Первые производные: нахождение локальных минимумов и максимумов

Вычисление первой производной выражения помогает вам найти локальные минимумы и максимумы того выражения. Прежде, чем создать символьное выражение, объявите символьные переменные:

syms x

По умолчанию решения, которые включают мнимые компоненты, включены в результаты. Здесь, рассмотрите только вещественные значения x путем установки предположения, что x isreal:

assume(x, 'real')

Как пример, создайте рациональное выражение (i.e., часть, где числитель и знаменатель являются многочленными выражениями).

f = (3*x^3 + 17*x^2 + 6*x + 1)/(2*x^3 - x + 3)

f = 
$$\frac{3\hspace{0.17em}{x}^3+17\hspace{0.17em}{x}^2+6\hspace{0.17em}x+1}{2\hspace{0.17em}{x}^3-x+3}$$

Графический вывод этого выражения показывает, что выражение имеет горизонтальные и вертикальные асимптоты, локальный минимум между-1 и 0, и локальный максимум между 1 и 2:

fplot(f)
grid

Чтобы найти горизонтальную асимптоту, вычислите пределы f для x приближение к положительным и отрицательным бесконечностям. Горизонтальной асимптотой является y = 3/2:

lim_left = limit(f, x, -inf)

lim_left = 
$$\frac{3}{2}$$

lim_right = limit(f, x, inf)

lim_right = 
$$\frac{3}{2}$$

Добавьте эту горизонтальную асимптоту в график:

hold on
plot(xlim, [lim_right lim_right], 'LineStyle', '-.', 'Color', [0.25 0.25 0.25])

Найти вертикальную асимптоту f, найдите полюса f:

pole_pos = poles(f, x)

pole_pos = 
$$-\frac{1}{6\hspace{0.17em}{\left(\frac{3}{4}-\frac{\sqrt{241}\hspace{0.17em}\sqrt{432}}{432}\right)}^{1/3}}-{\left(\frac{3}{4}-\frac{\sqrt{241}\hspace{0.17em}\sqrt{432}}{432}\right)}^{1/3}$$

Аппроксимируйте точное решение численно при помощи double функция:

double(pole_pos)

ans = -1.2896

Теперь найдите локальный минимум и максимум f. Если точка является локальным экстремальным значением (или минимум или максимум), первая производная выражения в той точке равна нулю. Вычислите производную f использование diff:

g = diff(f, x)

g = 
$$\frac{9\hspace{0.17em}{x}^2+34\hspace{0.17em}x+6}{2\hspace{0.17em}{x}^3-x+3}-\frac{\left(6\hspace{0.17em}{x}^2-1\right)\hspace{0.17em}\left(3\hspace{0.17em}{x}^3+17\hspace{0.17em}{x}^2+6\hspace{0.17em}x+1\right)}{{\left(2\hspace{0.17em}{x}^3-x+3\right)}^2}$$

Найти локальные экстремальные значения f, решите уравнение g == 0:

g0 = solve(g, x)

g0 = 
$$\begin{array}{l}\left(\begin{array}{c}\frac{\sqrt{{\sigma }_2}}{6\hspace{0.17em}{{\sigma }_3}^{1/6}}-{\sigma }_1-\frac{15}{68}\\ \frac{\sqrt{{\sigma }_2}}{6\hspace{0.17em}{{\sigma }_3}^{1/6}}+{\sigma }_1-\frac{15}{68}\end{array}\right)\\ \\ \mathrm{where}\\ \\ \mathrm{ }{\sigma }_1=\frac{\sqrt{\frac{337491\hspace{0.17em}\sqrt{6}\hspace{0.17em}\sqrt{\frac{3\hspace{0.17em}\sqrt{3}\hspace{0.17em}\sqrt{178939632355}}{9826}+\frac{2198209}{9826}}}{39304}+\frac{2841\hspace{0.17em}{{\sigma }_3}^{1/3}\hspace{0.17em}\sqrt{{\sigma }_2}}{578}-9\hspace{0.17em}{{\sigma }_3}^{2/3}\hspace{0.17em}\sqrt{{\sigma }_2}-\frac{361\hspace{0.17em}\sqrt{{\sigma }_2}}{289}}}{6\hspace{0.17em}{{\sigma }_3}^{1/6}\hspace{0.17em}{{\sigma }_2}^{1/4}}\\ \\ \mathrm{ }{\sigma }_2=\frac{2841\hspace{0.17em}{{\sigma }_3}^{1/3}}{1156}+9\hspace{0.17em}{{\sigma }_3}^{2/3}+\frac{361}{289}\\ \\ \mathrm{ }{\sigma }_3=\frac{\sqrt{3}\hspace{0.17em}\sqrt{178939632355}}{176868}+\frac{2198209}{530604}\end{array}$$

Аппроксимируйте точное решение численно при помощи double функция:

double(g0)

ans = 2×1

   -0.1892
    1.2860

Выражение f имеет локальный максимум в x = 1.286 и локальный минимум в x = -0.189. Получите значения функции в этих точках с помощью subs:

f0 = subs(f,x,g0)

