1. Определите параметры модели, используя стохастические дифференциальные уравнения

Модель для цены основного средства X(t) заданный во временном интервале [0,T] является стохастическим процессом, заданным стохастическим дифференциальным уравнением вида $$dX=\mu (t,X)dt+\sigma (t,X)dB(t)$$, где B(t) - процесс Винера с параметром единичного отклонения.

Создайте символьную переменную T и следующие символические функции:

syms mu(t, X) sigma(t, X) r(t, X) u(t, X) T

Согласно теореме Фейнмана-Каца, u удовлетворяет дифференциальному уравнению с частными производными $\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{{\sigma }^2}{2}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\mu \frac{\partial u}{\partial x}-ur=0$ с конечным условием во время T.

eq = diff(u, t) + sigma^2*diff(u, X, X)/2 + mu*diff(u, X) - u*r;

Численный решатель pdepe работает с начальными условиями. Чтобы преобразовать окончательное условие в начальное условие, примените обращение времени путем установки v(t, X) = u(T - t, X).

syms v(t, X)
eq2 = subs(eq, {u, t}, {v(T - t, X), T - t});
eq2 = feval(symengine, 'rewrite', eq2, 'diff')

eq2 = 
$$\frac{{\sigma \left(T-t,X\right)}^2\hspace{0.17em}\frac{{\partial }^2}{\partial X^2}\mathrm{ }v\left(t,X\right)}{2}+\mu \left(T-t,X\right)\hspace{0.17em}\frac{\partial }{\partial X}\mathrm{ }v\left(t,X\right)-\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }v\left(t,X\right)-v\left(t,X\right)\hspace{0.17em}r\left(T-t,X\right)$$

Решатель pdepe требует дифференциального уравнения с частными производными в следующей форме. Здесь коэффициенты c, f, и s являются функциями x, t, v, и $$\partial v/\partial x$$.

Чтобы иметь возможность решить уравнение eq2 с pdepe решатель, map eq2 к этой форме. Во-первых, извлеките коэффициенты и условия eq2.

syms dvt dvXX
eq3 = subs(eq2, {diff(v, t), diff(v, X, X)}, {dvt, dvXX});
[k,terms] = coeffs(eq3, [dvt, dvXX])

k = 
$$\left(\begin{array}{ccc}-1& \frac{{\sigma \left(T-t,X\right)}^2}{2}& \mu \left(T-t,X\right)\hspace{0.17em}\frac{\partial }{\partial X}\mathrm{ }v\left(t,X\right)-v\left(t,X\right)\hspace{0.17em}r\left(T-t,X\right)\end{array}\right)$$

terms = $$\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{dvt}& \mathrm{dvXX}& 1\end{array}\right)$$

Теперь можно переписать eq2 как k(1)*terms(1) + k(2)*terms(2) + k(3)*terms(3) = 0. Перемещая член с производной по времени в левую сторону уравнения, вы получаете

Вручную интегрируйте правую сторону по частям. Результатом является

Поэтому писать eq2 в форме, подходящей для pdepe, используйте следующие параметры:

c = 1;
f = k(2) * diff(v, X);
s = k(3) - diff(v, X) * diff(k(2), X);

2. Применить правило Ито

Цены основных средств следуют мультипликативному процессу. То есть логарифм цены может быть описан в терминах SDE, но ожидаемое значение самой цены представляет интерес, потому что она описывает прибыль, и, таким образом, нам нужен SDE для последней.

В целом, если стохастический процесс X дается в терминах SDE, тогда правило Ито говорит, что преобразованный процесс G(t, X) удовлетворяет

Мы предполагаем, что логарифм цены задается одномерной аддитивной броуновским движением, то есть mu и sigma являются постоянными. Задайте функцию, которая применяет правило Ито, и используйте ее, чтобы преобразовать аддитивное броуновское движение в геометрическое броуновское движение.

ito = @(mu, sigma, G, t, X) ...
    deal( mu * diff(G, X) + sigma^2/2 * diff(G, X, X) + diff(G, t), ...
    diff(G, X) * sigma );

syms mu0 sigma0
[mu1, sigma1] = ito(mu0, sigma0, exp(X), t, X)

mu1 = 
$$\frac{{\mathrm{e}}^X\hspace{0.17em}{{\sigma }_0}^2}{2}+{\mu }_0\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^X$$

sigma1 = $${\sigma }_0\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^X$$

Замените exp(X) по Y.

syms Y
mu1 = subs(mu1, X, log(Y));
sigma1 = subs(sigma1, X, log(Y));
f = f(t, log(Y));
s = s(t, log(Y));

Для простоты примите, что процентная ставка равна нулю. Это особый случай, также известный как обратное уравнение Колмогорова.

