Решение для выходного потока сверхзвукового сопла

Открыть скрипт

В этом примере показано, как использовать метод характеристик и теорию потока Прандтля-Мейера решить задачу в сверхзвуковом потоке включающие расширения. Решите для поля потока в нисходящем направлении выхода сверхзвукового сопла.

Описание задачи

В этом разделе описываются проблему, которая будет решена. Это также обеспечивает необходимые уравнения и известные значения.

Решите для поля потока в нисходящем направлении сверхзвукового сопла с помощью метода характеристик. Число Маха в выходной плоскости 1.5, и давление в выходной плоскости составляет 200 килопаскалей. Противодавление составляет 100 килопаскалей.

Предположения:

  • Поток является изэнтропическим

  • Изменение свойств потока зависит от взаимодействия волн расширения, которые происходят в следе сопла.

  • Геометрия сопла и потока симметрична.

Смоделируйте вентилятор расширения как три характеристики. Из-за симметрии, произвольно примите решение работать только над верхней частью потока. Следующее является фигурой выхода сопла.

upperNozzle = astexpandschematic('uppernozzle');

Данная информация в проблеме:

exitMach = 1.5; % Mach number at the exit plane [dimensionless]
exitPres = 200; % Static pressure at the exit plane [kPa]
backPres = 100; % Pressure downstream of the nozzle, outside of the expansion wake

Жидкость принята, чтобы быть воздухом, который ведет себя как совершенный газ со следующим постоянным отношением удельной теплоемкости.

k = 1.4; % Specific heat ratio [dimensionless]

Метод характеристик

Метод характеристик является теорией для сверхзвукового потока, который анализирует безвихревое потенциальное уравнение потока в полностью нелинейной форме. Изэнтропический поток принят. Определением характеристик являются кривые в потоке, где скорость непрерывна, но первая производная скорости прерывиста.

На предыдущем рисунке, синих линиях в аппроксимированных характеристик. Характеристики типа я делаю отрицательный острый угол с направлением потока. Характеристики типа II делают положительный острый угол с направлением потока. Подробная деривация метода выходит за рамки этого анализа в качестве примера. Этот анализ в качестве примера использует процедуру от области к области. Это принято, что вы знакомы с этой процедурой.

В потоке Прандтля-Мейера и методе характеристик, вычислите важные углы для всех областей потока.

  • Угол потока является направлением, в которое перемещается воздух.

$$ \theta_n = Flow\;angle\;in\;the\;n^{th}\;region $$

  • Угол Прандтля-Мейера является углом, под которым поток изменяет направление от одной области до другого.

$$ \nu_n = Prandtl-Meyer\;angle\;in\;the\;n^{th}\;region $$

  • Угол Маха является углом между локальным направлением потока и слабыми волнами давления, которые происходят от данной точки.

$$ \mu_n = Mach\;angle\;in\;the\;n^{th}\;region $$

Вычислите Число Маха в каждой области и решите для углов обоих типов характеристики во всех областях. Решите для геометрического контура всех областей путем вычисления наклонов всех характеристик и найдите всех пересечений характеристик.

Вычисление свойств потока через первый вентилятор расширения

Определите Число Маха вне следа (область 4). Число Маха в этом местоположении может быть найдено с помощью изэнтропических отношений для давления и данных значений при давлении. Отношение давления в выходной плоскости легко решено для использования flowisentropic.

[~, ~, exitPresRatio] = flowisentropic(k, exitMach);

Отношение противодавления является отношением противодавления к давлению застоя. Изэнтропическое отношение давления во внешней области следа:

$$ \frac{p_4}{p_0} = \frac{p_4}{p_1} \frac{p_1}{p_0}$$

backPresRatio = backPres / exitPres * exitPresRatio;

Вычислите Число Маха в области 4 использования flowisentropic.

backMach = flowisentropic(k, backPresRatio, 'pres');

Вход строки 'президента' указывает, что функция находится в режиме ввода отношения давления. Угол потока в области противодавления является различием в углах Прандтля-Мейера из выходной области плоскости (область 1) в область противодавления (область 4).

$$ \theta_4 = \nu_4 - \nu_1 $$

[~, nu_1]    = flowprandtlmeyer(k, exitMach);
[~, nu_4]    = flowprandtlmeyer(k, backMach);
theta_4 = nu_4 - nu_1;

