Исследуйте арбитраж актива Одно Периода

Скрипт Open Live Script

Этот пример исследует основные арбитражные концепции в одно период, портфель активов с двумя состояниями. Портфель состоит из связи, длинного запаса и длинного колл-опциона на запасе.

Это использует эти функции Symbolic Math Toolbox™:

equationsToMatrix преобразовывать линейную систему уравнений к матрице.
linsolve решить систему.
Символьные эквиваленты стандартных функций MATLAB®, такие как diag.

Этот пример символически выводит нейтральные к риску вероятности и досрочную цену в течение одно периода, сценария с двумя состояниями.

Задайте параметры портфеля

Создайте символьную переменную r представление безрискового уровня за период. Установите предположение что r положительное значение.

syms r positive

Задайте параметры в течение начала одного периода, time = 0. Здесь S0 курс акций и C0 цена колл-опциона с забастовкой, K.

syms S0 C0 K positive

Теперь задайте параметры для конца периода, time = 1. Пометьте два возможных состояния в конце периода как U (курс акций за этот период повышается), и D (курс акций за этот период понижается). Таким образом, SU и SD курсы акций в состояниях U и D и CU значение вызова в состоянии U. Обратите внимание на то, что $S D < = K < = S U$ .

syms SU SD CU positive

Цена облигаций в time = 0 1. Обратите внимание на то, что этот пример игнорирует затраты на трение.

Соберите цены в time = 0 в вектор-столбец.

prices = [1 S0 C0]'

prices = 
 $(\begin{array}{c} 1 \\ S_{0} \\ C_{0} \end{array})$

Соберите выплаты портфеля в time = 1 в payoff матрица. Столбцы payoff соответствуйте выплатам для состояний D и U. Строки соответствуют выплатам для связи, запаса и вызова. Выплатой для связи является 1 + r. Выплата для вызова в состоянии D является нулем, поскольку это не осуществлено (потому что $S D < = K$ ).

payoff = [(1 + r), (1 + r); SD, SU; 0, CU]

payoff = 
 $(\begin{array}{c} r + 1 & r + 1 \\ SD & SU \\ 0 & CU \end{array})$

CU стоит SU - K в состоянии U. Замените этим значением в payoff.

payoff = subs(payoff, CU, SU - K)

payoff = 
 $(\begin{array}{c} r + 1 & r + 1 \\ SD & SU \\ 0 & SU - K \end{array})$

Решите для нейтральных к риску вероятностей

Задайте вероятности достижения состояний U и D.

syms pU pD real

Под без арбитражей, eqns == 0 должен всегда сохраняться с положительным pU и pD.

eqns = payoff*[pD; pU] - prices

eqns = 
 $(\begin{array}{c} pD (r + 1) + pU (r + 1) - 1 \\ SD pD - S_{0} + SU pU \\ - C_{0} - pU (K - SU) \end{array})$

Преобразуйте уравнения, чтобы использовать нейтральные к риску вероятности.

syms pDrn pUrn real;
eqns = subs(eqns, [pD; pU], [pDrn; pUrn]/(1 + r))

eqns = 
 $(\begin{array}{c} pDrn + pUrn - 1 \\ \frac{SD pDrn}{r + 1} - S_{0} + \frac{SU pUrn}{r + 1} \\ - C_{0} - \frac{pUrn (K - SU)}{r + 1} \end{array})$

Неизвестными переменными является pDrn, pUrn, и C0. Преобразуйте линейную систему к матричной форме с помощью этих неизвестных переменных.

[A, b] = equationsToMatrix(eqns, [pDrn, pUrn, C0]')

A = 
 $(\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ \frac{SD}{r + 1} & \frac{SU}{r + 1} & 0 \\ 0 & - \frac{K - SU}{r + 1} & - 1 \end{array})$

b = 
 $(\begin{array}{c} 1 \\ S_{0} \\ 0 \end{array})$

Используя linsolve, найдите решение для нейтральных к риску вероятностей и досрочной цены.

x = linsolve(A, b)

x = 
 $(\begin{array}{c} \frac{S_{0} - SU + S_{0} r}{SD - SU} \\ - \frac{S_{0} - SD + S_{0} r}{SD - SU} \\ \frac{(K - SU) (S_{0} - SD + S_{0} r)}{(SD - SU) (r + 1)} \end{array})$

Проверьте решение

Проверьте это под нейтральными к риску вероятностями, x(1:2), ожидаемая норма прибыли для портфеля, E_return равняется безрисковому уровню, r.

E_return = diag(prices)\(payoff - [prices,prices])*x(1:2);
E_return = simplify(subs(E_return, C0, x(3)))

E_return = 
 $(\begin{array}{c} r \\ r \\ r \end{array})$

Протестируйте на нарушения без Арбитражей

Как пример тестирования нарушений без арбитражей, используйте следующие значения: r = 5%, S0 = 100, и K = 100. Для SU < 105, условие без арбитражей нарушено потому что pDrn = xSol(1) отрицательно (SU >= SD). Далее, для любой досрочной цены кроме xSol(3), существует арбитраж.

xSol = simplify(subs(x, [r,S0,K], [0.05,100,100]))

xSol = 
 $(\begin{array}{c} - \frac{SU - 105}{SD - SU} \\ \frac{SD - 105}{SD - SU} \\ \frac{20 (SD - 105) (SU - 100)}{21 (SD - SU)} \end{array})$

Постройте досрочную цену как поверхность

Постройте досрочную цену, C0 = xSol(3), для 50 <= SD <= 100 и 105 <= SU <= 150. Обратите внимание на то, что вызов стоит больше, когда "отклонение" базового курса акций выше, например, SD = 50, SU = 150.

fsurf(xSol(3), [50,100,105,150])
xlabel SD
ylabel SU
title 'Call Price'

Figure contains an axes object. The axes object with title Call Price contains an object of type functionsurface.

Ссылка

Advanced Derivatives, Pricing and Risk Management: Theory, Tools and Programming Applications Альбанезе, C., Campolieti, G.

Документация