Exponenta Banner

Симулируйте изменяющуюся во времени модель в пространстве состояний

Открыть скрипт

В этом примере показано, как сгенерировать данные из известной модели, соответствуйте модели в пространстве состояний к данным, и затем симулируйте ряд от подобранной модели.

Предположим, что набор скрытых процессов включает AR (2) и модель MA (1). Существует 50 периодов и MA (1), процесс выпадает из модели в течение итоговых 25 периодов. Уравнение состояния в течение первых 25 периодов

$$\begin{array}{l}
{x_{1,t}} = 0.7{x_{1,t - 1}} - 0.2{x_{1,t - 2}} + {u_{1,t}}\\
{x_{2,t}} = {u_{2,t}} + 0.6{u_{2,t - 1}},
\end{array}$$

и в течение последних 25 периодов, это

$${x_{1,t}} = 0.7{x_{1,t - 1}} - 0.2{x_{1,t - 2}} + {u_{1,t}},$$

где$u_{1,t}$ и$u_{2,t}$ являются Гауссовыми со средним значением 0 и стандартным отклонением 1.

Предположение, что ряд запускается в 1,5 и 1, соответственно, генерирует случайную последовательность 50 наблюдений от$x_{1,t}$ и$x_{2,t}$.

T = 50;
ARMdl = arima('AR',{0.7,-0.2},'Constant',0,'Variance',1);
MAMdl = arima('MA',0.6,'Constant',0,'Variance',1);
x0 = [1.5 1; 1.5 1];
rng(1);
x = [simulate(ARMdl,T,'Y0',x0(:,1)),...
    [simulate(MAMdl,T/2,'Y0',x0(:,2));nan(T/2,1)]];

Последними 25 значениями для симулированного MA (1) данные является NaN значения.

Предположим далее, что скрытые процессы измеряются с помощью

$${y_t} = 2\left( {{x_{1,t}} + {x_{2,t}}} \right) + {\varepsilon _t},$$

в течение первых 25 периодов, и

$${y_t} = 2{x_{1,t}} + {\varepsilon _t}$$

в течение последних 25 периодов, где$\varepsilon_t$ является Гауссовым со средним значением 0 и стандартным отклонением 1.

Используйте случайный скрытый процесс состояния (x) и уравнение наблюдения, чтобы сгенерировать наблюдения.

y = 2*sum(x','omitnan')'+randn(T,1);

Вместе, скрытые уравнения процесса и наблюдения составляют модель в пространстве состояний. Если коэффициенты являются неизвестными параметрами, модель в пространстве состояний

$$\begin{array}{l}
\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_{1,t}}}\\
{{x_{2,t}}}\\
{{x_{3,t}}}\\
{{x_{4,t}}}
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{\phi _1}}&{{\phi _2}}&0&0\\
1&0&0&0\\
0&0&0&{{\theta _1}}\\
0&0&0&0
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_{1,t - 1}}}\\
{{x_{2,t - 1}}}\\
{{x_{3,t - 1}}}\\
{{x_{4,t - 1}}}
\end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0\\
0&0\\
0&1\\
0&1
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_{1,t}}}\\
{{u_{2,t}}}
\end{array}} \right]\\
{y_t} = a({x_{1,t}} + {x_{3,t}}) + {\varepsilon _t}
\end{array}$$

в течение первых 25 периодов,

$$\begin{array}{l}
\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_{1,t}}}\\
{{x_{2,t}}}
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{\phi _1}}&{{\phi _2}}&0&0\\
1&0&0&0
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_{1,t - 1}}}\\
{{x_{2,t - 1}}}\\
{{x_{3,t - 1}}}\\
{{x_{4,t - 1}}}
\end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
0
\end{array}} \right]{u_{1,t}}\\
{y_t} = b{x_{1,t}} + {\varepsilon _t}
\end{array}$$

в течение периода 26, и

$$\begin{array}{l}
\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_{1,t}}}\\
{{x_{2,t}}}
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{\phi _1}}&{{\phi _2}}\\
1&0
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_{1,t - 1}}}\\
{{x_{2,t - 1}}}
\end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
0
\end{array}} \right]{u_{1,t}}\\
{y_t} = b{x_{1,t}} + {\varepsilon _t}
\end{array}$$

в течение последних 24 периодов.

Запишите функцию, которая задает как параметры в params сопоставьте с матрицами модели в пространстве состояний, значениями начального состояния и типом состояния.