r0 = 0;

c = subs(c, {mu, sigma}, {mu1, sigma1});
s = subs(s, {mu, sigma, r}, {mu1, sigma1, r0});
f = subs(f, {mu, sigma}, {mu1, sigma1});

3. Решение уравнения Фейнмана-Каца

Прежде чем можно будет преобразовать символьные выражения в указатели на функцию MATLAB, необходимо заменить вызовы функций, такие как diff(v(t, X), X) и v(t, X), с переменными. Можно использовать любые допустимые имена переменного MATLAB.

syms dvdx V;
dvX = diff(v, X);
c = subs(c, {dvX, v},  {dvdx, V});
f = subs(f, {dvX, v}, {dvdx, V});
s = subs(s, {dvX, v}, {dvdx, V});

Для плоской геометрии (симметрия перемещения) задайте следующее значение:

m = 0;

Кроме того, присвойте числовые значения символьным параметрам.

muvalue = 0;
sigmavalue = 1;

c0 = subs(c, {mu0, sigma0}, {muvalue, sigmavalue});
f0 = subs(f, {mu0, sigma0}, {muvalue, sigmavalue});
s0 = subs(s, {mu0, sigma0}, {muvalue, sigmavalue});

Использование matlabFunction для создания указателя на функцию. Передайте коэффициенты c0, f0, и s0 в форме, требуемой pdepe, а именно, указатель на функцию с тремя выходными аргументами.

FeynmanKacPde = matlabFunction(c0, f0, s0, 'Vars', [t, Y, V, dvdx])

FeynmanKacPde = function_handle with value:
    @(t,Y,V,dvdx)deal(1.0,0.0,0.0)

В качестве последнего условия примите отображение тождеств. То есть выплата в момент $$T$$ определяется самой ценой актива. Вы можете изменить эту линию в порядок, чтобы исследовать производные инструменты.

FeynmanKacIC = @(x) x;

Численное решение PDE может применяться только к конечной области. Поэтому необходимо задать граничное условие. Предположим, что актив продается в момент, когда его цена поднимается выше или падает ниже определенного предела, и, следовательно, решение v должен удовлетворять x - v = 0 в граничных точках x. Можно выбрать другое граничное условие, например, можно использовать v = 0 для моделирования опций нокаута. Нули во втором и четвертом выходах указывают, что граничное условие не зависит от $\frac{dv}{dx}$.

FeynmanKacBC = @(xl, vl, xr, vr, t) ...
    deal(xl - vl, 0, xr - vr, 0);

Выберите сетку пробел, которая является областью значений значений цены x. Установите левый контур равного нуля: она не достижима геометрической случайной ходьбой. Установите правый контур равной единице: когда цена актива достигает этого предела, актив продается.

xgrid = linspace(0, 1, 101);

Выберите временную сетку. Из-за обращения времени, примененного в начале, это обозначает время, оставшееся до последнего времени T.

tgrid = linspace(0, 1, 21);

Решить уравнение.

sol = pdepe(m,FeynmanKacPde,FeynmanKacIC,FeynmanKacBC,xgrid,tgrid);

Постройте график решения. Ожидаемая цена продажи зависит почти линейно от цены в то время t, а также слабо на t.

surf(xgrid, tgrid, sol)
title('Expected selling price of asset');
xlabel('price');
ylabel('time');
zlabel('expected final price');

Состояние геометрического броуновского движения с дрейфом $$\mu 1$$ во время t является lognormally распределенной случайной переменной с ожидаемым значением $$\exp ({\mu }_{1}t)$$ умножает его начальное значение. Это описывает ожидаемую цену продажи актива, который никогда не продается из-за достижения предела.

Expected = transpose(exp(tgrid./2)) * xgrid;

Разделение решения, полученного выше, на ожидаемое значение показывает, сколько прибыли потеряно при преждевременной продаже на пределе.

sol2 = sol./Expected;
surf(xgrid, tgrid, sol2)
title('Ratio of expected final prices: with / without sales order at x=1')
xlabel('price');
ylabel('time');
zlabel('ratio of final prices');

Для примера постройте график отношения ожидаемой выплаты актива, для которого был размещен предела порядка продажи, и того же актива без порядка продажи в течение временного интервала T, как функцию t. Рассмотрим случай предела порядка в два и четыре раза выше текущей цены, соответственно.

plot(tgrid, sol2(:, xgrid == 1/2));
hold on
plot(tgrid, sol2(:, xgrid == 1/4));
legend('Limit at two times current price', 'Limit at four times current price');
xlabel('timespan the order is valid');
ylabel('ratio of final prices: with / without sales order');
hold off