Поскольку мы аппроксимируем поток тремя характеристиками, вычисление изменения в углу потока в пересекающихся характеристиках типа I из области 1 в область 4:

$$ \Delta \theta_I = \frac{\theta_4}{3} $$

deltaThetaI = theta_4 / 3;

Обратите внимание на то, что теките в области 1, параллельно горизонтали и поэтому:

theta_1 = 0;

На самом деле поток в любой области, которая колеблется между средней линией, параллелен средней линии. Это вызвано тем, что средняя линия считается контуром для этого симметричного потока. Кроме того, нет никаких источников, ни приемников за пределами.

theta_5  = 0;
theta_8  = 0;
theta_10 = 0;

Углы потока областей 2 и 3 следуют просто.

theta_2 = theta_1 + deltaThetaI;
theta_3 = theta_2 + deltaThetaI;

Через характеристики типа I изменение в углу Прандтля-Мейера равно изменению в углу потока:

$$ \Delta \nu_I = \Delta \theta_I $$

deltaNuI = deltaThetaI;

Вычислите угол Прандтля-Мейера в области 2 при помощи угла Прандтля-Мейера в области 1 и deltaNuI, изменение в углу Прандтля-Мейера через характеристики типа I. Вычислите угол Прандтля-Мейера в области 3 подобным образом в ту из области 2.

$$ \Delta \nu_I = \nu_2 - \nu_1 $$

$$ \nu_2 = \nu_1 + \Delta \nu_I $$

nu_2 = nu_1 + deltaNuI;
nu_3 = nu_2 + deltaNuI;

Вычисление свойств потока в интерференционных областях

Угол потока в области 5, как известно, является нулем от граничного условия средней линии. Поэтому изменение в углу из области 2 в область 5

$$ \Delta \theta_{II} = \theta_5 - \theta_2 $$

deltaThetaII = theta_5 - theta_2;

Вычислите изменение в углу Прандтля-Мейера через характеристики типа II:

$$ \Delta \nu_{II} = - \Delta \theta_{II} $$

deltaNuII = -deltaThetaII;

Затем вычислите угол Прандтля-Мейера в области 5. Вы уже знаете область 2 угла Прандтля-Мейера и изменение в углу Прандтля-Мейера через характеристики типа II.

nu_5 = nu_2 + deltaNuII;

Чтобы вычислить свойства в области 6, используйте то, что свойства в области 3 и области 5 известны. Обратите внимание также на это, какая характеристика кресты потока задают изменения в свойствах. Из области 5 в область 6, пересечена характеристика типа I. Поэтому

$$ \Delta \theta_I = \Delta \nu_I = \theta_6 - \theta_5 = \nu_6 - \nu_5 $$

Перестроенный это как:

$$ \nu_6 - \theta_6 = \nu_5 - \theta_5 \;\;\;\;\;(1)$$

Характеристика типа II пересечена в движении из области 3 в область 6. Поэтому

$$ \Delta \nu_{II} = -\Delta \theta_{II} $$

$$ \nu_6 - \nu_3 = \theta_3 - \theta_6 $$

Реорганизация этого как:

$$ \nu_6 + \theta_6 = \nu_3 + \theta_3 \;\;\;\;\;(2)$$

Добавьте уравнения (1) и (2) вместе, затем решите для угла Прандтля-Мейера в области 6. Это дает к следующему выражению.

$$ \nu_6 = \frac{(\nu_5 - \theta_5) + (\nu_3 + \theta_3)}{2}$$

В MATLAB® используйте:

nu_6 = ((nu_5 - theta_5) + (nu_3 + theta_3))/2;

От уравнения (1) угол потока в области 6

theta_6 = nu_6 - (nu_5 - theta_5);

Для области 7 тип пересечена одна характеристика, и вся информация доступна в области 6.

nu_7    = nu_6 + deltaNuI;
theta_7 = theta_6 + deltaThetaI;

Область 8 находится на средней линии; его угол потока является нулем. Движение из области 6 в область 8 требует пересечения характеристики типа II. Поэтому вычислите угол Прандтля-Мейера в области 8 как:

nu_8 = nu_6 + deltaNuII;

Вычислите угол Прандтля-Мейера и угол потока в области 9 точно так же, как способ, которым вы сделали для области 6. Область 8 является восходящей областью через характеристику типа I. Область 7 является восходящей областью через характеристику типа II.

nu_9    = ((nu_8 - theta_8) + (nu_7 + theta_7))/2;
theta_9 = nu_9 - (nu_8 - theta_8);

