Переменные, выражения, функции и уравнения

Переменные в MATLAB по умолчанию с двойной точностью. Symbolic Math Toolbox расширяет это, позволяя вам описать числа в точной символьной форме с помощью sym и с переменной точностью с помощью vpa.

pi/6 + pi/4

ans = 1.3090

sym(pi/6) + sym(pi/4)

ans = 
$$\frac{5\hspace{0.17em}\pi }{12}$$

vpa(pi/6) + vpa(pi/4)

ans = $$1.3089969389957471826927680763665$$

Символьные переменные могут использоваться в математических выражениях, функциях и уравнениях включая тригонометрические, логарифмические, экспоненциальные, и специальные функции. Можно создать символьные выражения и выполнить математические вычисления на них.

syms x y 
log(x) + exp(y)

ans = $${\mathrm{e}}^y+\log \left(x\right)$$

Можно также создать кусочно-линейные функции.

y(x) = piecewise(x<0, -1, x>0, 1)

y(x) = 
$$\{\begin{array}{cl}-1& \text{ если }x<0\\ 1& \text{ если }0<x\end{array}$$

Создайте и оцените, Создают Символьные Функции. Найдите значение f в $$x=-5$$.

syms f(x)
f(x) = x^4-2*x^3+6*x^2-2*x+10

f(x) = $$x^4-2\hspace{0.17em}{x}^3+6\hspace{0.17em}{x}^2-2\hspace{0.17em}x+10$$

f(-5)

ans = $$1045$$

Найдите пересечение между линиями $$y1$$ и $$y2$$ использование solve. Приравняйте линии с помощью == оператор.

syms y1 y2
y1 = x+3; y2 = 3*x;
solve(y1 == y2)

ans = 
$$\frac{3}{2}$$

Сделайте assume на символьных переменных. Существует 4 решения $$x^4=1$$, два действительных и два комплекса. Принятие этого $$x$$ действительно и $$x>0$$, существует только одно решение.

syms x
solve(x^4 == 1)

ans = 
$$\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ -\mathrm{i}\\ \mathrm{i}\end{array}\right)$$

assume(x,'real')
assumeAlso( x > 0)
assumptions(x)

ans = $$\left(\begin{array}{cc}x\in \mathbb{R}& 0<x\end{array}\right)$$

solve(x^4 == 1)

ans = $$1$$

assume(x,'clear')

Замена и решение

Symbolic Math Toolbox поддерживает оценку математических функций путем заменения любую часть выражения с помощью subs. Можно заменить числовыми значениями, другими символьными переменными или выражениями, векторами или матрицами. Symbolic Math Toolbox поддерживает решение уравнений и систем уравнений с помощью solve. Это поддерживает решающие многомерные уравнения, решая неравенства и решая с предположениями. Решения могут быть найдены символически или численно с высокой точностью при помощи арифметики переменной точности.

Сделайте замены со своими символьными переменными. Замена $$x=xo-1$$ в $$x^2+1$$

syms x xo
subs(x^2+1,x,xo-1)

ans = $${\left(\mathrm{xo}-1\right)}^2+1$$

Замените несколькими значениями. Например, оценить $$cos(a)+sin(b)-e^{2C}$$ путем замены $$a=\frac{\pi }{2},b=\frac{\pi }{4},c=-1$$.

syms a b c
subs(cos(a) + sin(b) - exp(2*c), [a b c], [pi/2 pi/4 -1])

ans = 
$$\frac{\sqrt{2}}{2}-{\mathrm{e}}^{-2}$$

Создайте и решите уравнения. Найдите нули $$9x^2-1=0$$.

solve(9*x^2 - 1 == 0)

ans = 
$$\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{3}\\ \frac{1}{3}\end{array}\right)$$

Решите общее квадратное уравнение $$a{x}^2+bx+c=0$$ и используйте нижние индексы, чтобы оценить то решение для $$a=9,b=0,c=-1$$.

eqn = a*x^2 + b*x + c == 0;
sol = solve(eqn) 

sol = 
$$\left(\begin{array}{c}-\frac{b+\sqrt{b^2-4\hspace{0.17em}a\hspace{0.17em}c}}{2\hspace{0.17em}a}\\ -\frac{b-\sqrt{b^2-4\hspace{0.17em}a\hspace{0.17em}c}}{2\hspace{0.17em}a}\end{array}\right)$$

subs(sol,[a b c],[9 0 -1])

ans = 
$$\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{3}\\ \frac{1}{3}\end{array}\right)$$

Решите уравнения символически или с арифметикой переменной точности, когда точные результаты или высокая точность будут необходимы. График $\mathit{f}\left(\mathit{x}\right)=6{\mathit{x}}^7-2{\mathit{x}}^6+3{\mathit{x}}^3-8$ является очень плоским около его корня.

