В этом примере показано, как использовать csaps и spaps команды от Curve Fitting Toolbox™, чтобы создать кубические сплайны сглаживания.
Команда csaps обеспечивает сплайн сглаживания. Это - кубический сплайн, который более или менее следует за предполагаемым базовым трендом в зашумленных данных. Параметр сглаживания, чтобы быть выбранным вами, определяет, как тесно сплайн сглаживания следует за определенными данными. Вот основная информация, сокращенная версия документации:
CSAPS Cubic smoothing spline.
VALUES = CSAPS(X, Y, P, XX)
Returns the values at XX of the cubic smoothing spline for the
given data (X,Y) and depending on the smoothing parameter P, chosen
from the interval [0 .. 1]. This smoothing spline f minimizes
P * sum_i W(i)(Y(i) - f(X(i)))^2 + (1-P) * integral (D^2 f)^2
Вот некоторые пробные прогоны. Мы начинаем с данных из простого кубического, q(x) := x^3, загрязните значения некоторым шумом и выберите значение параметра сглаживания, чтобы быть.5. Затем постройте получившиеся сглаживавшие значения, наряду с базовым кубическим, и загрязненные данные.
xi = (0:.05:1); q = @(x) x.^3; yi = q(xi); randomStream = RandStream.create( 'mcg16807', 'Seed', 23 ); ybad = yi+.3*(rand(randomStream, size(xi))-.5); p = .5; xxi = (0:100)/100; ys = csaps(xi,ybad,p,xxi); plot(xi,yi,':',xi,ybad,'x',xxi,ys,'r-') title('Clean Data, Noisy Data, Smoothed Values') legend( 'Exact', 'Noisy', 'Smoothed', 'Location', 'NorthWest' )
Сглаживание является путем, преувеличенным здесь. Путем выбора параметра сглаживания p ближе к 1, мы получаем сплайн сглаживания ближе к определенным данным. Мы пробуем p = .6, .7, .8, .9, 1, и постройте получившиеся сплайны сглаживания.
yy = zeros(5,length(xxi)); p = [.6 .7 .8 .9 1]; for j=1:5 yy(j,:) = csaps(xi,ybad,p(j),xxi); end hold on plot(xxi,yy); hold off title('Smoothing Splines for Various Values of the Smoothing Parameter') legend({'Exact','Noisy','p = 0.5','p = 0.6','p = 0.7','p = 0.8', ... 'p = 0.9', 'p = 1.0'}, 'Location', 'NorthWest' )
Мы видим, что сплайн сглаживания может быть очень чувствителен к выбору параметра сглаживания. Даже для p = 0.9, сплайн сглаживания все еще далек от базового тренда, в то время как для p = 1, мы получаем interpolant к (шумным) данным.
На самом деле формулировка используется csapi (p.235ff Практического Руководства по Сплайнам), очень чувствительно к масштабированию независимой переменной. Простой анализ используемых уравнений показывает что чувствительная область значений для p вокруг 1/(1+epsilon), с epsilon := h^3/16, и h средняя разница между соседними сайтами. А именно, вы ожидали бы завершение после данных когда p = 1/(1+epsilon/100) и некоторое удовлетворительное сглаживание, когда p = 1/(1+epsilon*100).
График ниже показов сплайн сглаживания для значений p около этого магического числа 1/(1+epsilon). Для этого случая это более информативно, чтобы посмотреть на 1-p начиная с магического числа, 1/(1+epsilon), очень близко к 1.
epsilon = ((xi(end)-xi(1))/(numel(xi)-1))^3/16; 1 - 1/(1+epsilon)
ans = 7.8124e-06
plot(xi,yi,':',xi,ybad,'x') hold on labels = cell(1,5); for j=1:5 p = 1/(1+epsilon*10^(j-3)); yy(j,:) = csaps(xi,ybad,p,xxi); labels{j} = ['1-p= ',num2str(1-p)]; end plot(xxi,yy) title('Smoothing Splines for Smoothing Parameter Near Its ''Magic'' Value') legend( [{'Exact', 'Noisy'}, labels], 'Location', 'NorthWest' ) hold off
В этом примере сплайн сглаживания очень чувствителен к изменению параметра сглаживания около магического числа. Одно самое дальнее от 1 кажется лучшим выбором от них, но можно предпочесть тот кроме того.
