В этом примере показано, как сгенерировать данные из известной модели, соответствуйте модели в пространстве состояний к данным, и затем предскажите состояния и состояния наблюдений от подобранной модели.
Предположим, что скрытый процесс включает AR (2) и модель MA (1). Существует 50 периодов и MA (1), процесс выпадает из модели в течение итоговых 25 периодов. Уравнение состояния в течение первых 25 периодов
и в течение последних 25 периодов, это
где
и
являются Гауссовыми со средним значением 0 и стандартным отклонением 1.
Предположение, что ряд запускается в 1,5 и 1, соответственно, генерирует случайную последовательность 50 наблюдений от
и
.
T = 50; ARMdl = arima('AR',{0.7,-0.2},'Constant',0,'Variance',1); MAMdl = arima('MA',0.6,'Constant',0,'Variance',1); x0 = [1.5 1; 1.5 1]; rng(1); x = [simulate(ARMdl,T,'Y0',x0(:,1)),... [simulate(MAMdl,T/2,'Y0',x0(:,2));nan(T/2,1)]];
Последними 25 значениями для симулированного MA (1) данные является NaN значения.
Предположим далее, что скрытые процессы измеряются с помощью
в течение первых 25 периодов, и
в течение последних 25 периодов, где
является Гауссовым со средним значением 0 и стандартным отклонением 1.
Используйте случайный скрытый процесс состояния (x) и уравнение наблюдения, чтобы сгенерировать наблюдения.
y = 2*sum(x','omitnan')'+randn(T,1);
Вместе, скрытые уравнения процесса и наблюдения составляют модель в пространстве состояний. Если коэффициенты являются неизвестными параметрами, модель в пространстве состояний
![$$\begin{array}{l}
\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_{1,t}}}\\
{{x_{2,t}}}\\
{{x_{3,t}}}\\
{{x_{4,t}}}
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{\phi _1}}&{{\phi _2}}&0&0\\
1&0&0&0\\
0&0&0&{{\theta _1}}\\
0&0&0&0
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_{1,t - 1}}}\\
{{x_{2,t - 1}}}\\
{{x_{3,t - 1}}}\\
{{x_{4,t - 1}}}
\end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0\\
0&0\\
0&1\\
0&1
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_{1,t}}}\\
{{u_{2,t}}}
\end{array}} \right]\\
{y_t} = a({x_{1,t}} + {x_{3,t}}) + {\varepsilon _t}
\end{array}$$](../examples/econ/win64/ForecastTimeVaryingStateSpaceModelExample_eq08939596656225341196.png)
в течение первых 25 периодов,
![$$\begin{array}{l}
\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_{1,t}}}\\
{{x_{2,t}}}
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{\phi _1}}&{{\phi _2}}&0&0\\
1&0&0&0
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_{1,t - 1}}}\\
{{x_{2,t - 1}}}\\
{{x_{3,t - 1}}}\\
{{x_{4,t - 1}}}
\end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
0
\end{array}} \right]{u_{1,t}}\\
{y_t} = b{x_{1,t}} + {\varepsilon _t}
\end{array}$$](../examples/econ/win64/ForecastTimeVaryingStateSpaceModelExample_eq14434019549381870163.png)
в течение периода 26, и
![$$\begin{array}{l}
\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_{1,t}}}\\
{{x_{2,t}}}
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{\phi _1}}&{{\phi _2}}\\
1&0
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_{1,t - 1}}}\\
{{x_{2,t - 1}}}
\end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
0
\end{array}} \right]{u_{1,t}}\\
{y_t} = b{x_{1,t}} + {\varepsilon _t}
\end{array}$$](../examples/econ/win64/ForecastTimeVaryingStateSpaceModelExample_eq14967989555778478098.png)
в течение последних 24 периодов.
Запишите функцию, которая задает как параметры в params сопоставьте с матрицами модели в пространстве состояний, значениями начального состояния и типом состояния.
