Обработайте Выход solve

Предположим, что у вас есть система

и вы хотите решить для $$x$$ и $$y$$. Во-первых, создайте необходимые символьные объекты.

syms x y a

Существует несколько способов обратиться к выходу solve. Один путь состоит в том, чтобы использовать 2D выходной вызов. Вызов возвращает следующее.

[solx,soly] = solve(x^2*y^2 == 0, x-y/2 == a)

solx = 
$$\left(\begin{array}{c}a\\ 0\end{array}\right)$$

soly = 
$$\left(\begin{array}{c}0\\ -2\hspace{0.17em}a\end{array}\right)$$

Измените первое уравнение к $$x^2{y}^2=1$$. Новая система имеет больше решений. Производятся четыре отличных решения.

[solx,soly] = solve(x^2*y^2 == 1, x-y/2 == a)

solx = 
$$\left(\begin{array}{c}\frac{a}{2}-\frac{\sqrt{a^2-2}}{2}\\ \frac{a}{2}-\frac{\sqrt{a^2+2}}{2}\\ \frac{a}{2}+\frac{\sqrt{a^2-2}}{2}\\ \frac{a}{2}+\frac{\sqrt{a^2+2}}{2}\end{array}\right)$$

soly = 
$$\left(\begin{array}{c}-a-\sqrt{a^2-2}\\ -a-\sqrt{a^2+2}\\ \sqrt{a^2-2}-a\\ \sqrt{a^2+2}-a\end{array}\right)$$

Поскольку вы не задавали зависимые переменные, solve использование symvar определить переменные.

Этот способ присвоить выход от solve довольно успешно для “маленьких” систем. Например, если у вас есть 10 10 система уравнений, введение следующего является и неловким и трудоемким.

[x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10] = solve(...)

Обойти эту трудность, solve может возвратить структуру, поля которой являются решениями. Например, решите систему уравнений u^2 - v^2 = a^2, u + v = 1, a^2 - 2*a = 3. Решатель возвращает свои результаты, заключенные в структуру.

syms u v a
S = solve(u^2 - v^2 == a^2, u + v == 1, a^2 - 2*a == 3)

S = struct with fields:
    a: [2x1 sym]
    u: [2x1 sym]
    v: [2x1 sym]

Решения для a находитесь в “a- поле” S.

S.a

ans = 
$$\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\end{array}\right)$$

Подобные комментарии применяются к решениям за u и v. Структура S может теперь управляться полем и индексом, чтобы получить доступ к конкретному фрагменту решения. Например, чтобы исследовать второе решение, можно использовать следующий оператор, чтобы извлечь второй компонент каждого поля.

s2 = [S.a(2),S.u(2),S.v(2)]

s2 = $$\left(\begin{array}{ccc}3& 5& -4\end{array}\right)$$

Следующий оператор создает матрицу решения M чьи строки включают отличные решения системы.

M = [S.a,S.u,S.v]

M = 
$$\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 0\\ 3& 5& -4\end{array}\right)$$

Очистите solx и soly для дальнейшего использования.

clear solx soly

Решите линейную систему уравнений

Линейные системы уравнений могут также быть решены с помощью матричного деления. Например, решите эту систему.

clear u v x y
syms u v x y
eqns = [x + 2*y == u, 4*x + 5*y == v];
S = solve(eqns);
sol = [S.x;S.y]

sol = 
$$\left(\begin{array}{c}\frac{2\hspace{0.17em}v}{3}-\frac{5\hspace{0.17em}u}{3}\\ \frac{4\hspace{0.17em}u}{3}-\frac{v}{3}\end{array}\right)$$

[A,b] = equationsToMatrix(eqns,x,y);
z = A\b

z = 
$$\left(\begin{array}{c}\frac{2\hspace{0.17em}v}{3}-\frac{5\hspace{0.17em}u}{3}\\ \frac{4\hspace{0.17em}u}{3}-\frac{v}{3}\end{array}\right)$$

Таким образом, sol и z произведите то же решение, несмотря на то, что результаты присвоены различным переменным.

