Решите систему алгебраических уравнений

Скрипт Open Live Script

Эта тема показывает вам, как решить систему уравнений символически с помощью Symbolic Math Toolbox™. Этот тулбокс предлагает и числовые и символьные решатели уравнения. Для сравнения числовых и символьных решателей смотрите, Выбирают Numeric or Symbolic Solver.

Обработайте Выход `solve`

Предположим, что у вас есть система

$\begin{array}{l} x^{2} y^{2} = 0 \\ x - \frac{y}{2} = α, \end{array}$

и вы хотите решить для $x$ и $y$ . Во-первых, создайте необходимые символьные объекты.

syms x y a

Существует несколько способов обратиться к выходу solve. Один путь состоит в том, чтобы использовать 2D выходной вызов. Вызов возвращает следующее.

[solx,soly] = solve(x^2*y^2 == 0, x-y/2 == a)

solx = 
 $(\begin{array}{c} a \\ 0 \end{array})$

soly = 
 $(\begin{array}{c} 0 \\ - 2 a \end{array})$

Измените первое уравнение к $x^{2} y^{2} = 1$ . Новая система имеет больше решений. Производятся четыре отличных решения.

[solx,soly] = solve(x^2*y^2 == 1, x-y/2 == a)

solx = 
 $(\begin{array}{c} \frac{a}{2} - \frac{\sqrt{a^{2} - 2}}{2} \\ \frac{a}{2} - \frac{\sqrt{a^{2} + 2}}{2} \\ \frac{a}{2} + \frac{\sqrt{a^{2} - 2}}{2} \\ \frac{a}{2} + \frac{\sqrt{a^{2} + 2}}{2} \end{array})$

soly = 
 $(\begin{array}{c} - a - \sqrt{a^{2} - 2} \\ - a - \sqrt{a^{2} + 2} \\ \sqrt{a^{2} - 2} - a \\ \sqrt{a^{2} + 2} - a \end{array})$

Поскольку вы не задавали зависимые переменные, solve использование symvar определить переменные.

Этот способ присвоить выход от solve довольно успешно для “маленьких” систем. Например, если у вас есть 10 10 система уравнений, введение следующего является и неловким и трудоемким.

[x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10] = solve(...)

Обойти эту трудность, solve может возвратить структуру, поля которой являются решениями. Например, решите систему уравнений u^2 - v^2 = a^2, u + v = 1, a^2 - 2*a = 3. Решатель возвращает свои результаты, заключенные в структуру.

syms u v a
S = solve(u^2 - v^2 == a^2, u + v == 1, a^2 - 2*a == 3)

S = struct with fields:
    a: [2x1 sym]
    u: [2x1 sym]
    v: [2x1 sym]

Решения для a находитесь в “a- поле” S.

S.a

ans = 
 $(\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \end{array})$

Подобные комментарии применяются к решениям за u и v. Структура S может теперь управляться полем и индексом, чтобы получить доступ к конкретному фрагменту решения. Например, чтобы исследовать второе решение, можно использовать следующий оператор, чтобы извлечь второй компонент каждого поля.

s2 = [S.a(2),S.u(2),S.v(2)]

s2 =  $(\begin{array}{c} 3 & 5 & - 4 \end{array})$

Следующий оператор создает матрицу решения M чьи строки включают отличные решения системы.

M = [S.a,S.u,S.v]

M = 
 $(\begin{array}{c} - 1 & 1 & 0 \\ 3 & 5 & - 4 \end{array})$

Очистите solx и soly для дальнейшего использования.

clear solx soly

Решите линейную систему уравнений

Линейные системы уравнений могут также быть решены с помощью матричного деления. Например, решите эту систему.

clear u v x y
syms u v x y
eqns = [x + 2*y == u, 4*x + 5*y == v];
S = solve(eqns);
sol = [S.x;S.y]

sol = 
 $(\begin{array}{c} \frac{2 v}{3} - \frac{5 u}{3} \\ \frac{4 u}{3} - \frac{v}{3} \end{array})$

[A,b] = equationsToMatrix(eqns,x,y);
z = A\b

z = 
 $(\begin{array}{c} \frac{2 v}{3} - \frac{5 u}{3} \\ \frac{4 u}{3} - \frac{v}{3} \end{array})$

Таким образом, sol и z произведите то же решение, несмотря на то, что результаты присвоены различным переменным.