Область десять находится на средней линии. Поток параллелен и таким образом, угол потока является нулем. Используйте угол Прандтля-Мейера в области 9 и пересечение характеристики типа II, чтобы вычислить угол Прандтля-Мейера в области 10.

nu_10 = nu_9 + deltaNuII;

Подготовка и сведение в таблицу результатов параметра потока

Для предстоящих вычислений объедините углы потока в один вектор и углы Прандтля-Мейера в другой вектор.

flowAngles         = [theta_1 theta_2 theta_3 theta_4 theta_5 theta_6 theta_7 theta_8 theta_9 theta_10];

prandtlMeyerAngles = [nu_1 nu_2 nu_3 nu_4 nu_5 nu_6 nu_7 nu_8 nu_9 nu_10];

Вычислить Числа Маха и углы Маха в каждой области, с помощью flowprandtlmeyer функция с prandtlMeyerAngles как вход. Можно использовать результаты этой функции, чтобы найти угол, который тип I и характеристики типа II делают с горизонталью в каждой области. Можно затем использовать эти углы, чтобы вычислить наклоны в x-y плоскости, где средняя линия является осью X, и выходная плоскость сопла является осью Y. Для характеристик типа I и характеристик типа II, соответственно, наклоны:

$$ \left(\!\frac{dy}{dx}\!\right)_{\! I} = tan(\theta - \mu)$$

$$ \left(\!\frac{dy}{dx}\!\right)_{\!\! II} = tan(\theta + \mu)$$

Отметьте, значения в следующей таблице для типа I и типа II являются углами с горизонталью, не наклонами.

% Preallocation for speed
machNumbers = zeros(1,10);
machAngles  = zeros(1,10);
typeOne     = zeros(1,10);
typeTwo     = zeros(1,10);

for i = 1:10
    [machNumbers(i), ~, machAngles(i)] = flowprandtlmeyer(k, prandtlMeyerAngles(i), 'nu');
    typeOne(i) = flowAngles(i) - machAngles(i);
    typeTwo(i) = flowAngles(i) + machAngles(i);
end


clear table;
table(1,:) = 'Region   theta        nu        Mach        mu       type I    type II';
table(2,:) = '         (Deg)      (Deg)                  (Deg)     (Deg)      (Deg) ';
for m=1:length(machNumbers)
table(m+3,:) = sprintf('%3.0d   %8.2f      %5.2f   %8.3f    %8.2f   %8.2f  %8.2f ', ...
                m, flowAngles(m), prandtlMeyerAngles(m), machNumbers(m), ...
                machAngles(m), typeOne(m), typeTwo(m));
end

disp(table)

Region   theta        nu        Mach        mu       type I    type II
         (Deg)      (Deg)                  (Deg)     (Deg)      (Deg) 
                                                                      
  1       0.00      11.91      1.500       41.81     -41.81     41.81 
  2       4.45      16.35      1.650       37.29     -32.85     41.74 
  3       8.89      20.80      1.803       33.70     -24.80     42.59 
  4      13.34      25.24      1.959       30.69     -17.35     44.03 
  5       0.00      20.80      1.803       33.70     -33.70     33.70 
  6       4.45      25.24      1.959       30.69     -26.25     35.14 
  7       8.89      29.69      2.122       28.11     -19.22     37.00 
  8       0.00      29.69      2.122       28.11     -28.11     28.11 
  9       4.45      34.14      2.294       25.84     -21.40     30.29 
 10       0.00      38.58      2.477       23.81     -23.81     23.81

Отметьте следующее:

  • Углы потока увеличиваются далеко от средней линии.

  • Углы Прандтля-Мейера увеличиваются как перемещения потока в нисходящем направлении.

  • Число Маха также увеличивается как перемещения потока в нисходящем направлении.

Решение для геометрии потока

Свойства потока известны во всех областях, но для того, чтобы решить для поля потока, необходимо вычислить фактическую геометрию каждой области. Последние два столбца вышеупомянутой таблицы содержат углы, которые каждый тип характеристики делает с горизонталью. Поскольку прямые линии аппроксимируют характеристики потока в каждой области, контур между любыми двумя областями аппроксимирован средним значением углов, которые каждый делает в граничащих областях. Поскольку волны изгибаются через вентилятор расширения, начинают анализ с точки, из которой происходят характеристики. Характеристики происходят в выступе сопла и работают в нисходящем направлении.