Возвратите полное решение системы уравнений

solve автоматически не возвращает всех решений уравнения. Чтобы возвратить все решения наряду с параметрами в решении и условиях на решении, установите ReturnConditions опция к true.

Рассмотрите следующую систему уравнений:

Визуализируйте систему уравнений с помощью fimplicit. Установить ось X и значения оси Y в терминах pi, получите указатели осей с помощью axes в a. Создайте символьный массив S из значений -2*pi к 2*pi с промежутками в pi/2. Установить метки деления на S, используйте XTick и YTick свойства a. Чтобы установить метки для x-and осей Y, преобразуйте S к векторам символов. Используйте arrayfun применять char к каждому элементу S возвратить T. Установите XTickLabel и YTickLabel свойства a к T.

syms x y
eqn1 = sin(x)+cos(y) == 4/5;
eqn2 = sin(x)*cos(y) == 1/10;
a = axes;
fimplicit(eqn1,[-2*pi 2*pi],'b');
hold on
grid on
fimplicit(eqn2,[-2*pi 2*pi],'m');
L = sym(-2*pi:pi/2:2*pi);
a.XTick = double(L);
a.YTick = double(L);
M = arrayfun(@char, L, 'UniformOutput', false);
a.XTickLabel = M;
a.YTickLabel = M;
title('Plot of System of Equations')
legend('sin(x)+cos(y) == 4/5','sin(x)*cos(y) == 1/10',...
    'Location','best','AutoUpdate','off')

Решения лежат на пересечении двух графиков. Это показывает, что система повторилась, периодические решения. Чтобы решить эту систему уравнений для набора полного решения, используйте solve и набор ReturnConditions опция к true.

S = solve(eqn1,eqn2,'ReturnConditions',true)

S = struct with fields:
             x: [2x1 sym]
             y: [2x1 sym]
    parameters: [z    z1]
    conditions: [2x1 sym]

solve возвращает структуру S с полями S.x для решения x, S.y для решения y, S.parameters для параметров в решении и S.conditions для условий на решении. Элементы того же индекса в S.x, S.y, и S.conditions сформируйте решение. Таким образом, S.x(1), S.y(1), и S.conditions(1) сформируйте одно решение системы уравнений. Параметры в S.parameters может появиться во всех решениях.

Индексируйте в S возвратить решения, параметры и условия.

S.x

ans = 
$$\left(\begin{array}{c}{z}_1\\ z_1\end{array}\right)$$

S.y

ans = 
$$\left(\begin{array}{c}z\\ z\end{array}\right)$$

S.parameters

ans = $$\left(\begin{array}{cc}z& z_1\end{array}\right)$$

S.conditions

ans = 
$$\begin{array}{l}\left(\begin{array}{c}\left(\frac{z+\mathrm{acos}\left({\sigma }_3\right)}{2\hspace{0.17em}\pi }\in \mathbb{Z}\vee \frac{z-\mathrm{acos}\left({\sigma }_3\right)}{2\hspace{0.17em}\pi }\in \mathbb{Z}\right)\wedge \left(-\frac{\pi -z_1+{\sigma }_1}{2\hspace{0.17em}\pi }\in \mathbb{Z}\vee \frac{z_1+{\sigma }_1}{2\hspace{0.17em}\pi }\in \mathbb{Z}\right)\\ \left(\frac{z_1-\pi +\mathrm{asin}\left({\sigma }_3\right)}{2\hspace{0.17em}\pi }\in \mathbb{Z}\vee \frac{z_1-\mathrm{asin}\left({\sigma }_3\right)}{2\hspace{0.17em}\pi }\in \mathbb{Z}\right)\wedge \left(\frac{z+{\sigma }_2}{2\hspace{0.17em}\pi }\in \mathbb{Z}\vee \frac{z-{\sigma }_2}{2\hspace{0.17em}\pi }\in \mathbb{Z}\right)\end{array}\right)\\ \\ \mathrm{where}\\ \\ \mathrm{ }{\sigma }_1=\mathrm{asin}\left(\frac{\sqrt{6}}{10}-\frac{2}{5}\right)\\ \\ \mathrm{ }{\sigma }_2=\mathrm{acos}\left(\frac{2}{5}-\frac{\sqrt{6}}{10}\right)\\ \\ \mathrm{ }{\sigma }_3=\frac{\sqrt{6}}{10}+\frac{2}{5}\end{array}$$

