Моделирование системы динамики аппарата
Этот пример показывает нелинейное моделирование серого ящика динамики аппарата. Много новых функций транспортного средства (как Электронные программы устойчивости (ESP), косвенные Системы мониторинга давления воздуха в шине (TPMS), системы мониторинга трения дорожной шины, и т.д) используют модели базовой динамики аппарата. Так называемая велосипедная модель транспортного средства является довольно простой структурой модели, которая часто используется в литературе динамики аппарата. В этом примере мы начнемся с этой структурой модели и попыткой оценить продольное и боковую жесткость шины. Фактическая работа моделирования была первоначально выполнена Эриком Нарби в его магистре наук, работают в AB Динамики NIRA, Швеция.
Моделирование динамики аппарата
Следующая фигура иллюстрирует ситуацию с моделированием транспортного средства, которая будет рассмотрена.
Рисунок 1: Схематическое представление системы динамики аппарата.
При помощи закона Ньютона движения и некоторых основных геометрических отношений, продольная скорость v_x (t), поперечная скорость v_y (t) и уровень рыскания r (t) измеренный вокруг Центра тяжести (COG) транспортного средства может быть описана следующими тремя дифференциальными уравнениями:
d
-- v_x(t) = v_y(t)*r(t) + 1/m*( (F_x,FL(t)+F_x,FR(t))*cos(delta(t))
dt - (F_y,FL(t)+F_y,FR(t))*sin(delta(t))
+ F_x,RL(t)+F_x,RR(t)
- C_A*v_x(t)^2)
d
-- v_y(t) = -v_x(t)*r(t) + 1/m*( (F_x,FL(t)+F_x,FR(t))*sin(delta(t))
dt + (F_y,FL(t)+F_y,FR(t))*cos(delta(t))
+ F_y,RL(t)+F_y,RR(t))
d
-- r(t) = 1/J*( a*( (F_x,FL(t)+F_x,FR(t))*sin(delta(t))
dt + (F_y,FL(t)+F_y,FR(t))*cos(delta(t)))
- b*(F_y,RL(t)+F_y,RR(t)))где индекс x используется, чтобы обозначить, что сила F действует в продольном направлении и y, что это действует в боковом направлении. Сокращения FL, FR, метка RL и RR шины: Переднее Левое, Переднее Право, Заднее Левое и Заднее Право, соответственно. Первое уравнение, описывающее продольное ускорение также, содержит термин сопротивления воздуха, который принят, чтобы быть квадратичной функцией продольной скорости транспортного средства v_x (t). Кроме того, дельта (t) (вход) является держащимся углом, J момент инерции, и a и b расстояния от центра тяжести до передних и задних осей, соответственно.
Давайте примем, что силы шины могут быть смоделированы посредством следующих линейных аппроксимаций:
F_x,i(t) = C_x*s_i(t)
F_y,i(t) = C_y*alpha_i(t) for i = {FL, FR, RL, RR}где C_x и C_y являются продольной и боковой жесткостью шины, соответственно. Здесь мы приняли, что эти параметры жесткости являются тем же самым для всех 4 шин. s_i (t) является так называемым (продольным) промахом шины i и alpha_i (t) угол промаха шины. Для управляемого транспортного средства с передними ведущими колесами (как рассмотрено здесь), промахи s_FL (t) и s_FR (t) выведены из отдельных скоростей колеса (измеренных) путем предположения, что задние колеса не показывают промаха (i.e., s_RL (t) = s_RR (t) = 0). Следовательно промахи являются входными параметрами к нашей структуре модели. Для передних колес углы промаха шины alpha_Fj (t) могут быть аппроксимированы (когда v_x (t)> 0)
alpha_Fj(t) = delta(t) - arctan((v_y(t) + a*r(t))/v_x(t))
~ delta(t) - (v_y(t) + a*r(t))/v_x(t) for j = {L, R}
Для задних колес углы промаха шины alpha_Rj (t) так же выведены и вычислены как
alpha_Rj(t) = - arctan((v_y(t) - b*r(t))/v_x(t))
~ - (v_y(t) - b*r(t))/v_x(t) for j = {L, R}
С J = 1 / ((0.5* (a+b)) ^2*m), мы можем затем настроить структуру пространства состояний, описывающую динамику аппарата. Введите состояния:
x1(t) = v_x(t) Longitudinal velocity [m/s]. x2(t) = v_y(t) Lateral velocity [m/s]. x3(t) = r(t) Yaw rate [rad/s].
