Оценка средней степени, поставленной ветряным двигателем

Скрипт Open Live Script

Этот пример использует Symbolic Math Toolbox и Statistics and Machine Learning Toolbox, чтобы исследовать и вывести параметрическое аналитическое выражение для средней мощности, произведенной ветряным двигателем.

Параметрическое уравнение может использоваться для оценки различных настроек ветряного двигателя и мест расположения ветровой электростанции. Дополнительную информацию можно найти в Оценке Ресурса Ветра.

Фон

Общая мощность, поданная на ветряной двигатель, может быть оценена путем взятия производной от кинетической энергии ветра. Это приводит к следующему выражению:

$P_{w} = \frac{ρ {A u}^{3}}{2}$ (1)

A является площадью, заметаемой турбинными лопатками, в $m^{2}$
ρ = плотность воздуха, в $kg / m^{3}$
u = скорость ветра, в $m / s$

Процесс преобразования энергии ветра к электроэнергии приводит к потерям КПД, как описано в схеме ниже.

Выходная мощность электроэнергии практического ветряного двигателя может быть описана с помощью следующего уравнения:

$P_{e} = \frac{C_{tot} ρ {Au}^{3}}{2}$ (2) где $C_{tot} = overall efficiency = C_{p} C_{t} C_{g}$

Полный КПД между 0,3 и 0.5 и меняется и в зависимости от скорости ветра и в зависимости от скорости вращения турбины. Для фиксированной скорости вращения существует расчетная скорость ветра, на которой электроэнергия, сгенерированная ветряным двигателем, около его максимума ( $P_{er}$ ), и полный КПД в этой точке обозначается $C_{totR}$ .

$P_{er} = \frac{C_{totR} ρ {Au}^{3}}{2}$ (3)

Для заданной скорости вращения можно оценить выходную мощность электроэнергии ветряного двигателя при помощи следующего графика:

Где

$u_{r}$ = расчетная скорость ветра
$u_{c}$ = скорость включения, скорость, на которой выходная мощность электроэнергии повышается выше нуля и выработки энергии, запускаются
$u_{f}$ = скорость ветра чрезмерной закрутки турбины, скорость, на которой турбина закрывается, чтобы предотвратить структурное повреждение

Как видно из рисунка, мы принимаем, что та выходная мощность увеличивается между $u_{c}$ и $u_{r}$ , затем в постоянном максимальном значении между $u_{r}$ и $u_{f}$ . Выходная мощность является нулем для всех других условий.

Вывод уравнения для средней мощности ветряного двигателя

I. Задайте кусочное выражение для степени

Зададим кусочно-линейную функцию, которая опишет мощность турбины.

syms Per C_1 C_2 k u u_c u_f u_r 
Pe = piecewise(u < u_c, 0, u_c <= u <= u_r, C_1 + C_2 * u^k, (u_r <= u) <= u_f, Per, u_f < u, 0)

Pe = 
 ${\begin{array}{cl} 0 & если u < u_{c} \\ C_{1} + C_{2} u^{k} & если u_{c} \leq u \land u \leq u_{r} \\ Per & если u \leq u_{f} \land u_{r} \leq u \\ 0 & если u_{f} < u \end{array}$

Где переменные $C_{1}$ и $C_{2}$ определяются следующим образом:

C_1 = (Per * u_c^k)/(u_c^k - u_r^k)

C_1 = 
 $\frac{Per {u_{c}}^{k}}{{u_{c}}^{k} - {u_{r}}^{k}}$

C_2 = Per/(u_r^k - u_c^k)

C_2 = 
 $- \frac{Per}{{u_{c}}^{k} - {u_{r}}^{k}}$

II. Задайте внешние условия ветра

Номинальная выходная мощность служит хорошим показателем того, какую мощность способен выдать ветряной двигатель, однако мы хотели бы оценить, какую мощность (в среднем) ветряной двигатель производит на самом деле. Чтобы вычислить среднюю мощность, мы должны принять во внимание внешние условия по ветру. При моделировании отклонений по ветру хорошее приближение дает распределение Вейбула (Weibull), поэтому профиль ветра может быть оценен с помощью следующей функции плотности вероятностей:

$f (u) = \frac{(\frac{b}{a}) {(\frac{u}{a})}^{b - 1}}{e^{{(\frac{u}{a})}^{b}}}$ (4)

В общем случае больше значения указывают на более высокую среднюю скорость ветра, и большие 'b' значения указывают на уменьшаемую изменчивость.

