В этом примере показано, как соответствовать и сравнить полиномы до шестой степени с помощью Curve Fitting Toolbox, соответствуя некоторым данным о переписи. Это также показывает, как соответствовать экспоненциальному уравнению одно термина и сравнить это с полиномиальными моделями.
Шаги показывают как:
Загрузите данные и создайте, подбирает использующие различные модели библиотеки.
Ищите лучшую подгонку путем сравнения графических результатов подгонки, и путем сравнения числовых результатов подгонки включая подходящие коэффициенты и статистику качества подгонки.
Данные для этого примера являются файлом census.mat.
load census
Рабочая область содержит две новых переменные:
cdate является вектор-столбцом, содержащим годы 1790 - 1990 с 10-летним шагом.
поп является вектор-столбцом с американскими фигурами населения, которые соответствуют годам в cdate.
whos cdate pop plot(cdate,pop,'o')
Name Size Bytes Class Attributes cdate 21x1 168 double pop 21x1 168 double
Используйте подходящую функцию, чтобы соответствовать полиному к данным. Вы задаете квадратичный, или полином второй степени, с помощью 'poly2'. Первый выход от подгонки является полиномом, и второй выход, gof, содержит статистику качества подгонки, которую вы исследуете на более позднем шаге.
[population2,gof] = fit(cdate,pop,'poly2');
Чтобы построить подгонку, используйте метод графика.
plot(population2,cdate,pop); % Move the legend to the top left corner. legend('Location','NorthWest');
Чтобы соответствовать полиномам различных степеней, измените fittype, e.g., для кубического или полиномиального использования третьей степени 'poly3'. Шкала входа, cdate, является довольно большой, таким образом, можно получить лучшие результаты путем центрирования и масштабирования данных. Для этого используйте 'Нормировать' опцию.
population3 = fit(cdate,pop,'poly3','Normalize','on'); population4 = fit(cdate,pop,'poly4','Normalize','on'); population5 = fit(cdate,pop,'poly5','Normalize','on'); population6 = fit(cdate,pop,'poly6','Normalize','on');
Простая модель для прироста населения говорит нам, что экспоненциальное уравнение должно соответствовать этим данным о переписи хорошо. Чтобы подбирать одну модель экспоненциала термина, используйте 'exp1' в качестве fittype.
populationExp = fit(cdate,pop,'exp1');
Постройте все подгонки целиком и добавьте значимую легенду в левом верхнем угле графика.
hold on plot(population3,'b'); plot(population4,'g'); plot(population5,'m'); plot(population6,'b--'); plot(populationExp,'r--'); hold off legend('cdate v pop','poly2','poly3','poly4','poly5','poly6','exp1',... 'Location','NorthWest');
Чтобы построить остаточные значения, задайте 'остаточные значения' как тип графика в методе графика.
plot(population2,cdate,pop,'residuals');
Подгонки и остаточные значения для полиномиальных уравнений все подобны, мешая выбирать лучшее. Если остаточные значения отображают систематический шаблон, это - ясный знак, что модель соответствует данным плохо.
plot(populationExp,cdate,pop,'residuals');
Подгонка и остаточные значения для одно термина экспоненциальное уравнение указывают, что это - плохая подгонка в целом. Поэтому это - плохой выбор, и можно удалить экспоненциальное приближение от кандидатов на лучшую подгонку.
Исследуйте поведение подгонок до года 2050. Цель подбора кривой данным о переписи состоит в том, чтобы экстраполировать лучшую подгонку, чтобы предсказать будущие значения населения. По умолчанию подгонка построена в области значений данных. Чтобы построить подгонку в различной области значений, установите x-пределы осей прежде, чем построить подгонку. Например, чтобы видеть значения, экстраполируемые от подгонки, установите верхний x-предел 2 050.
plot(cdate,pop,'o'); xlim([1900, 2050]); hold on plot(population6); hold off
Исследуйте график. Поведение аппроксимации полиномом шестой степени вне области значений данных делает его плохим выбором для экстраполяции, и можно отклонить эту подгонку.
Чтобы построить интервалы предсказания, используйте 'predobs' или 'predfun' как тип графика. Например, видеть предсказание ограничивает для полинома пятой степени для нового наблюдения до года 2050:
plot(cdate,pop,'o'); xlim([1900, 2050]) hold on plot(population5,'predobs'); hold off
Постройте интервалы предсказания для кубического полинома до года 2050.
plot(cdate,pop,'o'); xlim([1900, 2050]) hold on plot(population3,'predobs') hold off
Struct gof показывает статистику качества подгонки для подгонки 'poly2'. Когда вы создали подгонку 'poly2' с подходящей функцией на более раннем шаге, вы задали gof выходной аргумент.
gof
gof =
struct with fields:
sse: 159.0293
rsquare: 0.9987
dfe: 18
adjrsquare: 0.9986
rmse: 2.9724
Исследуйте сумму квадратов из-за ошибки (SSE) и скорректированные статистические величины R-квадрата, чтобы помочь определить лучшую подгонку. Статистическая величина SSE является ошибкой наименьших квадратов подгонки со значением ближе, чтобы обнулить указание на лучшую подгонку. Скорректированная статистическая величина R-квадрата является обычно лучшим индикатором подходящего качества, когда вы добавляете дополнительные коэффициенты в свою модель.