syms x f(x)
assume(x>0)
f(x) = 6*x^7-2*x^6+3*x^3-8;
fplot(f)
xlim([-10 10])
ylim([-1e3 1e3])

doubleSol = roots([6 -2 0 0 3 0 0 -8]) %  double-precision

doubleSol = 7×1 complex

   1.0240 + 0.0000i
   0.7652 + 0.8319i
   0.7652 - 0.8319i
  -0.8808 + 0.5043i
  -0.8808 - 0.5043i
  -0.2297 + 0.9677i
  -0.2297 - 0.9677i

symsSol = solve(f) % exact. The roots object stores the zeros for symbolic computations

symsSol = 
$$\mathrm{root}\left(z^7-\frac{z^6}{3}+\frac{z^3}{2}-\frac{4}{3},z,5\right)$$

vpaSol = vpasolve(f) % variable-precision 

vpaSol = 
$$\left(\begin{array}{c}1.0240240759053702941448316563337\\ -0.88080620051762149639205672298326+0.50434058840127584376331806592405\hspace{0.17em}\mathrm{i}\\ -0.88080620051762149639205672298326-0.50434058840127584376331806592405\hspace{0.17em}\mathrm{i}\\ -0.22974795226118163963098570610724+0.96774615576744031073999010695171\hspace{0.17em}\mathrm{i}\\ -0.22974795226118163963098570610724-0.96774615576744031073999010695171\hspace{0.17em}\mathrm{i}\\ 0.7652087814927846556172932675903+0.83187331431049713218367239317121\hspace{0.17em}\mathrm{i}\\ 0.7652087814927846556172932675903-0.83187331431049713218367239317121\hspace{0.17em}\mathrm{i}\end{array}\right)$$

Упрощение и манипуляция

Symbolic Math Toolbox поддерживает Манипуляцию с Формулами и Упрощение математических функций. Большинство математических выражений может быть представлено в различных, но математически эквивалентных формах, и Symbolic Math Toolbox поддерживает много операций, включая факторинг или разложения выражений, объединение терминов, перезапись или реорганизация выражений и упрощения на основе предположений.

Выполните умножение полиномов и упростите результаты, покажите это $$(x-1)(x+1)(x^2+x+1)(x^2+1)(x^2-x+1)(x^4-x^2+1)$$ упрощает до $$x^{12}-1$$.

simplify((x - 1)*(x + 1)*(x^2 + x + 1)*(x^2 + 1)*(x^2 - x + 1)*(x^4 - x^2 + 1))

ans = $$x^{12}-1$$

Примените тригонометрические тождества к упрощениям, например $$si{n}^2(x)=\frac{1-cos(2x)}{2}$$.

combine(2*sin(x)*cos(x) + (1- cos(2*x))/2 + cos(x)^2,'sincos')

ans = $$\sin \left(2\hspace{0.17em}x\right)+1$$

Фактор или расширяет многомерные полиномы.

syms x y
factor(y^6-x^6)

ans = $$\left(\begin{array}{ccccc}-1& x-y& x+y& x^2+x\hspace{0.17em}y+y^2& x^2-x\hspace{0.17em}y+y^2\end{array}\right)$$

f(x) = (x^3 + 7);
expand(f(y-1))

ans = $$y^3-3\hspace{0.17em}{y}^2+3\hspace{0.17em}y+6$$

Найдите функциональный состав $$f(g(x))$$.

f(x) = sqrt(log(x));
g(x) = sqrt(1-x);
h = compose(g,f,x)

h(x) = $$\sqrt{1-\sqrt{\log \left(x\right)}}$$

Исчисление (Дифференцирование, Интегрирование, Пределы, Ряд, и т.д.)

Symbolic Math Toolbox имеет полный набор инструментов исчисления для прикладной математики. Это может выполнить многомерное символьное интегрирование и дифференцирование. Это может сгенерировать, управлять и выполнить вычисления с рядом.

Найдите производную $$\frac{d}{dx}(\sin (x))$$.

diff(sin(x))

ans = $$\cos \left(x\right)$$

Найдите производную $$\frac{d}{dx}(x^2+\sin (2x^4)+1)$$ использование цепочечного правила.

diff(x^2+sin(2*x^4)+1,x)

ans = $$2\hspace{0.17em}x+8\hspace{0.17em}{x}^3\hspace{0.17em}\cos \left(2\hspace{0.17em}{x}^4\right)$$

Найдите неопределенный интеграл $$\int f(x)dx$$ для $$f(x)=e^{\frac{-x^2}{2}}$$.

int(exp(-x^2/2),x)

ans = 
$$\frac{\sqrt{2}\hspace{0.17em}\sqrt{\pi }\hspace{0.17em}\mathrm{erf}\left(\frac{\sqrt{2}\hspace{0.17em}x}{2}\right)}{2}$$

