Матричные вращения и преобразования

В этом примере показано, как сделать вращения и преобразовывает в 3D использование Symbolic Math Toolbox™ и матрицы.

Задайте и постройте параметрическую поверхность

Задайте параметрический поверхностный x(u,v), y(u,v), z(u,v) можно следующим образом.

syms u v
x = cos(u)*sin(v);
y = sin(u)*sin(v);
z = cos(v)*sin(v);

Постройте поверхность с помощью fsurf.

fsurf(x,y,z)
axis equal

Figure contains an axes object. The axes object contains an object of type parameterizedfunctionsurface.

Создайте матрицы вращения

Создайте 3х3 матрицы Rx, Ry, и Rz представление плоских вращений углом t о xY-, и z- ось, соответственно.

syms t

Rx = [1 0 0; 0 cos(t) -sin(t); 0 sin(t) cos(t)]
Rx = 

(1000cos(t)-sin(t)0sin(t)cos(t))

Ry = [cos(t) 0 sin(t); 0 1 0; -sin(t) 0 cos(t)]
Ry = 

(cos(t)0sin(t)010-sin(t)0cos(t))

Rz = [cos(t) -sin(t) 0; sin(t) cos(t) 0; 0 0 1]
Rz = 

(cos(t)-sin(t)0sin(t)cos(t)0001)

Вращайтесь о каждой оси в трех измерениях

Во-первых, вращайте поверхность о x- ось 45 градусами против часовой стрелки.

xyzRx = Rx*[x;y;z];
Rx45 = subs(xyzRx, t, pi/4);

fsurf(Rx45(1), Rx45(2), Rx45(3))
title('Rotating by \pi/4 about x, counterclockwise')
axis equal

Figure contains an axes object. The axes object with title R o t a t i n g blank b y blank pi / 4 blank a b o u t blank x , blank c o u n t e r c l o c k w i s e contains an object of type parameterizedfunctionsurface.

Вращайтесь о z- ось 90 градусами по часовой стрелке.

xyzRz = Rz*Rx45;
Rx45Rz90 = subs(xyzRz, t, -pi/2);

fsurf(Rx45Rz90(1), Rx45Rz90(2), Rx45Rz90(3))
title('Rotating by \pi/2 about z, clockwise')
axis equal

Figure contains an axes object. The axes object with title R o t a t i n g blank b y blank pi / 2 blank a b o u t blank z , blank c l o c k w i s e contains an object of type parameterizedfunctionsurface.

Вращайтесь о y- ось 45 градусами по часовой стрелке.

xyzRy = Ry*Rx45Rz90;
Rx45Rz90Ry45 = subs(xyzRy, t, -pi/4);

fsurf(Rx45Rz90Ry45(1), Rx45Rz90Ry45(2), Rx45Rz90Ry45(3))
title('Rotating by \pi/4 about y, clockwise')
axis equal

Figure contains an axes object. The axes object with title R o t a t i n g blank b y blank pi / 4 blank a b o u t blank y , blank c l o c k w i s e contains an object of type parameterizedfunctionsurface.

Масштабируйтесь и вращайтесь

Масштабируйте поверхность фактором 3 вдоль zось. Можно умножить выражение для z 3, z = 3*z. Более общий подход должен создать масштабирующуюся матрицу, и затем умножить масштабирующуюся матрицу на вектор из координат.

S = [1 0 0; 0 1 0; 0 0 3];
xyzScaled = S*[x; y; z]
xyzScaled = 

(cos(u)sin(v)sin(u)sin(v)3cos(v)sin(v))

fsurf(xyzScaled(1), xyzScaled(2), xyzScaled(3))
title('Scaling by 3 along z')
axis equal

Figure contains an axes object. The axes object with title Scaling by 3 along z contains an object of type parameterizedfunctionsurface.

Вращайте масштабированную поверхность о xY-, и z- ось 45 градусами по часовой стрелке, в порядке z, затем y, затем x. Матрица вращения для этого преобразования следующие.

R = Rx*Ry*Rz
R = 

(cos(t)2-cos(t)sin(t)sin(t)σ1cos(t)2-sin(t)3-cos(t)sin(t)sin(t)2-cos(t)2sin(t)σ1cos(t)2)where  σ1=cos(t)sin(t)2+cos(t)sin(t)

Используйте матрицу вращения, чтобы найти новые координаты.

xyzScaledRotated = R*xyzScaled;
xyzSR45 = subs(xyzScaledRotated, t, -pi/4);

Постройте поверхность.

fsurf(xyzSR45(1), xyzSR45(2), xyzSR45(3))
title('Rotating by \pi/4 about x, y, and z, clockwise')
axis equal

Figure contains an axes object. The axes object with title R o t a t i n g blank b y blank pi / 4 blank a b o u t blank x , blank y , blank a n d blank z , blank c l o c k w i s e contains an object of type parameterizedfunctionsurface.

Проверяйте свойства матрицы вращения R

Матрицы вращения являются ортогональными матрицами. Таким образом, транспонирование R также его инверсия и определитель R 1.

simplify(R.'*R)
ans = 

(100010001)

simplify(det(R))
ans = 1
Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте