Быстрый метод многополюсника для больших структур

Быстрый метод многополюсника (FMM) вычислительный метод в Antenna Toolbox™ позволяет вам моделировать и анализировать антенны и массивы на больших платформах как самолет и автомобили.

Прямые решатели

Первый шаг в вычислительном решении электромагнитных проблем должен дискретизировать Уравнения Максвелла. Процесс приводит к этой матрично-векторной системе:

$V = Z I$

V— Прикладной вектор напряжения. Этот сигнал может быть напряжением, или степень применилась к антенне или инцидентному сигналу, падающему на антенну.
Я — Текущий вектор, который представляет текущий на поверхности антенны.
Z Матрица взаимодействия или матрица импеданса, которая имеет отношение V ко мне.

Antenna Toolbox использует Метод Решателя Моментов для Металлических и Диэлектрических Структур, чтобы вычислить матрицу взаимодействия и решить системные уравнения.

Чтобы вычислить поверхностные токи на структуру антенны, вы сначала задаете основные функции Рао-Вилтон-Глиссона (RWG). Основная функция RWG является парой треугольников, которые совместно используют ребро, и показано на рисунке.

Для любых двух треугольных закрашенных фигур, $t_{n}^{+}$ и $t_{n}^{-}$ , наличие областей $A_{n}^{+}$ и $A_{n}^{-}$ , и совместное использование общего ребра $l_{n}$ , основная функция

$\begin{array}{l} {\vec{f}}_{n} (\vec{r}) = {\begin{matrix} \frac{l_{n}}{2 A_{n}^{+}} {\vec{ρ}}_{n}^{+ S}, & \vec{r} \in t_{n}^{+} \\ \frac{l_{n}}{2 A_{n}^{-}} {\vec{ρ}}_{n}^{- S}, & \vec{r} \in t_{n}^{-} \end{matrix} \end{array}$

${\vec{ρ}}_{n}^{+} = \vec{r} - {\vec{r}}_{n}^{+}$ — Вектор, чертивший от свободной вершины треугольника $t_{n}^{+}$ к наблюдательному посту $\vec{r}$
${\vec{ρ}}_{n}^{-} = {\vec{r}}_{n}^{+} - \vec{r}$ — Вектор, чертивший от наблюдательного поста до свободной вершины треугольника $t_{n}^{-}$

$\nabla \cdot {\vec{f}}_{n} (\vec{r}) = {\begin{matrix} \frac{l_{n}}{A_{n}^{+}}, & \vec{r} \in t_{n}^{+} \\ - \frac{l_{n}}{A_{n}^{-}}, & \vec{r} \in t_{n}^{-} \end{matrix}$

Основная функция является нулем вне двух смежных треугольников $t_{n}^{+}$ и $t_{n}^{-}$ . Векторная основная функция RWG линейна и не имеет никакого потока (никакой нормальный компонент) через его контур.

Отношение между используемой памятью и проблемным размером

Матрица взаимодействия Z является комплексной плотной симметрической матрицей. Это - квадрат N-by-N матрица, где N является количеством основных функций, то есть, количеством внутренних ребер в структуре. Рассмотрите сценарий большой структуры как самолет или поставка. Типичные узкополосные антенны как диполь или закрашенная фигура являются полудлиной волны в размере, но поставки или самолет могут часто быть по крайней мере 100 длинами волн или больше в размере. Чтобы решить для электромагнитных эффектов или излучения или рассеивающийся от этой структуры с помощью двухполупериодного решателя, первый шаг должен поймать в сети структуру и затем сформировать основные функции. Выполнение так генерирует больше чем 50 000 треугольников. Поскольку требования к памяти для прямого решателя имеют порядок O (N²), на пробеле основной функции рост находится как показано в этом графике.

При любом из следующих условий количество неизвестных становятся очень большими:

Высокая аналитическая частота
Структура усовершенствована с более прекрасной mesh
Анализ физически большой структуры

Быстрый метод многополюсника (FMM)

Ускорение, достигнутое алгоритмом FMM, происходит из-за его способности подразделить проблему на последовательно меньшие пространственные области, таким образом, гарантируя, что данная пара входных и выходных кластеров достаточно удалена для взаимодействия, которое будет вычислено с помощью расширений многополюсника. Следующая фигура иллюстрирует это.

Этот подход соответствует хорошо потребности ускорить расчет взаимодействий между разделенными парами основных функций, то есть, входными и выходными дипольными парами. Проблема определения электромагнитного потенциала в данном наборе целевых точек в типе Гельмгольца проблемы может быть описана как:

$u (r) = \sum_{n = 1}^{N} c_{n} \frac{\exp (j k | r - r_{n} |)}{| r - r_{n} |} - v_{n} \cdot \nabla (\frac{\exp (j k | r - r_{n} |)}{| r - r_{n} |})$

где, _cnи _vnпредставляют набор заряда и дипольных сильных мест, соответственно, k является волновым числом, и u (r) является потенциалом, вычисленным FMM в трехмерном пространстве.

