Минимальная поверхностная проблема

В этом примере показано, как решить минимальное поверхностное уравнение

на единичном диске $\Omega =\left\{\left(\mathit{x},\mathit{y}\right)|{\mathit{x}}^2+{\mathit{y}}^2\le 1\right\}$, с $\mathit{u}\left(\mathit{x},\mathit{y}\right)={\mathit{x}}^2$ на контуре $\partial \Omega$. Эллиптическое уравнение в форме тулбокса

$-\nabla \cdot \left(\mathit{c}\nabla \mathit{u}\right)+\mathit{au}=\mathit{f}$.

Поэтому для минимальной поверхностной проблемы, коэффициенты следующие:

$\mathit{c}=\frac{1}{\sqrt{1+{\left|\nabla \mathit{u}\right|}^2}},\mathit{a}=0,\mathit{f}=0$.

Поскольку коэффициент c является функцией решения u, минимальной поверхностной проблемой является нелинейная эллиптическая проблема.

Чтобы решить минимальную поверхностную задачу с помощью программируемого рабочего процесса, сначала создайте модель PDE с одной зависимой переменной.

model = createpde;

Создайте геометрию и включайте ее в модель. circleg функция представляет эту геометрию.

geometryFromEdges(model,@circleg);

Постройте геометрию с метками ребра.

pdegplot(model,'EdgeLabels','on'); 
axis equal
title 'Geometry with Edge Labels';

Задайте коэффициенты.

a = 0;
f = 0;
cCoef = @(region,state) 1./sqrt(1+state.ux.^2 + state.uy.^2);
specifyCoefficients(model,'m',0,'d',0,'c',cCoef,'a',a,'f',f);

Задайте граничные условия с помощью функции $\mathit{u}\left(\mathit{x},\mathit{y}\right)={\mathit{x}}^2$.

bcMatrix = @(region,~)region.x.^2;
applyBoundaryCondition(model,'dirichlet',...
                             'Edge',1:model.Geometry.NumEdges,...
                             'u',bcMatrix);

Сгенерируйте и постройте mesh.

generateMesh(model,'Hmax',0.1);
figure; 
pdemesh(model); 
axis equal

Решите задачу при помощи solvepde функция. Поскольку проблема нелинейна, solvepde вызывает нелинейный решатель. Наблюдайте прогресс решателя путем установки SolverOptions.ReportStatistics свойство модели к 'on'.

model.SolverOptions.ReportStatistics = 'on';
result = solvepde(model);

Iteration     Residual     Step size  Jacobian: Full
   0          1.8540e-02
   1          2.8715e-04   1.0000000
   2          1.2144e-06   1.0000000

u = result.NodalSolution;

Постройте решение.

figure; 
pdeplot(model,'XYData',u,'ZData',u);
xlabel 'x'
ylabel 'y'
zlabel 'u(x,y)'
title 'Minimal Surface'