Мы используем Statistics and Machine Learning Toolbox, чтобы сгенерировать распределение Weibull и проиллюстрировать изменчивость ветра в нашем месте расположения ветровой электростанции (a=12.5, b=2.2):

a = 12.5;
b = 2.2;
N = 1000;
pd = makedist('Weibull','a',a,'b',b)

pd = 
  WeibullDistribution

  Weibull distribution
    A = 12.5
    B =  2.2

r = wblrnd(a,b,[1 N])

r = 1×1000

    6.0811    4.3679   17.3751    4.1966    8.7677   18.3517   13.9761    9.9363    3.0039    2.7496   16.5233    2.5333    3.0151   10.7854    6.3169   16.9442   11.6922    4.1418    6.4460    2.9379    8.4449   21.6033    5.4887    3.6903    8.1241    6.9789    7.1974   12.1293    8.4485   16.1833    7.7371   21.9390   14.0043   20.8297   18.3668    5.9351    7.8970   13.3122    3.2335   21.7093   11.4461   12.2905    6.8609    6.3983   15.8128   10.7241   11.3478    8.5754    7.6896    7.0249

x = linspace(0,34,N);
y = pdf(pd,x);
plot(x,y,'LineWidth',2)
hold on 
histogram(r,15,'Normalization','pdf')
hold off
title('Weibull Distribution of Wind Speeds')
xlabel('Wind Speed (m/s)')

Figure contains an axes object. The axes object with title Weibull Distribution of Wind Speeds contains 2 objects of type line, histogram.

III. Вычислите среднюю степень

Средняя выходная мощность от ветряного двигателя может быть получена с помощью следующего интеграла:

$P e_{a v e r a g e} = \int_{0}^{\infty} P e (u) f (u) d u$ (5)

Мощность равна нулю, когда скорость ветра меньше сокращения скорости ветра $u_{c}$ и больше, чем скорость ветра чрезмерной закрутки турбины $u_{f}$ . Поэтому интеграл может быть записан можно следующим образом:

$P e_{a v e r a g e} = C_{1} (\int_{u_{c}}^{u_{r}} f (u) d u) + C_{2} (\int_{u_{c}}^{u_{r}} u^{b} f (u) d u) + P e r (\int_{u_{r}}^{u_{f}} f (u) d u)$ (6)

В уравнении (7) существует два отличных интеграла. Мы включаем уравнение (4) в эти интегралы и упрощаем их использующий замены: $x = {(\frac{u}{a})}^{b}$ и $d x = (\frac{b}{a}) {(\frac{u}{a})}^{b - 1} d u$ . Это упрощает наши исходные интегралы до следующего:

$\int f (u) d u = \int \frac{1}{e^{x}} d x$ (7)

$\int u^{b} f (u) d u = a^{b} (\int \frac{x}{e^{x}} d x)$ (8)

Находим эти интегралы и затем подставляем вместо ${(\frac{u}{a})}^{b}$ выражения:

syms a b x
int1 = int(exp(-x), x);
int1 = subs(int1, x, (u/a)^b)

int1 = 
 $- e^{- {(\frac{u}{a})}^{b}}$

int2 = int(x * exp(-x) * a^b, x);
int2 = subs(int2, x, (u/a)^b)

int2 = 
 $- a^{b} e^{- {(\frac{u}{a})}^{b}} ({(\frac{u}{a})}^{b} + 1)$

Подстановка результатов вычисления интегралов в уравнение (6) приводит в итоге к уравнению для средней выходной мощности ветряного двигателя.

Peavg = subs(C_1 * int1, u, u_r) - subs(C_1 * int1, u, u_c) + subs(C_2 * int2, u, u_r) - subs(C_2 * int2, u, u_c) + subs(Per * int1, u, u_f) - subs(Per * int1, u, u_r)

Peavg = 
 $\begin{array}{l} Per σ_{2} - Per e^{- {(\frac{u_{f}}{a})}^{b}} + \frac{Per {u_{c}}^{k} e^{- {(\frac{u_{c}}{a})}^{b}}}{σ_{1}} - \frac{Per {u_{c}}^{k} σ_{2}}{σ_{1}} - \frac{Per a^{b} e^{- {(\frac{u_{c}}{a})}^{b}} ({(\frac{u_{c}}{a})}^{b} + 1)}{σ_{1}} + \frac{Per a^{b} σ_{2} ({(\frac{u_{r}}{a})}^{b} + 1)}{σ_{1}} \\ where \\ σ_{1} = {u_{c}}^{k} - {u_{r}}^{k} \\ σ_{2} = e^{- {(\frac{u_{r}}{a})}^{b}} \end{array}$

IV. Заключение

Мы использовали Symbolic Math Toolbox, чтобы получить параметрическое уравнение для определяется средней выходной мощности ветряного двигателя. Это уравнение можно применять в дальнейшем для проведения моделирования, в котором учитываются различные конфигураций двигателя.

Документация