Возвратите полное решение системы уравнений

solve автоматически не возвращает всех решений уравнения. Чтобы возвратить все решения наряду с параметрами в решении и условиях на решении, установите ReturnConditions опция к true.

Рассмотрите следующую систему уравнений:

$\begin{array}{l} \sin (x) + \cos (y) = \frac{4}{5} \\ \sin (x) \cos (y) = \frac{1}{10} \end{array}$

Визуализируйте систему уравнений с помощью fimplicit. Установить ось X и значения оси Y в терминах pi, получите указатели осей с помощью axes в a. Создайте символьный массив S из значений -2*pi к 2*pi с промежутками в pi/2. Установить метки деления на S, используйте XTick и YTick свойства a. Чтобы установить метки для x-and осей Y, преобразуйте S к векторам символов. Используйте arrayfun применять char к каждому элементу S возвратить T. Установите XTickLabel и YTickLabel свойства a к T.

syms x y
eqn1 = sin(x)+cos(y) == 4/5;
eqn2 = sin(x)*cos(y) == 1/10;
a = axes;
fimplicit(eqn1,[-2*pi 2*pi],'b');
hold on
grid on
fimplicit(eqn2,[-2*pi 2*pi],'m');
L = sym(-2*pi:pi/2:2*pi);
a.XTick = double(L);
a.YTick = double(L);
M = arrayfun(@char, L, 'UniformOutput', false);
a.XTickLabel = M;
a.YTickLabel = M;
title('Plot of System of Equations')
legend('sin(x)+cos(y) == 4/5','sin(x)*cos(y) == 1/10',...
    'Location','best','AutoUpdate','off')

Figure contains an axes object. The axes object with title Plot of System of Equations contains 2 objects of type implicitfunctionline. These objects represent sin(x)+cos(y) == 4/5, sin(x)*cos(y) == 1/10.

Решения лежат на пересечении двух графиков. Это показывает, что система повторилась, периодические решения. Чтобы решить эту систему уравнений для набора полного решения, используйте solve и набор ReturnConditions опция к true.

S = solve(eqn1,eqn2,'ReturnConditions',true)

S = struct with fields:
             x: [2x1 sym]
             y: [2x1 sym]
    parameters: [z    z1]
    conditions: [2x1 sym]

solve возвращает структуру S с полями S.x для решения x, S.y для решения y, S.parameters для параметров в решении и S.conditions для условий на решении. Элементы того же индекса в S.x, S.y, и S.conditions сформируйте решение. Таким образом, S.x(1), S.y(1), и S.conditions(1) сформируйте одно решение системы уравнений. Параметры в S.parameters может появиться во всех решениях.

Индексируйте в S возвратить решения, параметры и условия.

S.x

ans = 
 $(\begin{array}{c} z_{1} \\ z_{1} \end{array})$

S.y

ans = 
 $(\begin{array}{c} z \\ z \end{array})$

S.parameters

ans =  $(\begin{array}{c} z & z_{1} \end{array})$

S.conditions

ans = 
 $\begin{array}{l} (\begin{array}{c} (\frac{z + acos (σ_{3})}{2 π} \in Z \lor \frac{z - acos (σ_{3})}{2 π} \in Z) \land (- \frac{π - z_{1} + σ_{1}}{2 π} \in Z \lor \frac{z_{1} + σ_{1}}{2 π} \in Z) \\ (\frac{z_{1} - π + asin (σ_{3})}{2 π} \in Z \lor \frac{z_{1} - asin (σ_{3})}{2 π} \in Z) \land (\frac{z + σ_{2}}{2 π} \in Z \lor \frac{z - σ_{2}}{2 π} \in Z) \end{array}) \\ where \\ σ_{1} = asin (\frac{\sqrt{6}}{10} - \frac{2}{5}) \\ σ_{2} = acos (\frac{2}{5} - \frac{\sqrt{6}}{10}) \\ σ_{3} = \frac{\sqrt{6}}{10} + \frac{2}{5} \end{array}$

Решите систему уравнений при условиях

Чтобы решить систему уравнений при условиях, задайте условия во входе к solve.

Решите систему уравнений, рассмотренную выше для x и y в интервале -2*pi к 2*pi. Наложите решения на графике с помощью scatter.

