Уравнение волны на квадратной области: приложение PDE Modeler

В этом примере показано, как решить уравнение волны для поперечных колебаний мембраны на квадрате. Мембрана фиксируется в левых и правых сторонах и свободна в верхних и более низких сторонах. Этот пример использует приложение PDE Modeler. Для программируемого рабочего процесса смотрите уравнение Волны на Квадратной Области.

Уравнение волны является гиперболическим УЧП:

2ut2Δu=0

Чтобы решить эту задачу в приложении PDE Modeler, выполните эти шаги:

  1. Откройте приложение PDE Modeler при помощи pdeModeler команда.

  2. Отобразите линии сетки путем выбора Options> Grid.

  3. Выровняйте новые формы к линиям сетки путем выбора Options> Snap.

  4. Чертите квадрат с углами в (-1,-1), (-1,1), (1,1), и (1,-1). Для этого сначала нажмитеrectangle кнопку. Затем кликните по одному из углов с помощью правой кнопки мыши и перетащите, чтобы чертить квадрат. Правая кнопка мыши ограничивает форму, которую вы чертите, чтобы быть квадратом, а не прямоугольником.

    Также можно использовать pderect функция:

    pderect([-1 1 -1 1])
  5. Проверяйте, что режим приложения установлен в Generic Scalar.

  6. Задайте граничные условия. Для этого переключитесь на граничный режим путем нажатияpartial derivative uppercase Omega кнопки или выбора Boundary> Boundary Mode. Выберите левые и правые контуры. Затем выберите Boundary> Specify Boundary Conditions и задайте граничное условие Дирихле u = 0. Это граничное условие является по умолчанию (h = 1, r = 0), таким образом, вы не должны изменять его.

    Для нижней части и главных контуров, установленных Нейманово граничное условие u / ∂ n = 0. Для этого установите g = 0, q = 0.

  7. Задайте коэффициенты путем выбора PDE PDE Specification или нажатия кнопки PDE на панели инструментов. Выберите тип Hyperbolic УЧП и задайте c = 1, a = 0, f = 0, и d = 1.

  8. Инициализируйте mesh путем выбора Mesh> Initialize Mesh. Совершенствуйте mesh путем выбора Mesh> Refine Mesh.

  9. Установите времена решения. Для этого выберите Solve> Parameters. Создайте линейно распределенный временной вектор от 0 до 5 секунд путем установки времени решения на linspace(0,5,31).

  10. В том же диалоговом окне задайте начальные условия для уравнения волны. Для решения хорошего поведения начальные значения должны совпадать с граничными условиями. Если начальным временем является t = 0, то следующие начальные значения, которые удовлетворяют граничным условиям: atan(cos(pi/2*x)) для u(0) и 3*sin(pi*x).*exp(sin(pi/2*y)) для u / ∂ t,

    Обратная функция тангенса и показательная функция вводят больше режимов в решение.

    Dialog box for specifying the solver parameters for hyperbolic equations

  11. Решите УЧП путем выбора Solve> Solve PDE или нажатия кнопки = на панели инструментов. Приложение время от времени решает уравнение тепла от 0 до 5 секунд и отображает результат в конце отрезка времени.

  12. Визуализируйте решение как 3-D помехи и анимированные графики. Для этого:

    1. Выберите Plot> Parameters.

    2. В получившемся диалоговом окне выберите опции Height (3-D plot) и Color.

    3. Чтобы визуализировать динамическое поведение волны, выберите Animation в том же диалоговом окне. Если прогресс анимации является слишком медленным, выберите опцию Plot in x-y grid. x-y сетка может значительно ускорить процесс анимации.

    3-D solution plot in color for time = 5

Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте