Спектральный анализ

Справочная информация

Цель спектральной оценки состоит в том, чтобы описать распределение (по частоте) степени, содержавшейся в сигнале, на основе конечного множества данных. Оценка спектров мощности полезна во множестве приложений, включая обнаружение сигналов, проложенных под землей в широкополосном шуме.

Спектральная плотность мощности (PSD) стационарного вероятностного процесса x (n) математически связана с последовательностью автокорреляции преобразованием Фурье дискретного времени. В терминах нормированной частоты этим дают

$P_{x x} (ω) = \frac{1}{2 π} \sum_{m = - \infty}^{\infty} R_{x x} (m) e^{- j ω m} .$

Это может быть записано в зависимости от физической частоты f (например, в герц) при помощи отношения ω = 2πf / _fs, где _fs является частотой дискретизации:

$P_{x x} (f) = \frac{1}{f_{s}} \sum_{m = - \infty}^{\infty} R_{x x} (m) e^{- j 2 π m f / f_{s}} .$

Последовательность корреляции может быть выведена из PSD при помощи обратного преобразования Фурье дискретного времени:

$R_{x x} (m) = \int_{- π}^{π} P_{x x} (ω) e^{j ω m} d ω = \int_{- f_{s} / 2}^{f_{s} / 2} P_{x x} (f) e^{j 2 π m f / f_{s}} d f .$

Средняя степень последовательности x (n) на целом интервале Найквиста представлена

$R_{x x} (0) = \int_{- π}^{π} P_{x x} (ω) d ω = \int_{- f_{s} / 2}^{f_{s} / 2} P_{x x} (f) d f .$

Средняя степень сигнала по конкретному диапазону частот [ω ₁, ω ₂], 0 ≤ ω ₁ ≤ ω ₂ ≤ π, может быть найдена путем интеграции PSD по той полосе:

${\bar{P}}_{[ω_{1}, ω_{2}]} = \int_{ω_{1}}^{ω_{2}} P_{x x} (ω) d ω = \int_{- ω_{2}}^{- ω_{1}} P_{x x} (ω) d ω .$

Вы видите от вышеупомянутого выражения, что _Pxx (ω) представляет содержимое степени сигнала в бесконечно малом диапазоне частот, который является, почему это называется спектральной плотностью мощности.

Модули PSD являются степенью (например, ватты) на единицу частоты. В случае _Pxx (ω) это - ватты/радиан/выборка или просто ватты/радиан. В случае _Pxx (f) модули являются ваттами/герц. Интегрирование PSD относительно частоты дает к модулям ватт, как ожидалось для средней степени.

Для вещественных сигналов PSD симметричен о DC, и таким образом _Pxx (ω) для 0 ≤ ω ≤ π достаточен, чтобы полностью охарактеризовать PSD. Однако, чтобы получить среднюю степень на целом интервале Найквиста, необходимо ввести концепцию одностороннего PSD.

Односторонним PSD дают

$P_{one-sided} (ω) = {\begin{array}{l} 0, & - π \leq ω < 0, \\ 2 P_{x x} (ω), & 0 \leq ω \leq π . \end{array}$

Средняя степень сигнала по диапазону частот, [ω ₁, ω ₂] с 0 ≤ ω ₁ ≤ ω ₂ ≤ π, может быть вычислена с помощью одностороннего PSD как

${\bar{P}}_{[ω_{1}, ω_{2}]} = \int_{ω_{1}}^{ω_{2}} P_{one-sided} (ω) d ω .$

Спектральный метод оценки

Различные методы оценки спектра, доступной в тулбоксе, категоризированы можно следующим образом:

Непараметрические методы
Параметрические методы
Методы подпространства

Непараметрические методы - те, в которых PSD оценивается непосредственно от самого сигнала. Самой простой такой метод является периодограмма. Другие непараметрические методы, такие как метод валлийцев [8], метод мультизаострения (MTM) уменьшает отклонение периодограммы.

Параметрические методы - те, в которых PSD оценивается от сигнала, который принят, чтобы быть выходом линейной системы, управляемой белым шумом. Примерами является Уокер Рождества, авторегрессивный (AR) метод и метод Города. Эти методы оценивают PSD первой оценкой параметров (коэффициенты) линейной системы, которая гипотетически генерирует сигнал. Они имеют тенденцию приводить к лучшим результатам, чем классические непараметрические методы, когда длина данных доступного сигнала относительно коротка. Параметрические методы также производят более сглаженные оценки PSD, чем непараметрические методы, но подвергаются ошибке из модели misspecification.

Методы подпространства, также известные как методы с высоким разрешением или методы суперразрешения, генерируют оценки частотной составляющей для сигнала на основе eigenanalysis или eigendecomposition матрицы автокорреляции. Примерами является классификация сигнала нескольких (MUSIC) метод или собственный вектор (EV) метод. Эти методы подходят лучше всего для спектров линии — то есть, спектров синусоидальных сигналов — и являются эффективными при обнаружении содержавших шум синусоид, особенно когда сигнал к шумовым отношениям является низким. Методы подпространства не дают к истинным оценкам PSD: они не сохраняют степень процесса между временным и частотным диапазоном, и последовательность автокорреляции не может быть восстановлена путем взятия обратного преобразования Фурье оценки частоты.

Все три категории методов перечислены в таблице ниже с соответствующими именами функций тулбокса. Больше информации о каждой функции находится на соответствующей странице ссылки на функцию. Смотрите Параметрическое моделирование для получения дополнительной информации о lpc и другие параметрические функции оценки.

Спектральные методы/Функции оценки

Метод	Описание	Функции
Периодограмма	Оценка спектральной плотности мощности	`periodogram`
Валлийский язык	Усредненные периодограммы перекрытых, оконных разделов сигнала	`pwelch`, `cpsd`, `tfestimate`, `mscohere`
Мультизаострение	Спектральная оценка от комбинации нескольких ортогональных окон (или “заострения”)	`pmtm`
Уокер Рождества АР	Авторегрессивный (AR) спектральная оценка timeseries от ее предполагаемой автокорреляционной функции	`pyulear`
Город	Авторегрессивный (AR) спектральная оценка timeseries минимизацией ошибок линейного предсказания	`pburg`
Ковариация	Авторегрессивный (AR) спектральная оценка timeseries минимизацией прямых ошибок предсказания	`pcov`
Модифицированная ковариация	Авторегрессивный (AR) спектральная оценка timeseries минимизацией прямых и обратных ошибок предсказания	`pmcov`
МУЗЫКА	Несколько сигнализируют о классификации	`pmusic`
Собственный вектор	Оценка псевдоспектра	`peig`

Документация