Srange = solve(eqn1, eqn2, -2*pi < x, x < 2*pi, -2*pi < y, y < 2*pi, 'ReturnConditions', true);
scatter(Srange.x,Srange.y,'k')

Figure contains an axes object. The axes object with title Plot of System of Equations contains 3 objects of type implicitfunctionline, scatter. These objects represent sin(x)+cos(y) == 4/5, sin(x)*cos(y) == 1/10.

Работа с решениями, параметрами и условиями, возвращенными `solve`

Можно использовать решения, параметры и условия, возвращенные solve найти решения в интервале или под дополнительными условиями. Этот раздел имеет ту же цель как предыдущий раздел, чтобы решить систему уравнений в поисковой области значений, но с другим подходом. Вместо того, чтобы поместить условия непосредственно, это показывает, как работать с параметрами и условиями, возвращенными solve.

Для полного решения S из системы уравнений найдите значения x и y в интервале -2*pi к 2*pi путем решения решений S.x и S.y для параметров S.parameters в том интервале при условии S.conditions.

Прежде, чем решить для x и y в интервале примите условия в S.conditions использование assume так, чтобы возвращенные решения удовлетворили условию. Примите условия для первого решения.

assume(S.conditions(1))

Найдите параметры в S.x и S.y.

paramx = intersect(symvar(S.x),S.parameters)

paramx =  $z_{1}$

paramy = intersect(symvar(S.y),S.parameters)

paramy =  $z$

Решите первое решение x для параметра paramx.

solparamx(1,:) = solve(S.x(1) > -2*pi, S.x(1) < 2*pi, paramx)

solparamx = 
 $(\begin{array}{c} π + asin (\frac{\sqrt{6}}{10} - \frac{2}{5}) & asin (\frac{\sqrt{6}}{10} - \frac{2}{5}) - π & - asin (\frac{\sqrt{6}}{10} - \frac{2}{5}) & - 2 π - asin (\frac{\sqrt{6}}{10} - \frac{2}{5}) \end{array})$

Точно так же решите первое решение y для paramy.

solparamy(1,:) = solve(S.y(1) > -2*pi, S.y(1) < 2*pi, paramy)

solparamy = 
 $(\begin{array}{c} acos (\frac{\sqrt{6}}{10} + \frac{2}{5}) & acos (\frac{\sqrt{6}}{10} + \frac{2}{5}) - 2 π & - acos (\frac{\sqrt{6}}{10} + \frac{2}{5}) & 2 π - acos (\frac{\sqrt{6}}{10} + \frac{2}{5}) \end{array})$

Очистите предположения, установленные S.conditions(1) использование assume. Вызовите asumptions проверять, что предположения очищены.

assume(S.parameters,'clear')
assumptions

 
ans =
 
Empty sym: 1-by-0

Примите условия для второго решения.

assume(S.conditions(2))

Решите второе решение x и y для параметров paramx и paramy.

solparamx(2,:) = solve(S.x(2) > -2*pi, S.x(2) < 2*pi, paramx)

solparamx = 
 $\begin{array}{l} (\begin{array}{c} π + σ_{1} & σ_{1} - π & - σ_{1} & - 2 π - σ_{1} \\ σ_{2} & π - σ_{2} & σ_{2} - 2 π & - π - σ_{2} \end{array}) \\ where \\ σ_{1} = asin (\frac{\sqrt{6}}{10} - \frac{2}{5}) \\ σ_{2} = asin (\frac{\sqrt{6}}{10} + \frac{2}{5}) \end{array}$

solparamy(2,:) = solve(S.y(2) > -2*pi, S.y(2) < 2*pi, paramy)

solparamy = 
 $\begin{array}{l} (\begin{array}{c} σ_{2} & σ_{2} - 2 π & - σ_{2} & 2 π - σ_{2} \\ σ_{1} & σ_{1} - 2 π & - σ_{1} & 2 π - σ_{1} \end{array}) \\ where \\ σ_{1} = acos (\frac{2}{5} - \frac{\sqrt{6}}{10}) \\ σ_{2} = acos (\frac{\sqrt{6}}{10} + \frac{2}{5}) \end{array}$

Первые строки paramx и paramy сформируйте первое решение системы уравнений, и вторые строки формируют второе решение.