p = 1/(1+epsilon*10^3); yy = csaps(xi,ybad,p,xxi); hold on plot( xxi, yy, 'y', 'LineWidth', 2 ) title( sprintf( 'The Smoothing Spline For 1-p = %s is Added, in Yellow', num2str(1-p) ) ) hold off
Можно также предоставить csaps с весами ошибок, чтобы уделить больше внимания некоторым точкам данных, чем другие. Кроме того, если вы не предоставляете сайты оценки xx, затем csaps возвращает ppform сплайна сглаживания.
Наконец, csaps может также обработать данные с векторным знаком и даже многомерные, данные с координатной сеткой.
Кубический сплайн сглаживания, обеспеченный командой spaps отличается от того, созданного в csaps только в пути это выбрано. Вот сокращенная версия документации для spaps:
SPAPS Smoothing spline.
[SP,VALUES] = SPAPS(X,Y,TOL) returns the B-form and, if asked,
the values at X, of a cubic smoothing spline f for the given
data (X(i),Y(:,i)), i=1,2, ..., n.
The smoothing spline f minimizes the roughness measure
F(D^2 f) := integral ( D^2 f(t) )^2 dt on X(1) < t < X(n)
over all functions f for which the error measure
E(f) := sum_j { W(j)*( Y(:,j) - f(X(j)) )^2 : j=1,...,n }
is no bigger than the given TOL. Here, D^M f denotes the M-th
derivative of f. The weights W are chosen so that E(f) is the
Composite Trapezoid Rule approximation for F(y-f).
f is constructed as the unique minimizer of
rho*E(f) + F(D^2 f),
with the smoothing parameter RHO so chosen so that E(f) equals
TOL. Hence, FN2FM(SP,'pp') should be (up to roundoff) the same
as the output from CPAPS(X,Y,RHO/(1+RHO)).
Может быть легче предоставить подходящий допуск к spaps чем параметр сглаживания p требуемый csaps. В нашем более раннем примере мы добавили равномерно распределенный случайный шум из интервала 0.3*[-0.5 .. 0.5]. Следовательно, мы можем оценить рыночную стоимость для tol как значение ошибки измеряют e в таком шуме.
tol = sum((.3*(rand(randomStream, size(yi))-.5)).^2);
Этот график показывает получившийся сплайн сглаживания, созданный spaps. Обратите внимание на то, что веса ошибок заданы, чтобы быть универсальными, который является их значением по умолчанию в csaps.
[sp,ys,rho] = spaps(xi,ybad,tol,ones(size(xi))); plot(xi,yi,':',xi,ybad,'x',xi,ys,'r-') title( sprintf( 'Clean Data, Noisy Data, Smoothed Values (1-p = %s )', num2str(1/(1+rho)) ) ); legend( {'Exact','Noisy','Smoothed'}, 'location', 'NorthWest' )
Заголовок фигуры показывает значение p вы использовали бы в csaps чтобы получить точно это сглаживание шлицуют для этих данных.
Здесь, кроме того, сплайн сглаживания, обеспеченный csaps если не, учитывая параметр сглаживания. В этом случае csaps выбирает параметр определенной оперативной процедурой, которая пытается определить местоположение области, где сплайн сглаживания является самым чувствительным к параметру сглаживания (похожий на более раннее обсуждение).
hold on plot(xxi,fnval(csaps(xi,ybad),xxi),'-') title('Clean Data, Noisy Data, Smoothed Values') legend({'Exact' 'Noisy' 'spaps, specified tolerance' ... 'csaps, default smoothing parameter'}, 'Location', 'NorthWest' ) hold off
csaps и spaps команды отличаются по пути, которым вы задаете конкретный сплайн сглаживания через параметр сглаживания по сравнению с допуском. Другим различием является тот spaps может обеспечить линейное или quintic, сглаживающий сплайн, в дополнение к кубическому сплайну сглаживания.
quintic, сглаживающий сплайн, лучше, чем кубический сплайн сглаживания в ситуации, когда вы хотели бы, чтобы вторая производная переместилась как можно меньше.