4. Вычисление ожидаемого времени для продажи актива

Это результат учебника, что ожидаемое время выхода, когда предел достигнут и актив продан, определяется следующим уравнением:

syms y(X)
exitTimeEquation(X) = subs(eq, {r, u}, {0, y(X)}) == -1

exitTimeEquation(X) = 
$$\frac{{\sigma \left(t,X\right)}^2\hspace{0.17em}\frac{{\partial }^2}{\partial X^2}\mathrm{ }y\left(X\right)}{2}+\mu \left(t,X\right)\hspace{0.17em}\frac{\partial }{\partial X}\mathrm{ }y\left(X\right)=-1$$

В сложение, y должно быть нулем на контурах. Для mu и sigma, вставьте фактический стохастический процесс под фактор:

exitTimeGBM = subs(subs(exitTimeEquation, {mu, sigma}, {mu1, sigma1}), Y, X)

exitTimeGBM(X) = 
$$\left(\frac{X\hspace{0.17em}{{\sigma }_0}^2}{2}+X\hspace{0.17em}{\mu }_0\right)\hspace{0.17em}\frac{\partial }{\partial X}\mathrm{ }y\left(X\right)+\frac{X^2\hspace{0.17em}{{\sigma }_0}^2\hspace{0.17em}\frac{{\partial }^2}{\partial X^2}\mathrm{ }y\left(X\right)}{2}=-1$$

Решите эту задачу для произвольных границ интервала a и b.

syms a b
exitTime = dsolve(exitTimeGBM, y(a) == 0, y(b) == 0)

exitTime = 
$$\begin{array}{l}\frac{2\hspace{0.17em}{\mu }_0\hspace{0.17em}{\sigma }_5\hspace{0.17em}\log \left(b\right)-2\hspace{0.17em}{\mu }_0\hspace{0.17em}{\sigma }_4\hspace{0.17em}\log \left(a\right)+a^{{\sigma }_1}\hspace{0.17em}{{\sigma }_0}^2\hspace{0.17em}{\sigma }_5\hspace{0.17em}{\sigma }_4-b^{{\sigma }_1}\hspace{0.17em}{{\sigma }_0}^2\hspace{0.17em}{\sigma }_5\hspace{0.17em}{\sigma }_4}{{\sigma }_3}-\frac{\log \left(X\right)}{{\mu }_0}+\frac{{\sigma }_2\hspace{0.17em}\left({\sigma }_7-{\sigma }_6-a^{{\sigma }_1}\hspace{0.17em}{{\sigma }_0}^2\hspace{0.17em}{\sigma }_5+b^{{\sigma }_1}\hspace{0.17em}{{\sigma }_0}^2\hspace{0.17em}{\sigma }_4\right)}{{\sigma }_3}+\frac{X^{{\sigma }_1}\hspace{0.17em}{{\sigma }_0}^2\hspace{0.17em}{\sigma }_2}{2\hspace{0.17em}{{\mu }_0}^2}\\ \\ \mathrm{where}\\ \\ \mathrm{ }{\sigma }_1=\frac{2\hspace{0.17em}{\mu }_0}{{{\sigma }_0}^2}\\ \\ \mathrm{ }{\sigma }_2={\mathrm{e}}^{-\frac{2\hspace{0.17em}{\mu }_0\hspace{0.17em}\log \left(X\right)}{{{\sigma }_0}^2}}\\ \\ \mathrm{ }{\sigma }_3=2\hspace{0.17em}{{\mu }_0}^2\hspace{0.17em}\left({\sigma }_5-{\sigma }_4\right)\\ \\ \mathrm{ }{\sigma }_4={\mathrm{e}}^{-\frac{{\sigma }_6}{{{\sigma }_0}^2}}\\ \\ \mathrm{ }{\sigma }_5={\mathrm{e}}^{-\frac{{\sigma }_7}{{{\sigma }_0}^2}}\\ \\ \mathrm{ }{\sigma }_6=2\hspace{0.17em}{\mu }_0\hspace{0.17em}\log \left(b\right)\\ \\ \mathrm{ }{\sigma }_7=2\hspace{0.17em}{\mu }_0\hspace{0.17em}\log \left(a\right)\end{array}$$

Потому что вы не можете заменить mu0 = 0 непосредственно вычислите предел в mu0 -> 0 вместо этого.

L = limit(subs(exitTime, sigma0, sigmavalue), mu0, muvalue)

L = $$-\left(\log \left(X\right)-\log \left(a\right)\right)\hspace{0.17em}\left(\log \left(X\right)-\log \left(b\right)\right)$$

L не определено в a = 0. Установите предположение, что 0 < X < 1.

assume(0 < X & X < 1)

Использование значения b = 1 для правой границы вычислите предел.

limit(subs(L, b, 1), a, 0, 'Right')

ans = $$\infty$$

Ожидаемое время выхода бесконечно!