Описание проблемы

Вы хотите смешать стали с различными химическими составами, чтобы получить 25 тонн стали с определенным химическим составом. Результат должен иметь 5%-й углерод и 5%-й молибден в развес, означая 25 tons*5% = 1,25 тонны углерода и 1,25 тонны молибдена. Цель состоит в том, чтобы минимизировать стоимость для смешивания стали.

Эта проблема взята от Карла-Хенрика Вестерберга, Бенгта Бйорклюнда и Эскила Хултмена, “Приложение Частично-целочисленного программирования в шведском Сталелитейном заводе”. Издание 7 февраля 1977 интерфейсов, стр № 2 39–43, чей краткий обзор в https://doi.org/10.1287/inte.7.2.39.

Четыре слитка стали доступны для покупки. Только один из каждого слитка доступен.

Три сорта легированной стали и один сорт стали фрагмента доступны для покупки. Сплавьте и фрагментируйте стали, может быть куплен в дробных суммах.

Чтобы сформулировать проблему, сначала выберите контрольные переменные. Возьмите переменную   x(1) = 1 чтобы означать вас покупают слиток 1, и   x(1) = 0 чтобы означать вас не покупают слиток. Точно так же переменные x(2) через x(4) бинарные переменные, указывающие, покупаете ли вы слитки 2 - 4.

Переменные x(5) через x(7) количества в тоннах сплавов 1, 2, и 3, что вы покупаете, и x(8) количество стали фрагмента, которую вы покупаете.

MATLAB® Formulation

Сформулируйте проблему путем определения входных параметров для intlinprog. Соответствующий intlinprog синтаксис:

[x,fval] = intlinprog(f,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

Создайте входные параметры для intlinprog сначала (f) через последнее (ub).

f вектор из коэффициентов стоимости. Коэффициенты, представляющие затраты на слитки, являются временами весов в слитках их стоимость на тонну.

f = [350*5,330*3,310*4,280*6,500,450,400,100];

Целочисленные переменные являются первыми четырьмя.

intcon = 1:4;

Совет: Чтобы задать бинарные переменные, установите переменные быть целыми числами в intcon, и дайте им нижнюю границу 0 и верхняя граница 1.

Проблема не имеет никаких линейных ограничений неравенства, таким образом, A и b пустые матрицы ([]).

A = [];
b = [];

Проблема имеет три ограничения равенства. Прежде всего, общая масса составляет 25 тонн.

5*x(1) + 3*x(2) + 4*x(3) + 6*x(4) + x(5) + x(6) + x(7) + x(8) = 25

Второе ограничение состоит в том, что вес углерода составляет 5% 25 тонн или 1,25 тонн.

5*0.05*x(1) + 3*0.04*x(2) + 4*0.05*x(3) + 6*0.03*x(4)

+ 0.08*x(5) + 0.07*x(6) + 0.06*x(7) + 0.03*x(8) = 1.25

Третье ограничение состоит в том, что вес молибдена составляет 1,25 тонны.

5*0.03*x(1) + 3*0.03*x(2) + 4*0.04*x(3) + 6*0.04*x(4)

+ 0.06*x(5) + 0.07*x(6) + 0.08*x(7) + 0.09*x(8) = 1.25

Задайте ограничения, которые являются Aeq*x = beq в матричной форме.

Aeq = [5,3,4,6,1,1,1,1;
    5*0.05,3*0.04,4*0.05,6*0.03,0.08,0.07,0.06,0.03;
    5*0.03,3*0.03,4*0.04,6*0.04,0.06,0.07,0.08,0.09];
beq = [25;1.25;1.25];

Каждая переменная ограничена ниже нулем. Целочисленные переменные ограничены выше одной.

lb = zeros(8,1);
ub = ones(8,1);
ub(5:end) = Inf; % No upper bound on noninteger variables

Решите задачу

Теперь, когда у вас есть все входные параметры, вызовите решатель.

[x,fval] = intlinprog(f,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub);

LP:                Optimal objective value is 8125.600000.                                          

Cut Generation:    Applied 3 mir cuts.                                                              
                   Lower bound is 8495.000000.                                                      
                   Relative gap is 0.00%.                                                          


Optimal solution found.

Intlinprog stopped at the root node because the objective value is within a gap
tolerance of the optimal value, options.AbsoluteGapTolerance = 0 (the default
value). The intcon variables are integer within tolerance,
options.IntegerTolerance = 1e-05 (the default value).

Просмотрите решение.

x,fval

x = 8×1

    1.0000
    1.0000
         0
    1.0000
    7.2500
         0
    0.2500
    3.5000

fval = 8.4950e+03

Оптимальная покупка стоит 8 495$. Купите слитки 1, 2, и 4, но не 3, и купите 7,25 тонн сплава 1, 0,25 тонны сплава 3 и 3,5 тонны стали фрагмента.

Установите intcon = [] видеть эффект решения задачи без целочисленных ограничений. Решение отличается, и не реалистично, потому что вы не можете купить часть слитка.