% Copyright 2015 The MathWorks, Inc. function [A,B,C,D,Mean0,Cov0,StateType] = AR2MAParamMap(params,T) %AR2MAParamMap Time-variant state-space model parameter mapping function % % This function maps the vector params to the state-space matrices (A, B, % C, and D), the initial state value and the initial state variance (Mean0 % and Cov0), and the type of state (StateType). From periods 1 to T/2, the % state model is an AR(2) and an MA(1) model, and the observation model is % the sum of the two states. From periods T/2 + 1 to T, the state model is % just the AR(2) model. A1 = {[params(1) params(2) 0 0; 1 0 0 0; 0 0 0 params(3); 0 0 0 0]}; B1 = {[1 0; 0 0; 0 1; 0 1]}; C1 = {params(4)*[1 0 1 0]}; Mean0 = ones(4,1); Cov0 = 10*eye(4); StateType = [0 0 0 0]; A2 = {[params(1) params(2) 0 0; 1 0 0 0]}; B2 = {[1; 0]}; A3 = {[params(1) params(2); 1 0]}; B3 = {[1; 0]}; C3 = {params(5)*[1 0]}; A = [repmat(A1,T/2,1);A2;repmat(A3,(T-2)/2,1)]; B = [repmat(B1,T/2,1);B2;repmat(B3,(T-2)/2,1)]; C = [repmat(C1,T/2,1);repmat(C3,T/2,1)]; D = 1; end
Сохраните этот код как файл с именем AR2MAParamMap на вашем пути MATLAB®.
Создайте модель в пространстве состояний путем передачи функционального AR2MAParamMap как указатель на функцию к ssm.
Mdl = ssm(@(params)AR2MAParamMap(params,T));
ssm неявно создает модель в пространстве состояний. Обычно, вы не можете проверить неявно заданную модель в пространстве состояний.
Передайте наблюдаемые ответы (y) к estimate оценить параметры. Задайте произвольный набор положительных начальных значений для неизвестных параметров.
params0 = 0.1*ones(5,1); EstMdl = estimate(Mdl,y,params0);
Method: Maximum likelihood (fminunc)
Sample size: 50
Logarithmic likelihood: -114.957
Akaike info criterion: 239.913
Bayesian info criterion: 249.473
| Coeff Std Err t Stat Prob
---------------------------------------------------
c(1) | 0.47870 0.26634 1.79733 0.07229
c(2) | 0.00809 0.27179 0.02975 0.97626
c(3) | 0.55735 0.80958 0.68844 0.49118
c(4) | 1.62679 0.41622 3.90848 0.00009
c(5) | 1.90021 0.49563 3.83391 0.00013
|
| Final State Std Dev t Stat Prob
x(1) | -0.81229 0.46815 -1.73511 0.08272
x(2) | -0.31449 0.45918 -0.68490 0.49341
EstMdl ssm модель, содержащая предполагаемые коэффициенты. Поверхности вероятности моделей в пространстве состояний могут содержать локальные максимумы. Поэтому это - хорошая практика, чтобы попробовать несколько начальных значений параметров или рассмотреть использование refine.
Предскажите наблюдения, и утверждает пять периодов в будущее. Кроме того, получите меры изменчивости для прогнозов.
numPeriods = 5; [fY,yMSE,FX,XMSE]= forecast(EstMdl,numPeriods,y);
forecast использование EstMdl.A{end}..., EstMdl.D{end} предсказывать модель в пространстве состояний. fY и yMSE numPeriods- 1 числовой вектор из предсказанных наблюдений и отклонения предсказанных наблюдений, соответственно. FX и XMSE numPeriods- 2 матрицы прогнозов состояния и отклонения прогнозов состояния. Столбцы указывают на состояние, и строки указывают на период. Для всех выходных аргументов последняя строка соответствует последнему прогнозу.
Постройте наблюдения, истинные состояния, предсказал наблюдения и прогнозы состояния.
figure; plot(T-10:T,x(T-10:T,1),'-k',T+1:T+numPeriods,FX(:,1),'-r',... T-10:T,y(T-10:T),'--g',T+1:T+numPeriods,fY,'--b',... T:T+1,[y(T),fY(1);x(T,1),FX(1,1)]',':k','LineWidth',2); xlabel('Period') ylabel('States and Observations') legend({'True state values','State forecasts',... 'Observed responses','Forecasted responses'});
ssm | estimate | forecast | refine