эти пять измеренных или выведенных входных сигналов
u1(t) = s_FL(t) Slip of Front Left tire [ratio]. u2(t) = s_FR(t) Slip of Front Right tire [ratio]. u3(t) = s_RL(t) Slip of Rear Left tire [ratio]. u4(t) = s_RR(t) Slip of Rear Right tire [ratio]. u5(t) = delta(t) Steering angle [rad].
и параметры модели:
m Mass of the vehicle [kg]. a Distance from front axle to COG [m]. b Distance from rear axle to COG [m]. Cx Longitudinal tire stiffness [N]. Cy Lateral tire stiffness [N/rad]. CA Air resistance coefficient [1/m].
Выходные параметры системы являются продольной скоростью транспортного средства y1 (t) = x1 (t), боковое ускорение транспортного средства (измеренный акселерометром):
y2(t) = a_y(t) = 1/m*( (F_x,FL(t) + F_x,FR(t))*sin(delta(t))
+ (F_y,FL(t) + F_y,FR(t))*cos(delta(t))
+ F_y,RL(t) + F_y,RR(t))
и уровень рыскания y3 (t) = r (t) (измеренный гироскопом).
Соедините, мы прибываем в следующую структуру модели в пространстве состояний:
d
-- x1(t) = x2(t)*x3(t) + 1/m*( Cx*(u1(t)+u2(t))*cos(u5(t))
dt - 2*Cy*(u5(t)-(x2(t)+a*x3(t))/x1(t))*sin(u5(t))
+ Cx*(u3(t)+u4(t))
- CA*x1(t)^2) d
-- x2(t) = -x1(t)*x3(t) + 1/m*( Cx*(u1(t)+u2(t))*sin(u5(t))
dt + 2*Cy*(u5(t)-(x2(t)+a*x3(t))/x1(t))*cos(u5(t))
+ 2*Cy*(b*x3(t)-x2(t))/x1(t)) d
-- x3(t) = 1/((0.5*(a+b))^2)*m)*( a*( Cx*(u1(t)+u2(t)*sin(u5(t))
dt + 2*Cy*(u5(t) - (x2(t)+a*x3(t))/x1(t))*cos(u5(t)))
- 2*b*Cy*(b*x3(t)-x2(t))/x1(t)) y1(t) = x1(t)
y2(t) = 1/m*( Cx*(u1(t)+u2(t))*sin(u5(t))
+ 2*Cy*(u5(t)-(x2(t)+a*x3(t))/x1(t))*cos(u5(t))
+ 2*Cy*(b*x3(t)-x2(t))/x1(t))
y3(t) = x3(t)Модель транспортного средства IDNLGREY
Когда базис для нашей идентификации транспортного средства экспериментирует, мы сначала должны создать файл модели IDNLGREY, описывающий эти уравнения транспортного средства. Здесь мы используем моделирование C-MEX и создаем vehicle_c.c файл модели, в котором Нью-Йорк установлен в 3. Состояние и выходные функции обновления vehicle_c.c, compute_dx и compute_y, несколько включены, и включает несколько стандартных математических функций C-defined, как потому что(.) и sin (.), а также голова (.) для вычисления степени его аргумента.
