\sqrt{g}\hspace{0.17em}\sqrt{m}\hspace{0.17em}\tanh \left(\frac{\sqrt{c_d}\hspace{0.17em}\sqrt{g}\hspace{0.17em}t}{\sqrt{m}}\right)}{\sqrt{c_d}}$$

Поиск модуля константы перетаскивания

Найдите модуль СИ константы перетаскивания $$c_d$$.

Силовой модуль СИ является Ньютон $\left(\mathit{N}\right)$. С точки зрения базовых модулей, Newton is $\left(\frac{\mathrm{kg}\cdot \mathit{m}}{{\mathit{s}}^2}\right)$. Поскольку они эквивалентны, они имеют единичный коэффициент преобразования 1.

u = symunit;
unitConversionFactor(u.N, u.kg*u.m/u.s^2)

ans = $$1$$

Сила перетаскивания ${\mathit{c}}_{\mathit{d}}{\mathit{v}\left(\mathit{t}\right)}^2$ должно иметь тот же модуль в Ньютоне $\left(\mathit{N}\right)$ как гравитационная сила $$mg$$. Используя размерный анализ, решите для модуля $$c_d$$.

syms drag_units_SI
drag_units_SI = simplify(solve(drag_units_SI * (u.m / u.s)^2 == u.N))

drag_units_SI = 
$$1\hspace{0.17em}\frac{\mathrm{kg}\mathrm{"kilogram\; -\; a\; physical\; unit\; of\; mass."}}{\mathrm{m}\mathrm{"meter\; -\; a\; physical\; unit\; of\; length."}}$$

Оценка конечной скорости

Опишите движение десантника путем определения следующих значений.

Замените эти значения в скоростное уравнение и упростите результат.

vel_SI = subs(velocity,[g,m,c_d],[9.81*u.m/u.s^2, 70*u.kg, 40*drag_units_SI])

vel_SI = 
$$-\frac{\tanh \left(\frac{t\hspace{0.17em}\sqrt{40\hspace{0.17em}\frac{\mathrm{kg}\mathrm{"kilogram\; -\; a\; physical\; unit\; of\; mass."}}{\mathrm{m}\mathrm{"meter\; -\; a\; physical\; unit\; of\; length."}}}\hspace{0.17em}\sqrt{\frac{981}{100}\hspace{0.17em}\frac{\mathrm{m}\mathrm{"meter\; -\; a\; physical\; unit\; of\; length."}}{{\mathrm{s}\mathrm{"second\; -\; a\; physical\; unit\; of\; time."}}^2}}}{\sqrt{70\hspace{0.17em}\mathrm{kg}\mathrm{"kilogram\; -\; a\; physical\; unit\; of\; mass."}}}\right)\hspace{0.17em}\sqrt{70\hspace{0.17em}\mathrm{kg}\mathrm{"kilogram\; -\; a\; physical\; unit\; of\; mass."}}\hspace{0.17em}\sqrt{\frac{981}{100}\hspace{0.17em}\frac{\mathrm{m}\mathrm{"meter\; -\; a\; physical\; unit\; of\; length."}}{{\mathrm{s}\mathrm{"second\; -\; a\; physical\; unit\; of\; time."}}^2}}}{\sqrt{40\hspace{0.17em}\frac{\mathrm{kg}\mathrm{"kilogram\; -\; a\; physical\; unit\; of\; mass."}}{\mathrm{m}\mathrm{"meter\; -\; a\; physical\; unit\; of\; length."}}}}$$

vel_SI = simplify(vel_SI)

vel_SI = 
$$-\frac{3\hspace{0.17em}\sqrt{763}\hspace{0.17em}\tanh \left(\frac{3\hspace{0.17em}\sqrt{763}\hspace{0.17em}t}{35}\hspace{0.17em}\frac{1}{\mathrm{s}\mathrm{"second\; -\; a\; physical\; unit\; of\; time."}}\right)}{20}\hspace{0.17em}\frac{\mathrm{m}\mathrm{"meter\; -\; a\; physical\; unit\; of\; length."}}{\mathrm{s}\mathrm{"second\; -\; a\; physical\; unit\; of\; time."}}$$

Вычислите численное приближение скорости к 3 значащим цифрам.