f0 = 
$$\begin{array}{l}\left(\begin{array}{c}\frac{3\hspace{0.17em}{\sigma }_2-17\hspace{0.17em}{\left({\sigma }_5-{\sigma }_6+\frac{15}{68}\right)}^2-{\sigma }_4+{\sigma }_1+\frac{11}{34}}{{\sigma }_6+2\hspace{0.17em}{\sigma }_2-{\sigma }_5-\frac{219}{68}}\\ -\frac{{\sigma }_4+17\hspace{0.17em}{\left({\sigma }_6+{\sigma }_5-\frac{15}{68}\right)}^2+3\hspace{0.17em}{\sigma }_3+{\sigma }_1-\frac{11}{34}}{{\sigma }_6-2\hspace{0.17em}{\sigma }_3+{\sigma }_5-\frac{219}{68}}\end{array}\right)\\ \\ \mathrm{where}\\ \\ \mathrm{ }{\sigma }_1=\frac{{\sigma }_7}{{{\sigma }_9}^{1/6}\hspace{0.17em}{{\sigma }_8}^{1/4}}\\ \\ \mathrm{ }{\sigma }_2={\left({\sigma }_5-{\sigma }_6+\frac{15}{68}\right)}^3\\ \\ \mathrm{ }{\sigma }_3={\left({\sigma }_6+{\sigma }_5-\frac{15}{68}\right)}^3\\ \\ \mathrm{ }{\sigma }_4=\frac{\sqrt{{\sigma }_8}}{{{\sigma }_9}^{1/6}}\\ \\ \mathrm{ }{\sigma }_5=\frac{{\sigma }_7}{6\hspace{0.17em}{{\sigma }_9}^{1/6}\hspace{0.17em}{{\sigma }_8}^{1/4}}\\ \\ \mathrm{ }{\sigma }_6=\frac{\sqrt{{\sigma }_8}}{6\hspace{0.17em}{{\sigma }_9}^{1/6}}\\ \\ \mathrm{ }{\sigma }_7=\sqrt{\frac{337491\hspace{0.17em}\sqrt{6}\hspace{0.17em}\sqrt{\frac{3\hspace{0.17em}\sqrt{3}\hspace{0.17em}\sqrt{178939632355}}{9826}+\frac{2198209}{9826}}}{39304}+\frac{2841\hspace{0.17em}{{\sigma }_9}^{1/3}\hspace{0.17em}\sqrt{{\sigma }_8}}{578}-9\hspace{0.17em}{{\sigma }_9}^{2/3}\hspace{0.17em}\sqrt{{\sigma }_8}-\frac{361\hspace{0.17em}\sqrt{{\sigma }_8}}{289}}\\ \\ \mathrm{ }{\sigma }_8=\frac{2841\hspace{0.17em}{{\sigma }_9}^{1/3}}{1156}+9\hspace{0.17em}{{\sigma }_9}^{2/3}+\frac{361}{289}\\ \\ \mathrm{ }{\sigma }_9=\frac{\sqrt{3}\hspace{0.17em}\sqrt{178939632355}}{176868}+\frac{2198209}{530604}\end{array}$$

Аппроксимируйте точное решение численно при помощи double функция на переменной f0:

double(f0)

ans = 2×1

    0.1427
    7.2410

Добавьте маркеры точки в график в экстремальном значении:

plot(g0, f0, 'ok')

Вторые производные: нахождение точек перегиба

Вычисление второй производной позволяет вам найти точки перегиба выражения. Самый эффективный способ вычислить вторые или производные высшего порядка состоит в том, чтобы использовать параметр, который задает порядок производной:

h = diff(f, x, 2)

h = 
$$\begin{array}{l}\frac{18\hspace{0.17em}x+34}{{\sigma }_1}-\frac{2\hspace{0.17em}\left(6\hspace{0.17em}{x}^2-1\right)\hspace{0.17em}\left(9\hspace{0.17em}{x}^2+34\hspace{0.17em}x+6\right)}{{{\sigma }_1}^2}-\frac{12\hspace{0.17em}x\hspace{0.17em}{\sigma }_2}{{{\sigma }_1}^2}+\frac{2\hspace{0.17em}{\left(6\hspace{0.17em}{x}^2-1\right)}^2\hspace{0.17em}{\sigma }_2}{{{\sigma }_1}^3}\\ \\ \mathrm{where}\\ \\ \mathrm{ }{\sigma }_1=2\hspace{0.17em}{x}^3-x+3\\ \\ \mathrm{ }{\sigma }_2=3\hspace{0.17em}{x}^3+17\hspace{0.17em}{x}^2+6\hspace{0.17em}x+1\end{array}$$

Теперь Упростите тот результат:

h = simplify(h)

h = 
$$\frac{2\hspace{0.17em}\left(68\hspace{0.17em}{x}^6+90\hspace{0.17em}{x}^5+18\hspace{0.17em}{x}^4-699\hspace{0.17em}{x}^3-249\hspace{0.17em}{x}^2+63\hspace{0.17em}x+172\right)}{{\left(2\hspace{0.17em}{x}^3-x+3\right)}^3}$$

Найти точки перегиба f, решите уравнение h = 0. Здесь, используйте числовой решатель vpasolve вычислить приближения с плавающей точкой решений:

h0 = vpasolve(h, x)

h0 = 
$$\left(\begin{array}{c}0.57871842655441748319601085860196\\ 1.8651543689917122385037075917613\\ -1.4228127856020972275345064554049-1.8180342567480118987898749770461\hspace{0.17em}\mathrm{i}\\ -1.4228127856020972275345064554049+1.8180342567480118987898749770461\hspace{0.17em}\mathrm{i}\\ -0.46088831805332057449182335801198+0.47672261854520359440077796751805\hspace{0.17em}\mathrm{i}\\ -0.46088831805332057449182335801198-0.47672261854520359440077796751805\hspace{0.17em}\mathrm{i}\end{array}\right)$$

Выражение f имеет две точки перегиба: x = 1.865 и x = 0.579. Обратите внимание на то, что vpasolve также возвращает сложные решения. Отбросьте тех:

h0(imag(h0)~=0) = []

h0 = 
$$\left(\begin{array}{c}0.57871842655441748319601085860196\\ 1.8651543689917122385037075917613\end{array}\right)$$

Добавьте маркеры в график, показывающий точки перегиба:

plot(h0, subs(f,x,h0), '*k')
hold off