Численные расчеты с высокой точностью

Этот пример показывает, как использовать арифметику переменной точности для получения высокоточных расчетов с помощью Symbolic Math Toolbox™.

Поиск формул, которые представляют околоцелые числа. Классический пример следующий: вычислите $$\exp (\sqrt{163}\cdot \pi )$$ до 30 цифр. Результатом является целое число, которое отображается с ошибкой округления.

digits(30);
f = exp(sqrt(sym(163))*sym(pi));
vpa(f)

ans = $$262537412640768743.999999999999$$

Вычислите то же значение до 40 цифр. Оказывается, это не целое число.

digits(40);
vpa(f)

ans = $$262537412640768743.9999999999992500725972$$

Исследуйте это явление дальше. Ниже цифры до $$\exp (1000)$$ происходит, и исследованию нужны некоторые правильные цифры после десятичной точки. Вычислите необходимую рабочую точность:

d = log10(exp(vpa(1000)))

d = $$434.2944819032518276511289189166050822944$$

Установите необходимую точность перед первым вызовом функции, которая от нее зависит. Среди прочих round, vpa, и double являются такими функциями.

digits(ceil(d) + 50);

Ищите похожие примеры формы $$\exp \left(\sqrt{n}\pi \right)$$. Конечно, можно получить больше таких чисел n путем умножения 163 на квадрат. Но кроме этого, гораздо больше чисел этой формы близки к некоторому целому числу. Вы можете увидеть это из гистограммы графика их дробных частей:

A = exp(pi*sqrt(vpa(1:1000)));
B = A-round(A);
histogram(double(B), 50)

Вычислите, есть ли околоцелые числа в форме $$\exp (n)$$.

A = exp(vpa(1:1000));
B = A-round(A);
find(abs(B) < 1/1000)

ans =

  1x0 empty double row vector

Оказывается, на этот раз дробные части элементов A довольно равномерно распределены.

histogram(double(B), 50)