digits(3)
vel_SI = vpa(vel_SI)

vel_SI = 
$$-4.14\hspace{0.17em}\tanh \left(2.37\hspace{0.17em}t\hspace{0.17em}\frac{1}{\mathrm{s}\mathrm{"second\; -\; a\; physical\; unit\; of\; time."}}\right)\hspace{0.17em}\frac{\mathrm{m}\mathrm{"meter\; -\; a\; physical\; unit\; of\; length."}}{\mathrm{s}\mathrm{"second\; -\; a\; physical\; unit\; of\; time."}}$$

Десантник приближается к постоянной скорости, когда сила тяжести уравновешивается силой сопротивления. Это называется конечной скоростью и происходит, когда сила сопротивления от парашюта отменяет силу свободного падения (дальнейшее ускорение отсутствует). Найдите конечную скорость, взяв предел $\mathit{t}⟶\infty$.

vel_term_SI = limit(vel_SI, t, Inf)

vel_term_SI = 
$$-4.14\hspace{0.17em}\frac{\mathrm{m}\mathrm{"meter\; -\; a\; physical\; unit\; of\; length."}}{\mathrm{s}\mathrm{"second\; -\; a\; physical\; unit\; of\; time."}}$$

Преобразуйте скорость в имперские модули

Наконец, преобразуйте функцию скорости из модулей СИ в имперские модули.

vel_Imperial = rewrite(vel_SI,u.ft)

vel_Imperial = 
$$-13.6\hspace{0.17em}\tanh \left(2.37\hspace{0.17em}t\hspace{0.17em}\frac{1}{\mathrm{s}\mathrm{"second\; -\; a\; physical\; unit\; of\; time."}}\right)\hspace{0.17em}\frac{\mathrm{ft}\mathrm{"foot\; -\; a\; physical\; unit\; of\; length."}}{\mathrm{s}\mathrm{"second\; -\; a\; physical\; unit\; of\; time."}}$$

Преобразуйте конечную скорость.

vel_term_Imperial = rewrite(vel_term_SI,u.ft)

vel_term_Imperial = 
$$-13.6\hspace{0.17em}\frac{\mathrm{ft}\mathrm{"foot\; -\; a\; physical\; unit\; of\; length."}}{\mathrm{s}\mathrm{"second\; -\; a\; physical\; unit\; of\; time."}}$$

Скорость графика по времени

Чтобы построить график скорости как функции времени, выразите время t в секундах и замените t по T s, где T является безразмерной символьной переменной.

syms T
vel_SI = subs(vel_SI, t, T*u.s)

vel_SI = 
$$-4.14\hspace{0.17em}\tanh \left(2.37\hspace{0.17em}T\right)\hspace{0.17em}\frac{\mathrm{m}\mathrm{"meter\; -\; a\; physical\; unit\; of\; length."}}{\mathrm{s}\mathrm{"second\; -\; a\; physical\; unit\; of\; time."}}$$

vel_Imperial = rewrite(vel_SI, u.ft)

vel_Imperial = 
$$-13.6\hspace{0.17em}\tanh \left(2.37\hspace{0.17em}T\right)\hspace{0.17em}\frac{\mathrm{ft}\mathrm{"foot\; -\; a\; physical\; unit\; of\; length."}}{\mathrm{s}\mathrm{"second\; -\; a\; physical\; unit\; of\; time."}}$$

Разделите выражение от модулей при помощи separateUnits. Постройте график выражения с помощью fplot. Преобразуйте модули в строки для использования в качестве меток графика при помощи symunit2str.

[data_SI, units_SI] = separateUnits(vel_SI);
[data_Imperial, units_Imperial] = separateUnits(vel_Imperial);

Скорость десантника приближается к установившемуся состоянию, когда $\mathit{t}>1$. Покажите, как скорость приближается к конечной скорости путем построения графика скорости в области значений $0\le \mathit{T}\le 2$.

subplot(1,2,1)
fplot(data_SI,[0 2])
title('Velocity in SI Units')
xlabel('Time in s')
ylabel(['Velocity in ' symunit2str(units_SI)])
subplot(1,2,2)
fplot(data_Imperial,[0 2])
title('Velocity in Imperial Units')
xlabel('Time in s')
ylabel(['Velocity in ' symunit2str(units_Imperial)])