Функция обновления состояния compute_dx возвращает дуплекс (аргумент 1) и использует 3 входных параметра: вектор состояния x, входной вектор u и шесть скалярных параметров, закодированных в p (t и auxvar файла модели шаблона C-MEX были удалены сюда):
/* State equations. */
void compute_dx(double *dx, double *x, double *u, double **p)
{
/* Retrieve model parameters. */
double *m, *a, *b, *Cx, *Cy, *CA;
m = p[0]; /* Vehicle mass. */
a = p[1]; /* Distance from front axle to COG. */
b = p[2]; /* Distance from rear axle to COG. */
Cx = p[3]; /* Longitudinal tire stiffness. */
Cy = p[4]; /* Lateral tire stiffness. */
CA = p[5]; /* Air resistance coefficient. */ /* x[0]: Longitudinal vehicle velocity. */
/* x[1]: Lateral vehicle velocity. */
/* x[2]: Yaw rate. */
dx[0] = x[1]*x[2]+1/m[0]*(Cx[0]*(u[0]+u[1])*cos(u[4])
-2*Cy[0]*(u[4]-(x[1]+a[0]*x[2])/x[0])*sin(u[4])
+Cx[0]*(u[2]+u[3])-CA[0]*pow(x[0],2));
dx[1] = -x[0]*x[2]+1/m[0]*(Cx[0]*(u[0]+u[1])*sin(u[4])
+2*Cy[0]*(u[4]-(x[1]+a[0]*x[2])/x[0])*cos(u[4])
+2*Cy[0]*(b[0]*x[2]-x[1])/x[0]);
dx[2] = 1/(pow(((a[0]+b[0])/2),2)*m[0])
*(a[0]*(Cx[0]*(u[0]+u[1])*sin(u[4])
+2*Cy[0]*(u[4]-(x[1]+a[0]*x[2])/x[0])*cos(u[4]))
-2*b[0]*Cy[0]*(b[0]*x[2]-x[1])/x[0]);
}Выходная функция обновления compute_y возвращает y (аргумент 1) и использует 3 входных параметра: вектор состояния x, входной вектор u и пять из этих шести параметров (CA сопротивления воздуха не нужен), закодированный в p:
/* Output equations. */
void compute_y(double *y, double *x, double *u, double **p)
{
/* Retrieve model parameters. */
double *m = p[0]; /* Vehicle mass. */
double *a = p[1]; /* Distance from front axle to COG. */
double *b = p[2]; /* Distance from rear axle to COG. */
double *Cx = p[3]; /* Longitudinal tire stiffness. */
double *Cy = p[4]; /* Lateral tire stiffness. */ /* y[0]: Longitudinal vehicle velocity. */
/* y[1]: Lateral vehicle acceleration. */
/* y[2]: Yaw rate. */
y[0] = x[0];
y[1] = 1/m[0]*(Cx[0]*(u[0]+u[1])*sin(u[4])
+2*Cy[0]*(u[4]-(x[1]+a[0]*x[2])/x[0])*cos(u[4])
+2*Cy[0]*(b[0]*x[2]-x[1])/x[0]);
y[2] = x[2];
}Имея соответствующий файл структуры модели, следующий шаг должен создать объект IDNLGREY, отражающий ситуацию с моделированием. Для простоты бухгалтерии мы также задаем имена и модули вводов и выводов.
FileName = 'vehicle_c'; % File describing the model structure. Order = [3 5 3]; % Model orders [ny nx nu]. Parameters = [1700; 1.5; 1.5; 1.5e5; 4e4; 0.5]; % Initial parameters. InitialStates = [1; 0; 0]; % Initial value of initial states. Ts = 0; % Time-continuous system. nlgr = idnlgrey(FileName, Order, Parameters, InitialStates, Ts, ... 'Name', 'Bicycle vehicle model', 'TimeUnit', 's'); nlgr.InputName = {'Slip on front left tire'; ... % u(1). 'Slip on front right tire'; ... % u(2). 'Slip on rear left tire'; ... % u(3). 'Slip on rear right tire'; ... % u(4). 'Steering angle'}; ... % u(5). nlgr.InputUnit = {'ratio'; 'ratio'; 'ratio'; 'ratio'; 'rad'}; nlgr.OutputName = {'Long. velocity'; ... % y(1); Longitudinal vehicle velocity 'Lat. accel.'; ... % y(2); Lateral vehicle acceleration 'Yaw rate'}; ... % y(3). nlgr.OutputUnit = {'m/s'; 'm/s^2'; 'rad/s'};
Имена и модули (начальных) состояний и параметров модели заданы через SETINIT. Мы также используем эту команду, чтобы указать, что первое начальное состояние (продольная скорость) должно быть строго положительно для модели быть допустимым и указать, что все параметры модели должны быть строго положительными. Эти ограничения будут впоследствии соблюдаться при выполнении оценки параметра модели и/или начального состояния.
nlgr = setinit(nlgr, 'Name', {'Longitudinal vehicle velocity' ... % x(1). 'Lateral vehicle velocity' ... % x(2). 'Yaw rate'}); ... % x(3). nlgr = setinit(nlgr, 'Unit', {'m/s'; 'm/s'; 'rad/s'}); nlgr.InitialStates(1).Minimum = eps(0); % Longitudinal velocity > 0 for the model to be valid. nlgr = setpar(nlgr, 'Name', {'Vehicle mass'; ... % m. 'Distance from front axle to COG'; ... % a 'Distance from rear axle to COG'; ... % b. 'Longitudinal tire stiffness'; ... % Cx. 'Lateral tire stiffness'; ... % Cy. 'Air resistance coefficient'}); ... % CA. nlgr = setpar(nlgr, 'Unit', {'kg'; 'm'; 'm'; 'N'; 'N/rad'; '1/m'}); nlgr = setpar(nlgr, 'Minimum', num2cell(eps(0)*ones(6, 1))); % All parameters > 0!
