Главные факторизации

В этом примере показано, как использовать некоторые элементарные функции на sym объекты с помощью Symbolic Math Toolbox™.

Встроенные целочисленные типы MATLAB подходят для целых чисел, меньших, чем 2^64. Однако мы хотим выполнить статистические расследования на главных факторизациях больших целых чисел. Для этого мы используем символьные целые числа, потому что их размер неограничен. Исследуйте целые числа между N0+1 и N0+100, где N0=3*1023. Встроенные типы данных не могут сохранить такие значения точно. Таким образом перенесите самый внутренний номер с sym использовать символьное представление в вычислениях. Это старается не округляться или ошибки переполнения:

N0 = 3*sym(10)^23;
disp(['Roundng error for doubles: ' char(3*10^23 - N0)]);
Roundng error for doubles: -25165824
disp(['Overflow error for integers: ' char(3*uint64(10)^23 - N0)]);
Overflow error for integers: -299981553255926290448385

В арифметических операциях символьные числа могут быть объединены с, удваивается, и преобразование происходит перед операцией. Таким образом следующее определение не может вызвать погрешности округления:

A = N0 + (1:100);

Вычислите главные факторизации элементов A использование factor. Количество простых множителей отличается. Массивы не могут содержать векторы из различных длин, но массивы ячеек могут. Чтобы избежать перераспределений памяти, инициализируйте массив ячеек сначала, затем вычислите факторизации в цикле:

Bcell = cell(1, 100);
for i=1:100
   Bcell{i} = factor(A(i)); 
end

Более эффективный подход должен использовать arrayfun. Установка UniformOutput к false возвращает результат как массив ячеек.

Bcell = arrayfun(@factor, A, 'UniformOutput', false);

Например, первые главные факторизации:

Bcell{1:5}
ans = (13432332303316007278478583)
ans = (2171739911223244939171805943)
ans = (311471392531549797184491917)
ans = (22330131295383776910994983)
ans = (5627126502668233610146697)

Получите самый большой простой множитель с помощью max. Обратите внимание на то, что, если выход состоит из объектов sym, опция UniformOutput всегда должен устанавливаться в false даже если выход универсален.

Mcell = cellfun(@max, Bcell, 'UniformOutput', false);

Например, первые максимальные простые множители:

Mcell{1:5}
ans = 2303316007278478583
ans = 171805943
ans = 549797184491917
ans = 76910994983
ans = 3610146697

Преобразуйте массив ячеек в символьный вектор и исследуйте отношение длин самого большого простого множителя и номера в целом. Можно применить арифметические операции поэлементно к символьным векторам, таким же образом что касается удваивается. Обратите внимание на то, что большинство статистических функций требует, чтобы их аргументы были числами с двойной точностью.

M = [Mcell{:}];
histogram(double(log(M)./log(A)), 20);
title('Ratio of lengths of the largest prime factor and the number');

Figure contains an axes object. The axes object with title Ratio of lengths of the largest prime factor and the number contains an object of type histogram.

Таким же образом теперь исследуйте распределение количества простых множителей. Здесь, результат содержит универсальные числовые данные. Поэтому вы не должны устанавливать UniformOutput к false.

omega = cellfun(@numel, Bcell);
histogram(omega);
title('Number of prime factors');

Figure contains an axes object. The axes object with title Number of prime factors contains an object of type histogram.

Интервал под следствием содержит два простых числа:

A(omega == 1)
ans = (300000000000000000000037300000000000000000000049)

Мы проверяем, что максимальные простые множители об одинаково часто в классах вычетов 1 и 3 по модулю 4. Обратите внимание на то, что уравнения объектов sym являются самими символьными объектами и не логическими значениями; мы должны преобразовать их, прежде чем мы сможем суммировать их:

sum(logical(mod(M, 4) == 1))
ans = 49
sum(logical(mod(M, 4) == 3))
ans = 51
Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте