Решение дифференциального уравнения

Решить дифференциальное уравнение аналитически при помощи dsolve функция, с начальными условиями или без. Чтобы решить систему дифференциальных уравнений, см. Решение системы дифференциальных уравнений.

Линейная ОДУ первого порядка
Решение дифференциального уравнения с условием
Нелинейное дифференциальное уравнение с начальным условием
ОДУ второго порядка с начальными условиями
ОДУ третьего порядка с начальными условиями
Другие примеры ОДУ

Линейная ОДУ первого порядка

Решить это дифференциальное уравнение.

$\frac{d y}{d t} = t y .$

Во-первых, представьте y при помощи syms для создания символьной функции y(t).

syms y(t)

Определите уравнение используя == и представляют дифференциацию, используя diff функция.

ode = diff(y,t) == t*y

ode(t) =
diff(y(t), t) == t*y(t)

Решить уравнение используя dsolve.

ySol(t) = dsolve(ode)

ySol(t) =
C1*exp(t^2/2)

Решение дифференциального уравнения с условием

В предыдущем решении константа C1 появляется, поскольку условие не задано. Решить уравнение с начальным условием y(0) == 2. dsolve функция находит значение C1 что удовлетворяет условию.

cond = y(0) == 2;
ySol(t) = dsolve(ode,cond)

ySol(t) =
2*exp(t^2/2)

Если dsolve не может решить ваше уравнение, затем попробуйте решить уравнение численно. См. Решение дифференциального уравнения второго порядка численно.

Нелинейное дифференциальное уравнение с начальным условием

Решить это нелинейное дифференциальное уравнение с начальным условием. Уравнение имеет несколько решений.

$\begin{array}{l} {(\frac{d y}{d t} + y)}^{2} = 1, \\ y (0) = 0. \end{array}$

syms y(t)
ode = (diff(y,t)+y)^2 == 1;
cond = y(0) == 0;
ySol(t) = dsolve(ode,cond)

ySol(t) =
 exp(-t) - 1
 1 - exp(-t)

ОДУ второго порядка с начальными условиями

Решить это дифференциальное уравнение второго порядка с двумя начальными условиями.

$\begin{array}{l} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \cos (2 x) - y, \\ y (0) = 1, \\ y' (0) = 0. \end{array}$

Задайте уравнение и условия. Второе начальное условие включает первую производную y. Представьте производную путем создания символьной функции Dy = diff(y) а затем определите условие используя Dy(0)==0.

syms y(x)
Dy = diff(y);

ode = diff(y,x,2) == cos(2*x)-y;
cond1 = y(0) == 1;
cond2 = Dy(0) == 0;

Решите ode для y. Упростите решение, используя simplify функция.

conds = [cond1 cond2];
ySol(x) = dsolve(ode,conds);
ySol = simplify(ySol)

ySol(x) =
1 - (8*sin(x/2)^4)/3

ОДУ третьего порядка с начальными условиями

Решить это дифференциальное уравнение третьего порядка с тремя начальными условиями.

$\begin{array}{l} \frac{d^{3} u}{d x^{3}} = u, \\ u (0) = 1, \\ u^{'} (0) = - 1, \\ {u^{'}}^{'} (0) = π . \end{array}$

Поскольку начальные условия содержат производные первого и второго порядка, создайте две символьные функции Du = diff(u,x) и D2u = diff(u,x,2), для определения начальных условий.

syms u(x)
Du = diff(u,x);
D2u = diff(u,x,2);

Создайте уравнение и начальные условия и решите его.

ode = diff(u,x,3) == u;
cond1 = u(0) == 1;
cond2 = Du(0) == -1;
cond3 = D2u(0) == pi;
conds = [cond1 cond2 cond3];

uSol(x) = dsolve(ode,conds)

uSol(x) =
 
(pi*exp(x))/3 - exp(-x/2)*cos((3^(1/2)*x)/2)*(pi/3 - 1) -...
(3^(1/2)*exp(-x/2)*sin((3^(1/2)*x)/2)*(pi + 1))/3

Другие примеры ОДУ

Эта таблица показывает примеры дифференциальных уравнений и их синтаксиса Symbolic Math Toolbox™. Последним примером является дифференциальное уравнение Эйри, решение которого называется функцией Эйри.

Дифференциальное уравнение	MATLAB^® Команды
$\begin{array}{l} \frac{d y}{d t} + 4 y (t) = e^{- t}, \\ y (0) = 1. \end{array}$	syms y(t) ode = diff(y)+4y == exp(-t); cond = y(0) == 1; ySol(t) = dsolve(ode,cond) ySol(t) = exp(-t)/3 + (2exp(-4*t))/3
$2 x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 3 x \frac{d y}{d x} - y = 0.$	syms y(x) ode = 2x^2diff(y,x,2)+3xdiff(y,x)-y == 0; ySol(x) = dsolve(ode) ySol(x) = C2/(3x) + C3x^(1/2)
Уравнение Эйри. $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = x y (x) .$	syms y(x) ode = diff(y,x,2) == xy; ySol(x) = dsolve(ode) ySol(x) = C1airy(0,x) + C2*airy(2,x)

Дифференциальное уравнение

MATLAB^® Команды

$\begin{array}{l} \frac{d y}{d t} + 4 y (t) = e^{- t}, \\ y (0) = 1. \end{array}$

syms y(t)
ode = diff(y)+4*y == exp(-t);
cond = y(0) == 1;
ySol(t) = dsolve(ode,cond)

ySol(t) =
exp(-t)/3 + (2*exp(-4*t))/3

$2 x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 3 x \frac{d y}{d x} - y = 0.$

syms y(x)
ode = 2*x^2*diff(y,x,2)+3*x*diff(y,x)-y == 0;
ySol(x) = dsolve(ode)

ySol(x) =
C2/(3*x) + C3*x^(1/2)

Уравнение Эйри.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = x y (x) .$

syms y(x)
ode = diff(y,x,2) == x*y;
ySol(x) = dsolve(ode)

ySol(x) =
C1*airy(0,x) + C2*airy(2,x)

См. также

Решение системы дифференциальных уравнений

Документация