Найдите определенный интеграл $${\int }_a^{b}f(x)dx$$ для $$f(x)=x\log (1+x)$$ от $$0$$ к $$1$$.

int(x*log(1+x),0,1)

ans = 
$$\frac{1}{4}$$

Покажите это $$\frac{sin(x)}{x}=1$$ в $$x=0$$ путем вычисления расширения Ряда Тейлора $$\sum (x-a{)}^n\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$$ для $$f(x)=\frac{sin(x)}{x}$$ вокруг точки $$x=0$$.

syms x 
T = taylor(sin(x)/x)

T = 
$$\frac{x^4}{120}-\frac{x^2}{6}+1$$

subs(T,x,0)

ans = $$1$$

Покажите это $$tan(x)$$ прерывисто в $$x=\frac{\pi }{2}$$ путем показа, что левые и правые пределы не равны. $$\underset{x\to {\frac{\pi }{2}}^{+}}{\lim }tan(x)\ne \underset{x\to {\frac{\pi }{2}}^{-}}{\lim }tan(x)$$.

limit(tan(x),x,pi/2,'left')

ans = $$\infty$$

limit(tan(x),x,pi/2,'right')

ans = $$-\infty$$

limit(tan(x),x,pi/2)

ans = $$\mathrm{NaN}$$

Дифференциальные уравнения

Symbolic Math Toolbox может аналитически решить системы, Решают Систему Дифференциальных уравнений с помощью dsolve.

Решите ОДУ первого порядка $$\frac{dy}{dx}=-ay$$.

syms a b y(x)
dsolve(diff(y) == -a*y)

ans = $$C_1\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^{-a\hspace{0.17em}x}$$

Решите тот же ОДУ с начальным условием $$y(0)=b$$.

dsolve(diff(y)== -a*y,y(0)==b)

ans = $$b\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^{-a\hspace{0.17em}x}$$

Решите систему двойных ОДУ первого порядка $$\frac{dx}{dt}=y$$ и $$\frac{dy}{dt}=-x$$.

syms x(t) y(t)
z = dsolve(diff(x) == y, diff(y) == -x);
disp([z.x;z.y])

$$\left(\begin{array}{c}{C}_1\hspace{0.17em}\cos \left(t\right)+C_2\hspace{0.17em}\sin \left(t\right)\\ C_2\hspace{0.17em}\cos \left(t\right)-C_1\hspace{0.17em}\sin \left(t\right)\end{array}\right)$$

Линейная алгебра

Symbolic Math Toolbox может работать с символьными векторами и матрицами. Это может вычислить eig из символьных матриц.

Выполните умножение матриц$$Ax=b$$ где $$A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$$и $$x=[x1,x2]$$

syms a b c d
syms x1 x2
x = [x1; x2];
A = [a b ; c d];
b = A*x

b = 
$$\left(\begin{array}{c}a\hspace{0.17em}{x}_1+b\hspace{0.17em}{x}_2\\ c\hspace{0.17em}{x}_1+d\hspace{0.17em}{x}_2\end{array}\right)$$

Найдите определитель A.

det(A)

ans = $$a\hspace{0.17em}d-b\hspace{0.17em}c$$

Найдите собственные значения A.

lambda = eig(A)

lambda = 
$$\left(\begin{array}{c}\frac{a}{2}+\frac{d}{2}-\frac{\sqrt{a^2-2\hspace{0.17em}a\hspace{0.17em}d+d^2+4\hspace{0.17em}b\hspace{0.17em}c}}{2}\\ \frac{a}{2}+\frac{d}{2}+\frac{\sqrt{a^2-2\hspace{0.17em}a\hspace{0.17em}d+d^2+4\hspace{0.17em}b\hspace{0.17em}c}}{2}\end{array}\right)$$

Графика

Symbolic Math Toolbox поддерживает аналитический графический вывод в 2D и 3D.

fplot(tan(x))

Постройте параметрическую кривую $$x(t)=t*sin(5t)$$ и $$y(t)=t*cos(5t)$$.

syms t
x = t*sin(5*t); 
y = t*cos(5*t);
fplot(x, y)
grid on

Постройте 3D параметрическую кривую $$x(t)=e^{\frac{|t|}{10}}sin(5|t|)$$, $$y(t)=e^{\frac{|t|}{10}}cos(5|t|)$$ и $$z(t)=t$$ от [-10,10] с пунктирной красной линией.

syms t
xt = exp(abs(t)/10).*sin(5*abs(t));
yt = exp(abs(t)/10).*cos(5*abs(t));
zt = t;
h = fplot3(xt,yt,zt, [-10,10],'--r');

Постройте 3D поверхность $$f(x,y)=sin(x)+cos(y)$$.

syms x y
fsurf(sin(x) + cos(y))

Постройте 2D контуры той же поверхности.

fcontour(sin(x) + cos(y))