Многомерные и рациональные сплайны

Многомерные сплайны

Многомерные сплайны могут быть получены из одномерных сплайнов построением продукта тензора. Например, сплайном trivariate в B-форме дают

$f (x, y, z) = \sum_{u = 1}^{U} \sum_{v = 1}^{V} \sum_{w = 1}^{W} B_{u, k} (x) B_{v, l} (y) B_{w, m} (z) a_{u, v, w}$

с _{Bu,k,Bv,l,Bw,m} одномерные B-сплайны. Соответственно, этот сплайн имеет порядок k в x порядка l в y, и порядка m в z. Точно так же ppform сплайна продукта тензора задана последовательностями пропуска в каждой из переменных и, для каждого гиперпрямоугольника, таким образом, заданного, массив коэффициентов. Далее, как в одномерном случае, коэффициенты могут быть векторами, обычно 2 векторами или 3 векторами, позволив представлять, e.g., определенные поверхности в ℜ³.

Совсем другой двумерный сплайн является сплайном тонкой пластины. Это - функция формы

$f (x) = \sum_{j = 1}^{n - 3} Ψ (x - c_{j}) a_{j} + x (1) a_{n - 2} + x (2) a_{n - 1} + a_{n}$

с ψ (x) = |x |²log|x |² основная функция сплайна тонкой пластины и |x | обозначение Евклидовой длины векторного x. Здесь, для удобства, обозначьте независимую переменную x, но x является теперь вектором, два компонента которого, x (1) и x (2), играют роль этих двух независимых переменных, ранее обозначил x и y. Соответственно, сайты _cj являются точками в ℜ².

Сплайны тонкой пластины возникают, когда двумерное сглаживание шлицует, означая, что сплайн тонкой пластины минимизирует

$p \sum_{i = 1}^{n - 3} | y_{i} - f c_{i}^{2} | + (1 - p) \int ({| D_{1} D_{1} f |}^{2} + 2 {| D_{1} D_{2} f |}^{2} + {| D_{2} D_{2} f |}^{2})$

по всем достаточно сглаженным функциям f. Здесь, _yi является значениями данных, данными на сайтах данных _ci, p является параметром сглаживания, и _Djf обозначает частную производную f относительно x (j). Интеграл взят по целому ℜ². Верхний предел суммирования, n –3, отражает то, что 3 степени свободы сплайна тонкой пластины сопоставлены с его полиномиальной частью.

Сплайны тонкой пластины являются функциями в stform, означая, что до определенных полиномиальных терминов они - взвешенная сумма произвольных, или рассеянные переводит Ψ (·-c) одной стандартной функции, Ψ. Эта так называемая основная функция для сплайна тонкой пластины является особенной в этом, это радиально симметрично, означая, что Ψ (x) только зависит от Евклидовой длины, |x |, x. По этой причине сплайны тонкой пластины также известны как RBFs или радиальные основные функции. Смотрите Построение и Работу со Сплайнами stform для получения дополнительной информации.

Рациональные сплайны

Рациональный сплайн является любой функцией формы r (x) = s (x)/w (x), и с s и со сплайнами w и, в частности, w сплайн со скалярным знаком, в то время как s часто с векторным знаком.

Рациональные сплайны привлекательны, потому что возможно описать различные основные геометрические фигуры, как конические секции, точно так же, как область значений рационального сплайна. Например, круг может так быть описан квадратичным рациональным сплайном со всего двумя частями.

В этом тулбоксе существует дополнительное требование что и s и w иметь ту же форму и даже того же порядка, и с тем же узлом или последовательностью пропуска. Это позволяет сохранить рациональный сплайн r как обычный сплайн R, значение которого в x является вектором [s (x); w (x)]. В зависимости от того, являются ли два сплайна в B-форме или ppform, такое представление называется здесь rBform или rpform такого рационального сплайна.

Легко получить r из R. Например, если v значение R в x, затем v(1:end-1)/v(end) значение r в x. Как другой пример, рассмотрите получение производных r от тех из R. Поскольку s = wr, Лейбниц' правило говорит нам это

$D^{m} s = \sum_{j = 0}^{m} (\begin{matrix} m \\ j \end{matrix}) D^{j} w D^{m - j} r$

где D^ms m th производная s.

Следовательно, если v(:,j) содержит D^j–1R (x), j = 1... m + 1, затем

$(((v (1 : end - 1, m + 1) - \sum_{j = 1}^{m} (\begin{matrix} m \\ j \end{matrix}) v (конец, j + 1) v (1 : конец - 1, j + 1)) / v (конец, 1))$

вводит значение D^mR (x).

Документация