Выбор порядка AR с частичной последовательностью автокорреляции

В этом примере показано, как оценить порядок авторегрессивной модели с помощью частичной последовательности автокорреляции. Для стационарных временных рядов со значениями $$X(1),X(2),X(3),\dots ,X(k+1)$$, частичная последовательность автокорреляции в задержке $$k$$ корреляция между $$X(1)$$ и $$X(k+1)$$ после регрессирования $$X(1)$$ и $$X(k+1)$$ на прошедших наблюдениях, $$X(2),X(3),X(4),\dots ,X(k)$$. Для процесса скользящего среднего значения можно использовать последовательность автокорреляции, чтобы оценить порядок. Однако для авторегрессивного (AR) или авторегрессивное скользящее среднее значение (ARMA) процесс, последовательность автокорреляции не помогает в выборе порядка. Этот пример использует следующий рабочий процесс для выбора порядка модели в процессе AR:

Рассмотрите AR (2) процесс заданный

где $$\epsilon (n)$$ $$N(0,1)$$ Гауссов процесс белого шума. Симулируйте ряд с 1000 шагами расчета от AR (2) процесс, заданный разностным уравнением. Установите генератор случайных чисел на настройки по умолчанию для восстанавливаемых результатов.

A = [1 1.5 0.75];
rng default
x = filter(1,A,randn(1000,1));

Просмотрите частотную характеристику AR (2) процесс.

freqz(1,A)

AR (2) процесс действует как фильтр highpass в этом случае.

Графически исследуйте корреляцию в x путем создания графиков рассеивания $$X(n+1)$$ по сравнению с. $$X(1)$$ для $$n=2,3,4,5$$.

figure
for k = 1:4
    subplot(2,2,k)
    plot(x(1:end-k),x(k+1:end),'*')
    xlabel('X_1')
    ylabel(['X_' int2str(k+1)])
    grid
end

В графике рассеивания вы видите линейное соотношение между $$X(1)$$ и $$X(2)$$ и между $$X(1)$$ и $$X(3)$$, но не между $$X(1)$$ и также $$X(4)$$ или $$X(5)$$.

Точки в графиках рассеивания верхней строки падают приблизительно на линию с отрицательным наклоном в левой верхней панели и положительным наклоном в правой верхней панели. Графики рассеивания в нижней части две панели не показывают очевидного линейного соотношения.

Отрицательная корреляция между $$X(1)$$ и $$X(2)$$ и положительная корреляция между $$X(1)$$ и $$X(3)$$ объяснены поведением highpass-фильтра AR (2) процесс.

Найдите, что демонстрационная последовательность автокорреляции изолирует 50 и строит результат.

[xc,lags] = xcorr(x,50,'coeff');

figure
stem(lags(51:end),xc(51:end),'filled')
xlabel('Lag')
ylabel('ACF')
title('Sample Autocorrelation Sequence')
grid

Демонстрационная последовательность автокорреляции показывает отрицательную величину в задержке 1 и положительное значение в задержке 2. На основе графика рассеивания ожидается этот результат. Однако вы не можете определить соответствующий порядок для модели AR от демонстрационной последовательности автокорреляции.

Подбирайте модель AR (15) с помощью aryule. Возвратите последовательность отражательных коэффициентов, чьи отрицательный частичная последовательность автокорреляции.

[arcoefs,E,K] = aryule(x,15);
pacf = -K;

Постройте частичную последовательность автокорреляции наряду с доверительными интервалами 95% большой выборки. Если данные сгенерированы авторегрессивным процессом порядка $$p$$, значения демонстрационной частичной последовательности автокорреляции для задержек, больше, чем $$p$$ следуйте за a $$N(0,1/N)$$ распределение, где $$N$$ длина временных рядов. Для 95%-го доверительного интервала критическое значение $$\sqrt{2}{erf}^{-1}(0.95)\approx 1.96$$ и доверительный интервал $$\Delta =0\pm 1.96/\sqrt{N}$$.

stem(pacf,'filled')
xlabel('Lag')
ylabel('Partial ACF')
title('Partial Autocorrelation Sequence')
xlim([1 15])

conf = sqrt(2)*erfinv(0.95)/sqrt(1000);
hold on
plot(xlim,[1 1]'*[-conf conf],'r')
hold off
grid

Единственные значения частичной последовательности автокорреляции вне 95% доверительных границ происходят в задержках 1 и 2. Это указывает, что правильный порядок модели для процесса AR равняется 2.

В этом примере вы сгенерировали временные ряды, чтобы симулировать AR (2) процесс. Частичная последовательность автокорреляции только подтверждает тот результат. На практике у вас есть только наблюдаемые временные ряды без любой предшествующей информации о порядке модели. В реалистическом сценарии частичная последовательность автокорреляции является важным инструментом для соответствующего выбора порядка модели в стационарных авторегрессивных временных рядах.

Смотрите также

aryule | xcorr