Серийное соединение пассивных систем

Рассмотрите соединение двух подсистем $$G_1$$ и $$G_2$$ последовательно. Взаимосвязанная система $$H$$ дан отображением от входа $$u$$ выводить $$y_2$$.

В отличие от параллели и соединений обратной связи, пассивности подсистем $$G_1$$ и $$G_2$$ не гарантирует пассивность для взаимосвязанной системы $$H$$. Возьмите, например,

Обе системы являются пассивным элементом, как подтверждено

G1 = tf([5 3 1],[1,2,1]);
isPassive(G1)

ans = logical
   1

G2 = tf([1,1,5,.1],[1,2,3,4]);
isPassive(G2)

ans = logical
   1

Однако серийное соединение $$G_1$$ и $$G_2$$ не пассивный элемент:

H = G2*G1;
isPassive(H)

ans = logical
   0

Это подтверждено путем проверки что годограф Найквиста $$G_2{G}_1$$ не положителен действительный.

nyquist(H)

Индексы пассивности для серийного соединения

В то время как серийное соединение пассивных систем не является пассивным элементом в целом, существует отношение между индексами пассивности $$G_1$$ и $$G_2$$ и индексы пассивности $$H=G_2{G}_1$$Пусть $${\nu }_1$$ и $${\nu }_2$$ обозначьте входные индексы пассивности для $$G_1$$ и $$G_2$$, и позвольте $${\rho }_1$$ и $${\rho }_2$$ обозначьте выходные индексы пассивности. Если все эти индексы положительны, то входной индекс пассивности $$\nu$$ и выходной индекс пассивности $$\rho$$ для серийного соединения $$H$$ удовлетворить

Другими словами, нехватка пассивности при вводах или выводах $$H$$ не хуже, чем выражения правой стороны. Для получения дополнительной информации смотрите статью Arcak, M. и Зонтага, E.D., "Диагональная устойчивость класса циклических систем и его связи с секущим критерием", Automatica, Vol 42, № 9, 2006, стр 1531-1537. Проверьте эти нижние границы для примера выше.

% Output passivity index for G1
rho1 = getPassiveIndex(G1,'output');
% Output passivity index for G2
rho2 = getPassiveIndex(G2,'output');
% Input passivity index for H=G2*G1
nu = getPassiveIndex(H,'input')

nu = -1.2886

% Lower bound
-0.125/(rho1*rho2)

ans = -2.4194

Точно так же проверьте нижнюю границу для выходного индекса пассивности $$H$$.

% Input passivity index for G1
nu1 = getPassiveIndex(G1,'input');
% Input passivity index for G2
nu2 = getPassiveIndex(G2,'input');
% Output passivity index for H=G2*G1
rho = getPassiveIndex(H,'output')

rho = -0.6966

% Lower bound
-0.125/(nu1*nu2)

ans = -6.0000