Примите пересечение средней линии, и выходная плоскость сопла является источником нашей системы координат. Также примите, что длины нормированы к половине выходной высоты сопла. Положительная ось X взята горизонталь вдоль средней линии в нисходящем направлении. Положительная ось y находится вертикально в выходной плоскости сопла. Выступ сопла в точке (0,1).

Все три характеристики, которые распространяют от верхнего выступа, являются характеристиками типа I. Анализируйте самую крутую скошенную характеристику сначала, потому что никакие волны не вмешиваются в самую крутую волну, пока самая крутая волна не пересекает среднюю линию. В симметричной модели полусопла самая крутая волна отражается назад в вентилятор и вмешивается в другие волны в вентиляторе расширения.

Эта волна, которая "отражается" от средней линии, является на самом деле самой крутой скошенной характеристикой типа II, которая распространяет от нижнего выступа. Однако анализ полагает, что средняя линия контур из-за симметрии. Это приводит к тем же результатам, которые вы получили бы, если бы вы работали обе половины сопла.

Самая крутая скошенная линия от выступа является характеристикой типа I, которая разделяет область 1 и область 2. Чтобы вычислить угол, который самая крутая скошенная волна делает с горизонталью, используют среднее значение углов, которые характеристики типа I делают в каждой области. Вычислить наклонную тригонометрию использования.

avgAngle12 = (typeOne(1) + typeOne(2)) / 2;
slope12    = tand(avgAngle12);

Со следующей известной информацией:

  • Наклон первого типа я махаю на x-y пробеле.

  • Свободный член волны (y = 1 в выступе).

  • Волна пересекает среднюю линию (y = 0) без интерференции.

Вычислите x-местоположение точки с помощью уравнения линии в форме наклонной точки пересечения. Перестройте y = m*x+b для x-местоположения с y = 0, чтобы произвести x =-b / m. Это - x-местоположение первой нисходящей точки, точки 1.

y1 = 0; % On the centerline
x1 = -1 / slope12;

От точки 1 первая характеристика типа II распространяет и вмешивается в вентилятор. Другие характеристики типа I, которые происходят из выступа сопла, нарушены волной типа II, но не прежде, чем достигнуть той волны. Поэтому вычислите точки пересечения самой крутой характеристики типа II и более плоских волн типа I от выступа. Характеристика типа II подъем от средней линии разделяет область 2 и область 5. Средним значением этих двух углов и сопоставленных наклонов дают:

avgAngle25 = (typeTwo(2) + typeTwo(5)) / 2;
slope25    = tand(avgAngle25);

Вторая самая крутая характеристика типа I от выступа сопла, разделяет область 2 и область 3. Средним углом с горизонталью и связанным наклоном волны дают:

avgAngle23 = (typeOne(2) + typeOne(3)) / 2;
slope23    = tand(avgAngle23);

Вычислите точку пересечения области контур 2-3 и область контур 2-5. Вам нужна эта точка, потому что характеристики вмешиваются друг в друга в этой точке. Наклоны обоих контуров и точки на каждой линии известны. Точка 1 и выступ сопла (чтобы быть точкой 0, на которую ссылаются, известны". Решите для неизвестной x-координаты точки пересечения. Используйте то x-местоположение в уравнении любой из этих двух линий, чтобы найти y-местоположение точки пересечения. Наклонное точкой уравнение формы линии через точку p с наклоном m:

$$ y - y_p = m(x - x_p)$$

Преимущество этой формы линии состоит в том, что вам нужны только одна точка и наклон, чтобы полностью задать линию. X и Y без индексов могут быть любой точкой на линии. Однако точка пересечения двух линий должна быть уникальной. Вызывая эту точку 2 точки пересечения, уравнение обеих линий следующее.

$$ y_2 - y_0 = m_{2,3}(x_2 - x_0)\;\;\;\;(3)$$

$$ y_2 - y_1 = m_{2,5}(x_2 - x_1)\;\;\;\;(4)$$

где

$$ m_{i,j} = Slope\;of\;the\;boundary\;between\;region\;i\;and\;region\;j$$

Вычтите и перестройте:

$$ x_2 = \frac{x_1 m_{2,5} - x_0 m_{2,3} + y_0 - y_1}{m_{2,5} - m_{2,3}}$$

Знание некоторых значений точно из-за точек пересечения осей упрощает это выражение до.

