Аппроксимация Паде входного сигнала задержки по времени

Открыть Live Script

Этот пример показывает, как использовать аппроксимацию Паде в теории систем управления для моделирования временных задержек в отклике системы первого порядка. Задержки возникают в таких системах, как химические и транспортные процессы, где существует задержка между входом и откликом системы. Когда эти входы моделируются, они называются входами с потерей времени.

Этот пример использует Symbolic Math Toolbox™, чтобы решить для передаточной функции системы первого порядка и найти отклик системы к шагу с потерей времени с помощью аппроксимации Padé. Этот пример выполняет вычисления символически, чтобы получить аналитические результаты.

Введение

Аппроксимация порядка Паде [m, n] аппроксимирует функцию f(x) вокруг $x = x_{0}$ как

$\frac{a_{0} + a_{1} (x - x_{0}) + \dots + a_{m} (x - x_{0})^{m}}{1 + b_{1} (x - x_{0}) + \dots + b_{n} (x - x_{0})^{n}} .$

Аппроксимация Паде является рациональной функцией, образованной отношением двух степенных рядов. Поскольку это рациональная функция, она точнее ряда Тейлора в аппроксимации функций с полюсами. Аппроксимация Паде представлена функцией Symbolic Math Toolbox™ pade.

Когда шест или нуль существует в точке расширения $x = x_{0}$ точность аппроксимации Паде уменьшается. Чтобы увеличить точность, используйте альтернативную форму аппроксимации Паде, которая

$\frac{(x - x_{0})^{p} (a_{0} + a_{1} (x - x_{0}) + \dots + a_{m} (x - x_{0})^{m})}{1 + b_{1} (x - x_{0}) + \dots + b_{n} (x - x_{0})^{n}} .$

The pade функция возвращает альтернативную форму аппроксимации Паде, когда вы задаете OrderMode входной параметр в Relative.

Поиск передаточной функции системы первого порядка

Поведение системы первого порядка описывается этим дифференциальным уравнением

$τ \frac{d y (t)}{d t} + y (t) = a x (t) .$

Введите дифференциальное уравнение в MATLAB ®.

syms tau a x(t) y(t) xS(s) yS(s) H(s) tmp
F = tau*diff(y)+y == a*x;

Найдите преобразование Лапласа F использование laplace.

F = laplace(F,t,s)

F =  $laplace (y (t), t, s) - τ (y (0) - s laplace (y (t), t, s)) = a laplace (x (t), t, s)$

Примите ответ системы в t = 0 является 0. Использование subs для замены y(0) = 0.

F = subs(F,y(0),0)

F =  $laplace (y (t), t, s) + s τ laplace (y (t), t, s) = a laplace (x (t), t, s)$

Чтобы собрать общие термины, используйте simplify.

F = simplify(F)

F =  $(s τ + 1) laplace (y (t), t, s) = a laplace (x (t), t, s)$

Для читаемости замените преобразования Лапласа x(t) и y(t) с xS(s) и yS(s).

F = subs(F,[laplace(x(t),t,s) laplace(y(t),t,s)],[xS(s) yS(s)])

F =  $yS (s) (s τ + 1) = a xS (s)$

Преобразование Лапласа передаточной функции yS(s)/xS(s). Разделите обе стороны уравнения на xS(s) и использовать нижние индексы для замены yS(s)/xS(s) с H(s).

F = F/xS(s);
F = subs(F,yS(s)/xS(s),H(s))

F =  $H (s) (s τ + 1) = a$

Решите уравнение для H(s). Замена H(s) с помощью фиктивной переменной решите для фиктивной переменной с помощью solve и присвойте решение Hsol(s).

F = subs(F,H(s),tmp);
Hsol(s) = solve(F,tmp)

Hsol(s) = 
 $\frac{a}{s τ + 1}$

Поиск отклика системы на отложенный по времени шаг Входа

Вход в систему первого порядка является шагом с задержкой во времени. Чтобы представлять входной вход шага, используйте heaviside. Задержка входа на три временных модулей. Найдите преобразование Лапласа с помощью laplace.

step = heaviside(t - 3);
step = laplace(step)

step = 
 $\frac{e^{- 3 s}}{s}$

Найдите ответ системы, который является продуктом передаточной функции и входа.

y = Hsol(s)*step

y = 
 $\frac{a e^{- 3 s}}{s (s τ + 1)}$

Чтобы разрешить построение графика отклика, установите параметры a и tau к конкретным значениям. Для a и tau, выберите значения 1 и 3, соответственно.

y = subs(y,[a tau],[1 3]);
y = ilaplace(y,s);

Поиск отклика системы с использованием аппроксимаций Padé

Найдите аппроксимацию порядка Паде [2 2] шага, используя входной параметр порядок, чтобы pade.

stepPade22 = pade(step,'Order',[2 2])

stepPade22 = 
 $\frac{3 s^{2} - 4 s + 2}{2 s (s + 1)}$

Найдите ответ на вход, умножив передаточную функцию и аппроксимацию Padé входного сигнала.