Четыре из шести параметров этой структуры модели могут с готовностью быть получены через таблицу данных рассматриваемого транспортного средства:
m = 1700 kg a = 1.5 m b = 1.5 m CA = 0.5 or 0.7 1/m (see below)
Следовательно мы не оценим эти параметры:
nlgr.Parameters(1).Fixed = true; nlgr.Parameters(2).Fixed = true; nlgr.Parameters(3).Fixed = true; nlgr.Parameters(6).Fixed = true;
С этим текстовые сводные данные вводимой структуры модели IDNLGREY получены через PRESENT можно следующим образом.
present(nlgr);
nlgr =
Continuous-time nonlinear grey-box model defined by 'vehicle_c' (MEX-file):
dx/dt = F(t, u(t), x(t), p1, ..., p6)
y(t) = H(t, u(t), x(t), p1, ..., p6) + e(t)
with 5 input(s), 3 state(s), 3 output(s), and 2 free parameter(s) (out of 6).
Inputs:
u(1) Slip on front left tire(t) [ratio]
u(2) Slip on front right tire(t) [ratio]
u(3) Slip on rear left tire(t) [ratio]
u(4) Slip on rear right tire(t) [ratio]
u(5) Steering angle(t) [rad]
States: Initial value
x(1) Longitudinal vehicle velocity(t) [m/s] xinit@exp1 1 (fixed) in ]0, Inf]
x(2) Lateral vehicle velocity(t) [m/s] xinit@exp1 0 (fixed) in [-Inf, Inf]
x(3) Yaw rate(t) [rad/s] xinit@exp1 0 (fixed) in [-Inf, Inf]
Outputs:
y(1) Long. velocity(t) [m/s]
y(2) Lat. accel.(t) [m/s^2]
y(3) Yaw rate(t) [rad/s]
Parameters: Value
p1 Vehicle mass [kg] 1700 (fixed) in ]0, Inf]
p2 Distance from front axle to COG [m] 1.5 (fixed) in ]0, Inf]
p3 Distance from rear axle to COG [m] 1.5 (fixed) in ]0, Inf]
p4 Longitudinal tire stiffness [N] 150000 (estimated) in ]0, Inf]
p5 Lateral tire stiffness [N/rad] 40000 (estimated) in ]0, Inf]
p6 Air resistance coefficient [1/m] 0.5 (fixed) in ]0, Inf]
Name: Bicycle vehicle model
Status:
Created by direct construction or transformation. Not estimated.
More information in model's "Report" property.
Данные ввода - вывода
На данном этапе мы загружаем доступные данные ввода - вывода. Этот файл содержит данные из трех различных экспериментов:
A. Simulated data with high stiffness tires [y1 u1]. B. Simulated data with low stiffness tires [y2 u2]. C. Measured data from a Volvo V70 [y3 u3].
Во всех случаях, шаг расчета Ts = 0,1 секунды.
load(fullfile(matlabroot, 'toolbox', 'ident', 'iddemos', 'data', 'vehicledata'));
A. System Identification Используя симулированные высокие данные о жесткости шины
В нашем первом транспортном средстве экспериментирует идентификация, мы считаем симулированными, высоко утомляют данные о жесткости. Копия структуры модели nlgr и объекта IDDATA z1 отражение этой конкретной ситуации с моделированием сначала создается. Эти 5 входных сигналов хранятся в u1 и этих 3 выходных сигналах в y1. Входные параметры промаха (сгенерированный от сигналов скорости колеса) для передних колес были выбраны, чтобы быть синусоидальными с постоянным смещением; уровень рыскания был также синусоидальным, но с различной амплитудой и частотой. В действительности это - несколько искусственная ситуация, потому что каждый редко волнует транспортное средство так в боковом направлении.