FMM ускоряет расчет матричного векторного произведения путем существенного ускорения расчета взаимодействий "точка-точка", установленных функцией Грина. Исходные текущие и распределения заряда на поверхности цели определяются путем введения этих коэффициентов назад в расширение основной функции. Рассеянный или излучаемое поле цели включая ее эффективные площади рассеивания затем найден путем вычисления излучения известных поверхностных токов и бросается на требуемые точки в пространстве. Итерационный подход для определения обратной матрицы является хорошо изученным и установленным полем прикладной линейной алгебры. Среди множества итеративных решателей, которые существуют, обобщенная минимальная невязка (GMRES), метод является известным методом. Antenna Toolbox использует этот итеративный решатель.

Интегральное уравнение электрического поля (EFIE)

Прямой решатель, реализованный в Antenna Toolbox, основан на EFIE. EFIE использует отношения электрического поля на поверхности металла и в любой точке в свободном пространстве, чтобы настроить систему уравнений.

$E_{t}^{s} = - E_{t}^{i}$

$E^{s} (r) = - j ω A - \nabla φ$

Индекс t в первом из этих двух уравнений используется, чтобы описать тангенциальный компонент электрического поля на металлической поверхности, индекс s описывает рассеянное поле, и индекс i обозначает падающее поле. Во втором уравнении отношение рассеянного поля показывают в терминах электрического скалярного потенциала φ и магнитный вектор-потенциал A.

Применение подхода Галеркина, куда тест с помощью основных функций приводит к следующему ключевому уравнению:

$j ω {\frac{l_{m}}{2} p_{m}^{+} (r_{m}^{+}) \cdot A (r_{m}^{+}) + \frac{l_{m}}{2} p_{m}^{-} (r_{m}^{-}) \cdot A (r_{m}^{-})} - {l_{m} φ (r_{m}^{+}) - l_{m} φ (r_{m}^{-})} = V_{m}$

$V_{m} = \frac{l_{m}}{2} p_{m}^{+} (r_{m}^{+}) \cdot E^{i} (r_{m}^{+}) + \frac{l_{m}}{2} p_{m}^{-} (r_{m}^{-}) \cdot E^{i} (r_{m}^{-})$

Интегральное уравнение магнитного поля (MFIE)

Уравнение MFIE описывает поверхностную плотность тока J(r), разработанный на теле металлического объекта в ответ на возбуждение магнитного поля. Важное наблюдение здесь состоит в том, что второй термин MFIE является точным приближением физической оптики (PO). Это уравнение получает решение для первого порядка как Приближение ФО, в то время как второй термин, включающий интеграл, получает двухполупериодные эффекты, таким образом предоставляя полное решение.

MFIE может быть применен только к закрытым структурам, таким как поля, сферы, закрыл интерпретаторы самолета, и так далее. Это не может быть применено, например, к диполю полосы или антенне монополя.

$J (r) = 2 n (r) \times \int_{s} J (r') \times \nabla_{r'} \frac{\exp (- j k | r - r' |)}{4 π | r - r' |} d r' + 2 n (r) \times H^{i} (r)$

Используя словосочетание подход приводит к уравнению для реализации MFIE:

$c_{m} - {I_{m} \cdot \sum_{n = 1}^{N_{f a c e t s}} (\begin{matrix} M_{1} \cdot \nabla \\ M_{2} \cdot \nabla \\ M_{3} \cdot \nabla \end{matrix}) \frac{\exp (- j k | R_{m} - r_{n} |)}{4 π | R_{m} - r_{n} |}} = I_{m}^{P O}$

$M_{1} = (\begin{matrix} 0 \\ - m_{z} \\ + m_{y} \end{matrix}), M_{2} = (\begin{matrix} + m_{z} \\ 0 \\ - m_{x} \end{matrix}), M_{3} = (\begin{matrix} - m_{y} \\ + m_{x} \\ 0 \end{matrix}), m = I_{n} r_{n}$

Объединенное полевое интегральное уравнение (CFIE)

CFIE использует эти два уравнения, показанные для EFIE и MFIE. Термин α выбран, чтобы быть 0.5, и η = 376.3Ω является импедансом свободного пространства.

$α L H S E_{m} + (1 - α) η L H S H_{m} = α V_{m} + (1 - α) η I_{m}^{P O}$

Решатель FMM применяется, чтобы вычислить левую сторону этого уравнения. _LHSEm представляет левую сторону EFIE, и _LHSHm представляет левую сторону MFIE.

Ссылки

[1] Flatironinstitute/FMM3D. Фортран. 2018. Переиздайте, Институт Утюга, 2021. https://github.com/flatironinstitute/FMM3D.

[2] Грингард, L, и V Rokhlin. “Алгоритм FAST для Симуляций Частицы”. Журнал Вычислительной Физики 73, № 2 (декабрь 1987): 325–48. https://doi.org/10.1016/0021-9991 (87) 90140-9.

[3] Rius JM, Úbeda E, Паррон Дж. На Тестировании Интегрального уравнения Магнитного поля С Основными функциями RWG в Методе Моментов. Сделка IEEE. Антенны и Распространение, издание AP-49, № 11, стр 1550-1553.

[4] Рао СМ, DR Вильтона, Глиссон ОУ. Электромагнитное Рассеивание Поверхностями Произвольной Формы. Сделка IEEE на Антеннах и Распространении. 1 982 мая; 30 (3):409-418. doi: 001 8-926X/82/0500-O409.

Документация