Предположения

Происхождение

Коэффициент реституции определяется как

где v - скорость объекта перед влиянием, а u - скорость после.

Разделим дифференциальное уравнение второго порядка

в

$$\frac{dh}{dt}=v$$ дискретизируется как $$\frac{h(t+\Delta t)-h(t)}{\Delta t}=v(t)$$

и

$$\frac{dv}{dt}=-g$$ дискретизируется как $$\frac{v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t}=-g$$

Мы будем использовать базовое численное интегрирование 1-го порядка с помощью forward Euler.

Решите задачу аналитически

Используя Symbolic Math Toolbox, мы можем подойти к задаче аналитически. Это позволяет нам легче решать определенные задачи, такие как определение именно того, когда мяч впервые ударяется о землю (ниже).

Объявите наши символические переменные.

syms g t H(t) h_0 v_0

Разделите дифференциальное уравнение второго порядка $$\frac{d^{2}h}{d{t}^2}=-g$$в $$\frac{dh}{dt}=v$$ и $$\frac{dv}{dt}=-g$$.

Dh = diff(H);
D2h = diff(H, 2) == g

D2h(t) = 
$$\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\mathrm{ }H\left(t\right)=g$$

Решить ОДУ используя dsolve:

eqn = dsolve(D2h, H(0) == h_0, Dh(0) == v_0)

eqn = 
$$\frac{g\hspace{0.17em}{t}^2}{2}+v_0\hspace{0.17em}t+h_0$$

Параметрически исследуйте параболический профиль движения с помощью subs:

eqn = subs(eqn, [h_0, v_0, g], [10, 15, -9.81])

eqn = 
$$-\frac{981\hspace{0.17em}{t}^2}{200}+15\hspace{0.17em}t+10$$

Найдите время, в которое мяч попадает в землю, решив на нуль:

assume(t > 0)
tHit = solve(eqn == 0)

tHit = 
$$\frac{20\hspace{0.17em}\sqrt{5}\hspace{0.17em}\sqrt{26}}{109}+\frac{500}{327}$$

Визуализация решения

fplot(eqn,[0 10])
ylim([0 25])

Форматируйте свои точные результаты с помощью арифметики переменной точности с vpa:

disp(['The ball with an initial height of 10m and velocity of 15m/s will hit the ground at ' char(vpa(tHit, 4)) ' seconds.'])

The ball with an initial height of 10m and velocity of 15m/s will hit the ground at 3.621 seconds.

Решите задачу численно

Setup параметров симуляции

Свойства мяча

c_bounce = .9;        % Bouncing's coefficient of restitution; perfect restitution would be 1

Свойства симуляции

gravity  = 9.8;       % Gravity's acceleration (m/s)
height_0 = 10;        % Initial height at time t=0 (m)
velocity_0=15;        % Initial velocity at time t=0 (m/s)

Объявление временного интервала симуляции

dt = 0.05;            % Animation timestep (s)
t_final = 25;         % Simulate period (s)
t = 0:dt:t_final;     % Timespan
N = length(t);        % Number of iterations

Инициализируйте величины симуляции

h=[];                 % Height of the ball as a function of time (m)
v=[];                 % Velocity of the ball (m/sec) as a function of time (m/s)
h(1)=height_0;
v(1)=velocity_0;

Симулируйте прыгающий мяч (мы будем использовать базовое численное интегрирование 1-го порядка с помощью прямого Эйлера):

for i=1:N-1
       
    v(i+1)=v(i)-gravity*dt;
    h(i+1)=h(i)+v(i)*dt;
    
    % When the ball bounces (the height is less than 0), 
    % reverse the velocity and recalculate the position.
    % Using the coefficient of restitution
    if h(i+1) < 0
        
       v(i)=-v(i)*c_bounce;
       v(i+1)=v(i)-gravity*dt;
       h(i+1)=0+v(i)*dt;

    end
    
end

Визуализация и валидация симуляции

plot(t,h,'o')
hold on 
fplot(eqn,[0 10])
title('Height over time')
ylim([0 25])
hold off

plot(t,v)
title('Velocity over time')

Валидация цифр с помощью аналитики

Сравните свои аналитические результаты с числовыми результатами.

Напоминаем, что время влияния было:

disp(['The ball with an initial height of 10m and velocity of 15m/s will hit the ground at ' char(vpa(tHit, 4)) ' seconds.'])

The ball with an initial height of 10m and velocity of 15m/s will hit the ground at 3.621 seconds.

Из численного моделирования мы можем найти самое близкое значение в симуляции, когда $\mathit{h}\left({\mathit{t}}_{\mathit{i}}\right)\approx 0$

i = ceil(double(tHit/dt));
t([i-1 i i+1]) 

ans = 1×3

    3.5500    3.6000    3.6500

plot(t,h,'o')
hold on 
fplot(eqn,[0 10])
plot(t([i-1 i i+1 ]),h([i-1 i i+1 ]),'*R')
title('Height over time')
xlim([0 5])
ylim([0 25])
hold off