nlgr1 = nlgr; nlgr1.Name = 'Bicycle vehicle model with high tire stiffness'; z1 = iddata(y1, u1, 0.1, 'Name', 'Simulated high tire stiffness vehicle data'); z1.InputName = nlgr1.InputName; z1.InputUnit = nlgr1.InputUnit; z1.OutputName = nlgr1.OutputName; z1.OutputUnit = nlgr1.OutputUnit; z1.Tstart = 0; z1.TimeUnit = 's';
Вводы и выводы показывают на двух рисунках графика.
h_gcf = gcf; set(h_gcf,'DefaultLegendLocation','southeast'); h_gcf.Position = [100 100 795 634]; for i = 1:z1.Nu subplot(z1.Nu, 1, i); plot(z1.SamplingInstants, z1.InputData(:,i)); title(['Input #' num2str(i) ': ' z1.InputName{i}]); xlabel(''); axis tight; end xlabel([z1.Domain ' (' z1.TimeUnit ')']);
Рисунок 2: Входные параметры к системе транспортного средства с высокой жесткостью шины.
for i = 1:z1.Ny subplot(z1.Ny, 1, i); plot(z1.SamplingInstants, z1.OutputData(:,i)); title(['Output #' num2str(i) ': ' z1.OutputName{i}]); xlabel(''); axis tight; end xlabel([z1.Domain ' (' z1.TimeUnit ')']);
Рисунок 3: Выходные параметры от системы транспортного средства с высокой жесткостью шины.
Следующий шаг должен исследовать эффективность первоначальной модели, и для этого мы выполняем симуляцию. Заметьте, что начальное состояние было зафиксировано к ненулевому значению, когда первое состояние (продольная скорость транспортного средства) используется в качестве знаменателя в структуре модели. Сравнение между истиной и симулированными выходными параметрами (с первоначальной моделью) показывают в окне графика.
clf compare(z1, nlgr1, [], compareOptions('InitialCondition', 'model'));
Рисунок 4: Сравнение между истинными выходными параметрами и симулированными выходными параметрами первоначальной модели транспортного средства с высокой жесткостью шины.
Для того, чтобы улучшить подгонку модели, два параметра жесткости шины, Ккс и Сай затем оцениваются, и выполняется новая симуляция с предполагаемой моделью.
nlgr1 = nlgreyest(z1, nlgr1);
Сравнение между истиной и симулированными выходными параметрами (с предполагаемой моделью) показывают в окне графика.
compare(z1, nlgr1, [], compareOptions('InitialCondition', 'model'));
Рисунок 5: Сравнение между истинными выходными параметрами и симулированными выходными параметрами предполагаемой модели транспортного средства с высокой жесткостью шины.
Эффективность симуляции предполагаемой модели довольно хороша. Предполагаемые параметры жесткости также близко к тем используемым в Simulink®, чтобы сгенерировать истинные выходные данные:
disp(' True Estimated'); fprintf('Longitudinal stiffness: %6.0f %6.0f\n', 2e5, nlgr1.Parameters(4).Value); fprintf('Lateral stiffness : %6.0f %6.0f\n', 5e4, nlgr1.Parameters(5).Value);
True Estimated Longitudinal stiffness: 200000 198517 Lateral stiffness : 50000 53752
B. System Identification Используя симулированные низкие данные о жесткости шины
Во втором эксперименте мы повторяем моделирование из первого эксперимента, но теперь с симулированными низкими данными о жесткости шины.
nlgr2 = nlgr; nlgr2.Name = 'Bicycle vehicle model with low tire stiffness'; z2 = iddata(y2, u2, 0.1, 'Name', 'Simulated low tire stiffness vehicle data'); z2.InputName = nlgr2.InputName; z2.InputUnit = nlgr2.InputUnit; z2.OutputName = nlgr2.OutputName; z2.OutputUnit = nlgr2.OutputUnit; z2.Tstart = 0; z2.TimeUnit = 's';
Вводы и выводы показывают на двух рисунках графика.
clf for i = 1:z2.Nu subplot(z2.Nu, 1, i); plot(z2.SamplingInstants, z2.InputData(:,i)); title(['Input #' num2str(i) ': ' z2.InputName{i}]); xlabel(''); axis tight; end xlabel([z2.Domain ' (' z2.TimeUnit ')']);
Рисунок 6: Входные параметры к системе транспортного средства с низкой жесткостью шины.
clf for i = 1:z2.Ny subplot(z2.Ny, 1, i); plot(z2.SamplingInstants, z2.OutputData(:,i)); title(['Output #' num2str(i) ': ' z2.OutputName{i}]); xlabel(''); axis tight; end xlabel([z2.Domain ' (' z2.TimeUnit ')']);
Рисунок 7: Выходные параметры от системы транспортного средства с низкой жесткостью шины.