Большой SSE для 'exp1' указывает, что это - плохая подгонка, который вы уже определенный путем исследования подгонки и остаточных значений. Самое низкое значение SSE сопоставлено с 'poly6'. Однако поведение этой подгонки вне области значений данных делает его плохим выбором для экстраполяции, таким образом, вы уже отклонили эту подгонку путем исследования графиков с новыми пределами по осям.
Следующее лучшее значение SSE сопоставлено с аппроксимацией полиномом пятой степени, 'poly5', предположив, что это может быть лучшая подгонка. Однако SSE и настроенные значения R-квадрата для остающихся аппроксимаций полиномом - все очень друг близко к другу. Какой необходимо выбрать?
Решите лучший подходящий вопрос путем исследования коэффициентов и доверительных границ для остающихся подгонок: полином пятой степени и квадратичное.
Исследуйте population2 и population5 путем отображения моделей, подходящих коэффициентов и доверительных границ для подходящих коэффициентов:
population2 population5
population2 =
Linear model Poly2:
population2(x) = p1*x^2 + p2*x + p3
Coefficients (with 95% confidence bounds):
p1 = 0.006541 (0.006124, 0.006958)
p2 = -23.51 (-25.09, -21.93)
p3 = 2.113e+04 (1.964e+04, 2.262e+04)
population5 =
Linear model Poly5:
population5(x) = p1*x^5 + p2*x^4 + p3*x^3 + p4*x^2 + p5*x + p6
where x is normalized by mean 1890 and std 62.05
Coefficients (with 95% confidence bounds):
p1 = 0.5877 (-2.305, 3.48)
p2 = 0.7047 (-1.684, 3.094)
p3 = -0.9193 (-10.19, 8.356)
p4 = 23.47 (17.42, 29.52)
p5 = 74.97 (68.37, 81.57)
p6 = 62.23 (59.51, 64.95)
Можно также получить доверительные интервалы при помощи confint.
ci = confint(population5)
ci =
-2.3046 -1.6841 -10.1943 17.4213 68.3655 59.5102
3.4801 3.0936 8.3558 29.5199 81.5696 64.9469
Доверительные границы на коэффициентах определяют свою точность. Проверяйте подходящие уравнения (e.g. f (x) =p1*x+p2*x...) видеть модель называет для каждого коэффициента. Обратите внимание на то, что p2 относится к термину p2*x в 'poly2' и термину p2*x^4 в 'poly5'. Не сравнивайте нормированные коэффициенты непосредственно с ненормированными коэффициентами.
Границы пересекают нуль на p1, p2, и p3 коэффициенты для полинома пятой степени. Это означает, что вы не можете быть уверены, что эти коэффициенты отличаются от нуля. Если термины модели высшего порядка могут иметь коэффициенты нуля, они не помогают с подгонкой, которая предполагает что эта модель по подгонкам данные о переписи.
Подходящие коэффициенты, сопоставленные с постоянными, линейными, и квадратичными терминами, почти идентичны для каждого нормированного полиномиального уравнения. Однако когда полиномиальная степень увеличивается, содействующие границы, сопоставленные с более высоким перекрестным нулем терминов степени, который предлагает по подбору кривой.
Однако маленькие доверительные границы не пересекают нуль на p1, p2, и p3 для квадратичной подгонки, указывая, что подходящие коэффициенты известны справедливо точно.
Поэтому после исследования и графические и числовые результаты подгонки, необходимо выбрать квадратичный population2 как лучшую подгонку, чтобы экстраполировать данные о переписи.
Теперь вы выбрали лучшую подгонку, population2, для экстраполирования этих данных о переписи, оцените пригодное для некоторых новых точек запроса.
cdateFuture = (2000:10:2020).'; popFuture = population2(cdateFuture)
popFuture = 274.6221 301.8240 330.3341
Чтобы вычислить 95% доверительных границ на предсказании для населения в будущем, используйте метод перед вмятиной:
ci = predint(population2,cdateFuture,0.95,'observation')
ci = 266.9185 282.3257 293.5673 310.0807 321.3979 339.2702
Постройте предсказанное будущее население, с доверительными интервалами, против подгонки и данных.
plot(cdate,pop,'o'); xlim([1900, 2040]) hold on plot(population2) h = errorbar(cdateFuture,popFuture,popFuture-ci(:,1),ci(:,2)-popFuture,'.'); hold off legend('cdate v pop','poly2','prediction','Location','NorthWest')