% Copyright 2015 The MathWorks, Inc.

function [A,B,C,D,Mean0,Cov0,StateType] = AR2MAParamMap(params,T)
%AR2MAParamMap Time-variant state-space model parameter mapping function
%
% This function maps the vector params to the state-space matrices (A, B,
% C, and D), the initial state value and the initial state variance (Mean0
% and Cov0), and the type of state (StateType). From periods 1 to T/2, the
% state model is an AR(2) and an MA(1) model, and the observation model is
% the sum of the two states. From periods T/2 + 1 to T, the state model is
% just the AR(2) model.
    A1 = {[params(1) params(2) 0 0; 1 0 0 0; 0 0 0 params(3); 0 0 0 0]};
    B1 = {[1 0; 0 0; 0 1; 0 1]}; 
    C1 = {params(4)*[1 0 1 0]};
    Mean0 = ones(4,1);
    Cov0 = 10*eye(4);
    StateType = [0 0 0 0];
    A2 = {[params(1) params(2) 0 0; 1 0 0 0]};
    B2 = {[1; 0]};
    A3 = {[params(1) params(2); 1 0]};
    B3 = {[1; 0]}; 
    C3 = {params(5)*[1 0]};
    A = [repmat(A1,T/2,1);A2;repmat(A3,(T-2)/2,1)];
    B = [repmat(B1,T/2,1);B2;repmat(B3,(T-2)/2,1)];
    C = [repmat(C1,T/2,1);repmat(C3,T/2,1)];
    D = 1;
end

Сохраните этот код как файл с именем AR2MAParamMap на вашем пути MATLAB®.

Создайте модель в пространстве состояний путем передачи функционального AR2MAParamMap как указатель на функцию к ssm.

Mdl = ssm(@(params)AR2MAParamMap(params,T));

ssm неявно создает модель в пространстве состояний. Обычно, вы не можете проверить неявно заданную модель в пространстве состояний.

Передайте наблюдаемые ответы (y) к estimate оценить параметры. Задайте произвольный набор положительных начальных значений для неизвестных параметров.

params0 = 0.1*ones(5,1);
EstMdl = estimate(Mdl,y,params0);

Method: Maximum likelihood (fminunc)
Sample size: 50
Logarithmic  likelihood:     -114.957
Akaike   info criterion:      239.913
Bayesian info criterion:      249.473
      |     Coeff       Std Err   t Stat     Prob  
---------------------------------------------------
 c(1) |  0.47870       0.26634    1.79733  0.07229 
 c(2) |  0.00809       0.27179    0.02975  0.97626 
 c(3) |  0.55735       0.80958    0.68844  0.49118 
 c(4) |  1.62679       0.41622    3.90848  0.00009 
 c(5) |  1.90021       0.49563    3.83391  0.00013 
      |                                            
      |   Final State   Std Dev    t Stat    Prob  
 x(1) | -0.81229       0.46815   -1.73511  0.08272 
 x(2) | -0.31449       0.45918   -0.68490  0.49341

EstMdl ssm модель, содержащая предполагаемые коэффициенты. Поверхности вероятности моделей в пространстве состояний могут содержать локальные максимумы. Поэтому это - хорошая практика, чтобы попробовать несколько начальных значений параметров или рассмотреть использование refine.

Симулируйте один путь ответов, состояний, утвердите воздействия и инновации наблюдения от Mdl. Укажите, что каждый путь имеет T периоды симулированных вариантов.

[Y,X,U,E]= simulate(EstMdl,T);

  • Y T- 1 вектор из симулированных наблюдений.

  • X T- 1 вектор ячейки из симулированных состояний. Ячейки 1 - 25 содержат 4 1 векторы, и ячейки 26 - 50 содержат 2 1 векторы.

  • U T- 1 вектор ячейки из симулированных воздействий состояния. Ячейки 1 - 25 содержат 4 1 векторы, и ячейки 26 - 50 содержат 2 1 векторы.

  • E T- 1 вектор из симулированных инноваций наблюдения.

Доступ к ячейке симулированных состояний использующая индексация ячейки, например, ячейка доступа 5 использований X{5}.

simStatesPeriod5 = X{5}

simStatesPeriod5 =

   -0.8660
   -2.2826
   -0.7071
    0.2177

Смотрите также

| | |

Похожие темы

Документация Econometrics Toolbox

Поддержка