Затем мы исследуем эффективность первоначальной модели (который имеет те же параметры, как начальная буква высоко утомляет модель жесткости). Сравнение между истиной и симулированными выходными параметрами (с первоначальной моделью) показывают в окне графика.
clf compare(z2, nlgr2, [], compareOptions('InitialCondition', 'model'));
Рисунок 8: Сравнение между истинными выходными параметрами и симулированными выходными параметрами первоначальной модели транспортного средства с низкой жесткостью шины.
Два параметра жесткости затем оцениваются.
nlgr2 = nlgreyest(z2, nlgr2);
Сравнение между истиной и симулированными выходными параметрами (с предполагаемой моделью) показывают в окне графика.
compare(z2, nlgr2, [], compareOptions('InitialCondition', 'model'));
Рисунок 9: Сравнение между истинными выходными параметрами и симулированными выходными параметрами предполагаемой модели транспортного средства с низкой жесткостью шины.
Эффективность симуляции предполагаемой модели снова действительно хороша. Даже с той же начальной точкой параметра, как использовался в высоком случае жесткости шины, предполагаемые параметры жесткости также здесь близко к тем используемым в Simulink, чтобы сгенерировать истинные выходные данные:
disp(' True Estimated'); fprintf('Longitudinal stiffness: %6.0f %6.0f\n', 1e5, nlgr2.Parameters(4).Value); fprintf('Lateral stiffness : %6.0f %6.0f\n', 2.5e4, nlgr2.Parameters(5).Value);
True Estimated Longitudinal stiffness: 100000 99573 Lateral stiffness : 25000 26117
C. System Identification Используя измеренную Volvo V70 Data
В итоговом эксперименте мы считаем данные собранными в Volvo V70. Как выше, мы делаем копию типового объекта модели транспортного средства nlgr и создаем новый объект IDDATA, содержащий результаты измерений. Здесь мы также увеличили коэффициент сопротивления воздуха с 0,50 до 0,70, чтобы лучше отразить ситуацию Volvo V70.
nlgr3 = nlgr; nlgr3.Name = 'Volvo V70 vehicle model'; nlgr3.Parameters(6).Value = 0.70; % Use another initial CA for the Volvo data. z3 = iddata(y3, u3, 0.1, 'Name', 'Volvo V70 data'); z3.InputName = nlgr3.InputName; z3.InputUnit = nlgr3.InputUnit; z3.OutputName = nlgr3.OutputName; z3.OutputUnit = nlgr3.OutputUnit; z3.Tstart = 0; z3.TimeUnit = 's';
Вводы и выводы показывают на двух рисунках графика. Как видно, результаты измерений являются довольно шумными.
clf for i = 1:z3.Nu subplot(z3.Nu, 1, i); plot(z3.SamplingInstants, z3.InputData(:,i)); title(['Input #' num2str(i) ': ' z3.InputName{i}]); xlabel(''); axis tight; end xlabel([z3.Domain ' (' z3.TimeUnit ')']);
Рисунок 10: Измеренные входные параметры от транспортного средства Volvo V70.
clf for i = 1:z3.Ny subplot(z3.Ny, 1, i); plot(z3.SamplingInstants, z3.OutputData(:,i)); title(['Output #' num2str(i) ': ' z3.OutputName{i}]); xlabel(''); axis tight; end xlabel([z3.Domain ' (' z3.TimeUnit ')']);
Рисунок 11: Измеренные выходные параметры от транспортного средства Volvo V70.
Затем мы исследуем эффективность первоначальной модели с оцениваемыми начальными состояниями. Сравнение между истиной и симулированными выходными параметрами (с первоначальной моделью) показывают в окне графика.
nlgr3 = setinit(nlgr3, 'Value', {18.7; 0; 0}); % Initial value of initial states. clf compare(z3, nlgr3);
Рисунок 12: Сравнение между измеренными выходными параметрами и симулированными выходными параметрами первоначальной модели транспортного средства Volvo V70.