x2 = (x1 * slope25 + 1) / (slope25 -slope23);

Ниже y-местоположения точки 2 найден путем включения x-местоположения точки 2 в уравнение (4) выше, но включение уравнения (3) работает точно также.

y2 = (x2 - x1) * slope25;

Используйте формулу наклонной точки пересечения и процедуру выше, чтобы вычислить все точки. Чтобы вычислить третью точку в потоке, сначала вычислите пересечение области контур 3-4 и контур 3-6. Углы границ вычисляются с помощью среднего значения углов с горизонталью. Можно затем использовать тригонометрию, чтобы найти наклон, который теперь вычисляется за один шаг.

slope34 = tand( (typeOne(3) + typeOne(4)) / 2 );
slope36 = tand( (typeTwo(3) + typeTwo(6)) / 2 );

Поскольку контур между областью 3 и областью 4 является характеристикой типа I и контуром между областью 3, и область 6 является характеристикой типа II, стараться взять углы для соответствующего типа. Используйте наклонную точкой форму этих границ, вычтенных друг от друга, чтобы вычислить x-местоположение точки 3.

x3 = (y2 - 1 - x2 * slope36) / (slope34 - slope36);
y3 = (x3 - x2) * slope36 + y2;

Первая характеристика типа II теперь распространяет вне вентилятора и не вмешивается ни в какие другие характеристики. Угол, который задает направление, в котором самый крутой тип II распространяет, является углом, который является средним значением волн типа II в областях 4 и 7.

slope47 = tand( (typeTwo(4) + typeTwo(7)) / 2);

Решите также вторую самую крутую характеристику типа I, чтобы продолжиться в нисходящем направлении. Начните с известного местоположения точки 2 вычислять x-точку-пересечения второй характеристики типа I. Снова, решение использует наклонную точкой форму линии. Однако нет никакой интерференции, пока контур средней линии не достигнут. Мы только должны полагать, что одна линия находит x-местоположение "точки 4". Наклон контура между областью 5 и областью 6 является типом, которым я махаю:

slope56 = tand( (typeOne(5) + typeOne(6)) / 2 );

Перестроенная наклонная точкой форма (знающий y = 0 в средней линии) используется, чтобы найти точку 4.

x4 = ( slope56 * x2 - y2 ) / slope56;
y4 = 0;

Вычислите точку 5 таким же образом как точку 2. Область контур 6-7 является типом I и областью контур 6-8, является типом II.

slope67 = tand( ( typeOne(6) + typeOne(7)) / 2);
slope68 = tand( (typeTwo(6) + typeTwo(8)) / 2);

Известная точка на области контур 6-7 является точкой 3. Известная точка на области контур 6-8 является точкой 4. Используйте эту информацию в форме наклонной точки пересечения, вычитая уравнения и перестроение, чтобы дать к местоположению следующего вопроса.

x5 = (-x4 * slope68 + x3 * slope67 + y4 -y3) / (slope67 - slope68);
y5 = (x5 - x4) * slope68 + y4;

Вторая характеристика типа II распространяет вне вентилятора под углом, усредненным между областью 7 и областью 9 углов для волн типа II.

slope79 = tand( (typeTwo(7) + typeTwo(9)) / 2);

Последнее интересное место является x-точкой-пересечения самого плоского типа, которым я махаю. Вычислите эту точку путем знания местоположения точки 5 и нахождения наклона типа, которым я махаю между областью 8 и областью 9.

slope89 = tand( (typeOne(8) + typeOne(9)) / 2);
y6      = 0;
x6      = (slope89 * x5 - y5) / slope89;

Итоговая волна типа II распространяет далеко под углом, усредненным между областью 9 и областью 10.

slope910 = tand( (typeTwo(9) + typeTwo(10)) /2);

Со всеми вычисленными точками и наклон свободно известных линий распространения, соедините точки:

points = astexpandschematic('nozzlepoints');

Метод характеристик является мощным методом для того, чтобы решить сверхзвуковые газовые задачи динамики. Обратите внимание на то, что этот метод представляет приближение для характеристических линий. Приближение приближается к точному случаю для бесконечного числа характеристических линий.

close(upperNozzle,points)

Ссылка

[1] Джеймс, J. E. A. "газовая динамика, второй выпуск", Allyn and Bacon, Inc, Бостон, 1984.

Документация Aerospace Toolbox

Поддержка

Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте