Решите УЧП с непостоянными граничными условиями
В этом примере показано, как записать функции для непостоянной спецификации граничного условия.
Геометрия
Все технические требования используют ту же геометрию, которая является прямоугольником с круговым отверстием.
% Rectangle is code 3, 4 sides, % followed by x-coordinates and then y-coordinates R1 = [3,4,-1,1,1,-1,-.4,-.4,.4,.4]'; % Circle is code 1, center (.5,0), radius .2 C1 = [1,.5,0,.2]'; % Pad C1 with zeros to enable concatenation with R1 C1 = [C1;zeros(length(R1)-length(C1),1)]; geom = [R1,C1]; % Names for the two geometric objects ns = (char('R1','C1'))'; % Set formula sf = 'R1-C1'; % Create geometry g = decsg(geom,sf,ns); % Create geometry model model = createpde; % Include the geometry in the model % and view the geometry geometryFromEdges(model,g); pdegplot(model,'EdgeLabels','on') xlim([-1.1 1.1]) axis equal
Скалярная проблема
Ребро 3 имеет условия Дирихле со значением 32.
Ребро 1 имеет условия Дирихле со значением 72.
Ребра 2 и 4 имеют условия Дирихле, которые линейно интерполируют между ребрами 1 и 3.
Круговые ребра (5 - 8) имеют Неймановы условия с
q = 0,g = -1.
applyBoundaryCondition(model,'dirichlet', ... 'Edge',3,'u',32); applyBoundaryCondition(model,'dirichlet', ... 'Edge',1,'u',72); applyBoundaryCondition(model,'neumann', ... 'Edge',5:8, ... 'g',-1); % q = 0 by default
Ребра 2 и 4 функции потребности, которые выполняют линейную интерполяцию. Каждое ребро может использовать ту же функцию, которая возвращает значение .
Можно реализовать эту простую интерполяцию в анонимной функции.
myufunction = @(location,state)52 + 20*location.x;
Включайте функцию для ребер 2 и 4. Чтобы помочь ускорить решатель, позвольте векторизованную оценку.
applyBoundaryCondition(model,'dirichlet', ... 'Edge',[2,4],... 'u',myufunction,... 'Vectorized','on');
Решите эллиптический УЧП с этими граничными условиями, с помощью параметров c = 1, a = 0, и | f = 10 |. Поскольку более короткая прямоугольная сторона имеет длину 0.8, чтобы гарантировать, что mesh не слишком крупна, выбирают максимальный размер mesh Hmax = 0.1.
specifyCoefficients(model,'m',0,'d',0,'c',1, ... 'a',0,'f',10); generateMesh(model,'Hmax',0.1); results = solvepde(model); u = results.NodalSolution; pdeplot(model,'XYData',u)
Система УЧП
Предположим, что система имеет N = 2.
Ребро 3 имеет условия Дирихле со значениями
[32,72].Ребро 1 имеет условия Дирихле со значениями
[72,32].Ребра 2 и 4 имеют условия Дирихле, которые интерполируют между условиями на ребрах 1 и 3 и включают синусоидальное изменение.
Круговые ребра (ребра 5 - 8) имеют
q = 0иg = -10.
model = createpde(2); geometryFromEdges(model,g); applyBoundaryCondition(model,'dirichlet', ... 'Edge',3,'u',[32,72]); applyBoundaryCondition(model,'dirichlet', ... 'Edge',1,'u',[72,32]); applyBoundaryCondition(model,'neumann', ... 'Edge',5:8,'g',[-10,-10]);
Первый компонент ребер 2 и 4 удовлетворяет уравнению .
Второй компонент удовлетворяет .
Запишите файлу функции myufun.m это включает эти уравнения в синтаксис, описанный в Непостоянных Граничных условиях.
function bcMatrix = myufun(location,state)
bcMatrix = [52 + 20*location.x + 10*sin(pi*(location.x.^3));
52 - 20*location.x - 10*sin(pi*(location.x.^3))]; % OK to vectorize
end
Включайте эту функцию в ребро 2 и ребро 4 граничных условия.
applyBoundaryCondition(model,'dirichlet','Edge',[2,4],... 'u',@myufun,... 'Vectorized','on');
Решите эллиптический УЧП с этими граничными условиями параметрами c = 1, a = 0, и f = (10,-10). Поскольку более короткая прямоугольная сторона имеет длину 0.8, чтобы гарантировать, что mesh не слишком крупна, выбирают максимальный размер mesh Hmax = 0.1.
specifyCoefficients(model,'m',0,'d',0,'c',1, ... 'a',0,'f',[10;-10]); generateMesh(model,'Hmax',0.1); results = solvepde(model); u = results.NodalSolution; subplot(1,2,1) pdeplot(model,'XYData',u(:,1), ... 'ZData',u(:,1), ... 'ColorBar','off') view(-9,24) subplot(1,2,2) pdeplot(model,'XYData',u(:,2), ... 'ZData',u(:,2), ... 'ColorBar','off') view(-9,24)
