Рациональный сплайн является, по определению, любой функцией, которая является отношением двух сплайнов:
Это требует, чтобы w был со скалярным знаком, но s часто выбирается, чтобы быть с векторным знаком. Далее, желательно что w (x) не быть нулем ни для какого x интереса.
Рациональные сплайны популярны, потому что, в отличие от обычных сплайнов, они могут использоваться, чтобы описать определенные формы базовой конструкции, как конические секции, точно.
Два сплайна, s и w, в рациональном сплайне r (x) =s (x)/w (x) не должны быть связаны друг с другом. Они могли даже иметь различные формы. Но в контексте этого тулбокса удобно ограничить их, чтобы иметь ту же форму, и даже того же порядка и с теми же пропусками или узлами. Поскольку, под тем предположением можно представлять такой рациональный сплайн функцией сплайна (с векторным знаком)
чьи значения являются векторами с еще одной записью, чем значения рационального сплайна r и вызывают это rsform рационального сплайна, или, более точно, rpform или rBform, в зависимости от того, являются ли s и w в ppform или в B-форме. Внутренне, единственной вещью, которая отличает эти рациональные формы от их соответствующих обычных форм сплайна, rpform и B-формы, является их часть формы, т.е. выход, полученный из fnbrk(r,'form'). Этого достаточно, чтобы предупредить fn... команды, чтобы действовать соответственно на функцию в одних из rsforms.
Например, как сделан в fnval, очень легко получить r (x) из R (x). Если v значение R в x, затем v(1:end-1)/v(end) значение r в x. Если, кроме того, dv DR (x), затем (dv(1:end-1)-dv(end)*v(1:end-1))/v(end) Dr (x). В более общем плане, формулой Лейбница,
Поэтому
Это показывает, что можно вычислить производные r индуктивно, с помощью производных s и w (т.е. производных R) наряду с производными r порядка меньше, чем j, чтобы вычислить j th производная r. Эта индуктивная схема используется в fntlr предоставлять первому столько производных рационального сплайна. Существует соответствующая формула для частных и косых производных для многомерных рациональных сплайнов.