Найти значения x и y для этих значений paramx и paramy, используйте subs заменять paramx и paramy в S.x и S.y.

solx(1,:) = subs(S.x(1), paramx, solparamx(1,:));
solx(2,:) = subs(S.x(2), paramx, solparamx(2,:))

solx = 
 $\begin{array}{l} (\begin{array}{c} π + σ_{1} & σ_{1} - π & - σ_{1} & - 2 π - σ_{1} \\ σ_{2} & π - σ_{2} & σ_{2} - 2 π & - π - σ_{2} \end{array}) \\ where \\ σ_{1} = asin (\frac{\sqrt{6}}{10} - \frac{2}{5}) \\ σ_{2} = asin (\frac{\sqrt{6}}{10} + \frac{2}{5}) \end{array}$

soly(1,:) = subs(S.y(1), paramy, solparamy(1,:));
soly(2,:) = subs(S.y(2), paramy, solparamy(2,:))

soly = 
 $\begin{array}{l} (\begin{array}{c} σ_{2} & σ_{2} - 2 π & - σ_{2} & 2 π - σ_{2} \\ σ_{1} & σ_{1} - 2 π & - σ_{1} & 2 π - σ_{1} \end{array}) \\ where \\ σ_{1} = acos (\frac{2}{5} - \frac{\sqrt{6}}{10}) \\ σ_{2} = acos (\frac{\sqrt{6}}{10} + \frac{2}{5}) \end{array}$

Обратите внимание на то, что solx и soly два набора решений x и к y. Полные наборы решений системы уравнений являются этими двумя наборами точек, сформированными всеми возможными комбинациями значений в solx и soly.

Постройте эти два набора точек с помощью scatter. Наложите их на графике уравнений. Как ожидалось решения появляются на пересечении графиков этих двух уравнений.

for i = 1:length(solx(1,:))
    for j = 1:length(soly(1,:))
        scatter(solx(1,i), soly(1,j), 'k')
        scatter(solx(2,i), soly(2,j), 'k')
    end
end

Figure contains an axes object. The axes object with title Plot of System of Equations contains 35 objects of type implicitfunctionline, scatter. These objects represent sin(x)+cos(y) == 4/5, sin(x)*cos(y) == 1/10.

Преобразуйте символьные результаты в числовые значения

Символьные вычисления обеспечивают точную точность, в то время как числовые вычисления являются приближениями. Несмотря на эту потерю точности, вы можете должны быть преобразовать символьные результаты в числовые приближения для использования в числовых вычислениях. Для высокоточного преобразования используйте арифметику переменной точности, обеспеченную vpa функция. Для стандартной точности и лучшей эффективности, преобразуйте в двойную точность с помощью double.

Используйте vpa преобразовывать символьные решения solx и soly к числовой форме.

vpa(solx)

ans = 
 $(\begin{array}{c} 2.9859135500977407388300518406219 & - 3.2972717570818457380952349259371 & 0.15567910349205249963259154265761 & - 6.1275062036875339772926952239014 \\ 0.70095651347102524787213653614929 & 2.4406361401187679905905068471302 & - 5.5822287937085612290531502304097 & - 3.8425491670608184863347799194288 \end{array})$

vpa(soly)

ans = 
 $(\begin{array}{c} 0.86983981332387137135918515549046 & - 5.4133454938557151055661016110685 & - 0.86983981332387137135918515549046 & 5.4133454938557151055661016110685 \\ 1.4151172233028441195987301489821 & - 4.8680680838767423573265566175769 & - 1.4151172233028441195987301489821 & 4.8680680838767423573265566175769 \end{array})$

Упростите сложные результаты и улучшайте производительность

Если результаты выглядят сложными, solve застревает, или если вы хотите улучшать производительность, смотрите, Решения для уравнения Поиска и устранения неисправностей от решают Функцию.

Документация

Решите систему алгебраических уравнений

Обработайте Выход `solve`

Решите линейную систему уравнений

Возвратите полное решение системы уравнений

Решите систему уравнений при условиях

Работа с решениями, параметрами и условиями, возвращенными `solve`

Преобразуйте символьные результаты в числовые значения

Упростите сложные результаты и улучшайте производительность

Документация Symbolic Math Toolbox

Поддержка

Документация

Решите систему алгебраических уравнений

Обработайте Выход solve

Решите линейную систему уравнений

Возвратите полное решение системы уравнений

Решите систему уравнений при условиях

Работа с решениями, параметрами и условиями, возвращенными solve

Преобразуйте символьные результаты в числовые значения

Упростите сложные результаты и улучшайте производительность

Документация Symbolic Math Toolbox

Поддержка

Обработайте Выход `solve`

Работа с решениями, параметрами и условиями, возвращенными `solve`