yPade22 = Hsol(s)*stepPade22

yPade22 = 
 $\frac{a (3 s^{2} - 4 s + 2)}{2 s (s τ + 1) (s + 1)}$

Найдите обратное преобразование Лапласа yPade22 использование ilaplace.

yPade22 = ilaplace(yPade22,s)

yPade22 = 
 $a + \frac{9 a e^{- s}}{2 τ - 2} - \frac{a e^{- \frac{s}{τ}} (2 τ^{2} + 4 τ + 3)}{τ (2 τ - 2)}$

Чтобы построить график отклика, установите параметры a и tau к своим значениям 1 и 3, соответственно.

yPade22 = subs(yPade22,[a tau],[1 3])

yPade22 = 
 $\frac{9 e^{- s}}{4} - \frac{11 e^{- \frac{s}{3}}}{4} + 1$

Постройте график отклика системы y и ответ, вычисленный из аппроксимации Паде yPade22.

fplot(y,[0 20])
hold on
fplot(yPade22, [0 20])
grid on
title 'Padé approximant for dead-time step input'
legend('Response to dead-time step input', 'Padé approximant [2 2]',...
    'Location', 'Best');

Figure contains an axes. The axes with title Padé approximant for dead-time step input contains 2 objects of type functionline. These objects represent Response to dead-time step input, Padé approximant [2 2].

Увеличение точности аппроксимации Паде с помощью OrderMode

The [2 2] Аппроксимация Паде не хорошо представляет реакцию, потому что полюс существует в точке расширения 0. Для повышения точности pade когда в точке расширения есть шест или нуль, установите OrderMode введите аргумент в Relative и повторите шаги. Для получения дополнительной информации смотрите pade.

stepPade22Rel = pade(step,'Order',[2 2],'OrderMode','Relative')

stepPade22Rel = 
 $\frac{3 s^{2} - 6 s + 4}{s (3 s^{2} + 6 s + 4)}$

yPade22Rel = Hsol(s)*stepPade22Rel

yPade22Rel = 
 $\frac{a (3 s^{2} - 6 s + 4)}{s (s τ + 1) (3 s^{2} + 6 s + 4)}$

yPade22Rel = ilaplace(yPade22Rel);
yPade22Rel = subs(yPade22Rel,[a tau],[1 3])

yPade22Rel = 
 $\frac{12 e^{- t} (\cos (\frac{\sqrt{3} t}{3}) + \frac{2 \sqrt{3} \sin (\frac{\sqrt{3} t}{3})}{3})}{7} - \frac{19 e^{- \frac{t}{3}}}{7} + 1$

fplot(yPade22Rel, [0 20], 'DisplayName', 'Relative Padé approximant [2 2]')

Figure contains an axes. The axes with title Padé approximant for dead-time step input contains 3 objects of type functionline. These objects represent Response to dead-time step input, Padé approximant [2 2], Relative Padé approximant [2 2].

Увеличение точности аппроксимации Паде путем увеличения порядка

Можно увеличить точность аппроксимации Паде, увеличив её порядок. Увеличьте порядок до [4 5] и повторите шаги. The [n-1 n] Аппроксимация Паде лучше аппроксимирует ответ при t = 0 чем [n n] Паде аппроксимация.

stepPade45 = pade(step,'Order',[4 5])

stepPade45 = 
 $\frac{27 s^{4} - 180 s^{3} + 540 s^{2} - 840 s + 560}{s (27 s^{4} + 180 s^{3} + 540 s^{2} + 840 s + 560)}$

yPade45 = Hsol(s)*stepPade45

yPade45 = 
 $\frac{a (27 s^{4} - 180 s^{3} + 540 s^{2} - 840 s + 560)}{s (s τ + 1) (27 s^{4} + 180 s^{3} + 540 s^{2} + 840 s + 560)}$

yPade45 = subs(yPade45,[a tau],[1 3])

yPade45 = 
 $\frac{27 s^{4} - 180 s^{3} + 540 s^{2} - 840 s + 560}{s (3 s + 1) (27 s^{4} + 180 s^{3} + 540 s^{2} + 840 s + 560)}$

Найдите обратное преобразование Лапласа yPade45 использование ilaplace. Аппроксимация yPade45 численно использование vpa. Постройте график отклика, вычисленного из аппроксимации Паде yPade45.

yPade45 = vpa(ilaplace(yPade45));
fplot(yPade45, [0 20], 'DisplayName', 'Padé approximant [4 5]')

Figure contains an axes. The axes with title Padé approximant for dead-time step input contains 4 objects of type functionline. These objects represent Response to dead-time step input, Padé approximant [2 2], Relative Padé approximant [2 2], Padé approximant [4 5].

Заключения

Показаны следующие точки:

Аппроксимации Padé могут моделировать входы шага с потерей времени.
Точность аппроксимации Паде увеличивается с увеличением порядка аппроксимации.
Когда в точке расширения существует шест или нуль, аппроксимация Паде неточна относительно точки расширения. Чтобы увеличить точность аппроксимации, установите OrderMode опция для Relative. Можно также использовать увеличение порядка знаменателя относительно числителя.

Документация