Параметры жесткости шины Ккс и Сай затем оцениваются, в этом случае с помощью метода поиска Levenberg-Marquardt, после чего новая симуляция с предполагаемой моделью, выполняются. Кроме того, мы здесь оцениваем начальное значение продольной скорости, тогда как начальные значения поперечной скорости и уровня рыскания сохранены фиксированными.
nlgr3 = setinit(nlgr3, 'Fixed', {false; true; true}); nlgr3 = nlgreyest(z3, nlgr3, nlgreyestOptions('SearchMethod', 'lm'));
Сравнение между истиной и симулированными выходными параметрами (с предполагаемой моделью) показывают в окне графика.
compare(z3, nlgr3);
Рисунок 13: Сравнение между измеренными выходными параметрами и симулированными выходными параметрами первой предполагаемой модели транспортного средства Volvo V70.
Предполагаемые параметры жесткости итоговой модели Volvo V70 разумны, все же это здесь неизвестно, каковы их вещественные значения.
disp(' Estimated'); fprintf('Longitudinal stiffness: %6.0f\n', nlgr3.Parameters(4).Value); fprintf('Lateral stiffness : %6.0f\n', nlgr3.Parameters(5).Value);
Estimated Longitudinal stiffness: 108873 Lateral stiffness : 29964
Дополнительная информация о предполагаемой модели транспортного средства Volvo V70 получена через PRESENT. Здесь интересно отметить, что неопределенность, связанная с предполагаемой боковой жесткостью шины, довольно высока (и значительно выше, чем для продольной жесткости шины). Эта неопределенность происходит частично, от которого поперечное ускорение варьируется так мало во время тест-драйва.
present(nlgr3);
nlgr3 =
Continuous-time nonlinear grey-box model defined by 'vehicle_c' (MEX-file):
dx/dt = F(t, u(t), x(t), p1, ..., p6)
y(t) = H(t, u(t), x(t), p1, ..., p6) + e(t)
with 5 input(s), 3 state(s), 3 output(s), and 2 free parameter(s) (out of 6).
Inputs:
u(1) Slip on front left tire(t) [ratio]
u(2) Slip on front right tire(t) [ratio]
u(3) Slip on rear left tire(t) [ratio]
u(4) Slip on rear right tire(t) [ratio]
u(5) Steering angle(t) [rad]
States: Initial value
x(1) Longitudinal vehicle velocity(t) [m/s] xinit@exp1 17.6049 (estimated) in ]0, Inf]
x(2) Lateral vehicle velocity(t) [m/s] xinit@exp1 0 (fixed) in [-Inf, Inf]
x(3) Yaw rate(t) [rad/s] xinit@exp1 0 (fixed) in [-Inf, Inf]
Outputs:
y(1) Long. velocity(t) [m/s]
y(2) Lat. accel.(t) [m/s^2]
y(3) Yaw rate(t) [rad/s]
Parameters: ValueStandard Deviation
p1 Vehicle mass [kg] 1700 0 (fixed) in ]0, Inf]
p2 Distance from front axle to COG [m] 1.5 0 (fixed) in ]0, Inf]
p3 Distance from rear axle to COG [m] 1.5 0 (fixed) in ]0, Inf]
p4 Longitudinal tire stiffness [N] 108873 26.8501 (estimated) in ]0, Inf]
p5 Lateral tire stiffness [N/rad] 29963.5 217.877 (estimated) in ]0, Inf]
p6 Air resistance coefficient [1/m] 0.7 0 (fixed) in ]0, Inf]
Name: Volvo V70 vehicle model
Status:
Termination condition: Maximum number of iterations reached..
Number of iterations: 20, Number of function evaluations: 41
Estimated using Solver: ode45; Search: lm on time domain data "Volvo V70 data".
Fit to estimation data: [-374.2;29.74;34.46]%
FPE: 2.362e-07, MSE: 0.3106
More information in model's "Report" property.
Заключительные замечания
Оценка параметров жесткости шины является на практике довольно сложной проблемой. Во-первых, приближения, введенные в структуре модели выше, допустимы для довольно узкой области операции и данных во время высоких ускорений, торможение, и т.д., не может использоваться. Жесткость также меняется в зависимости от состояния окружающей среды, e.g., окружающая температура, температура в шинах и условиях дорожного покрытия, которые не составляются в используемой структуре модели. Во-вторых, оценка параметров жесткости полагается в большой степени на ведущий стиль. При больше всего движении прямо вперед как в третьем идентификационном эксперименте, становится трудно оценить параметры жесткости (особенно боковой) или поместить иначе, неопределенность параметра становится довольно высокой.