Решите систему уравнений при условиях

Чтобы решить систему уравнений при условиях, задайте условия во входе к solve.

Решите систему уравнений, рассмотренную выше для x и y в интервале -2*pi к 2*pi. Наложите решения на графике с помощью scatter.

Srange = solve(eqn1, eqn2, -2*pi < x, x < 2*pi, -2*pi < y, y < 2*pi, 'ReturnConditions', true);
scatter(Srange.x,Srange.y,'k')

Работа с решениями, параметрами и условиями, возвращенными solve

Можно использовать решения, параметры и условия, возвращенные solve найти решения в интервале или под дополнительными условиями. Этот раздел имеет ту же цель как предыдущий раздел, чтобы решить систему уравнений в поисковой области значений, но с другим подходом. Вместо того, чтобы поместить условия непосредственно, это показывает, как работать с параметрами и условиями, возвращенными solve.

Для полного решения S из системы уравнений найдите значения x и y в интервале -2*pi к 2*pi путем решения решений S.x и S.y для параметров S.parameters в том интервале при условии S.conditions.

Прежде, чем решить для x и y в интервале примите условия в S.conditions использование assume так, чтобы возвращенные решения удовлетворили условию. Примите условия для первого решения.

assume(S.conditions(1))

Найдите параметры в S.x и S.y.

paramx = intersect(symvar(S.x),S.parameters)

paramx = $$z_1$$

paramy = intersect(symvar(S.y),S.parameters)

paramy = $$z$$

Решите первое решение x для параметра paramx.

solparamx(1,:) = solve(S.x(1) > -2*pi, S.x(1) < 2*pi, paramx)

solparamx = 
$$\left(\begin{array}{cccc}\pi +\mathrm{asin}\left(\frac{\sqrt{6}}{10}-\frac{2}{5}\right)& \mathrm{asin}\left(\frac{\sqrt{6}}{10}-\frac{2}{5}\right)-\pi & -\mathrm{asin}\left(\frac{\sqrt{6}}{10}-\frac{2}{5}\right)& -2\hspace{0.17em}\pi -\mathrm{asin}\left(\frac{\sqrt{6}}{10}-\frac{2}{5}\right)\end{array}\right)$$

Точно так же решите первое решение y для paramy.

solparamy(1,:) = solve(S.y(1) > -2*pi, S.y(1) < 2*pi, paramy)

solparamy = 
$$\left(\begin{array}{cccc}\mathrm{acos}\left(\frac{\sqrt{6}}{10}+\frac{2}{5}\right)& \mathrm{acos}\left(\frac{\sqrt{6}}{10}+\frac{2}{5}\right)-2\hspace{0.17em}\pi & -\mathrm{acos}\left(\frac{\sqrt{6}}{10}+\frac{2}{5}\right)& 2\hspace{0.17em}\pi -\mathrm{acos}\left(\frac{\sqrt{6}}{10}+\frac{2}{5}\right)\end{array}\right)$$

Очистите предположения, установленные S.conditions(1) использование assume. Вызовите asumptions проверять, что предположения очищены.

assume(S.parameters,'clear')
assumptions

 
ans =
 
Empty sym: 1-by-0
 

Примите условия для второго решения.

assume(S.conditions(2))

Решите второе решение x и y для параметров paramx и paramy.

solparamx(2,:) = solve(S.x(2) > -2*pi, S.x(2) < 2*pi, paramx)

solparamx = 
$$\begin{array}{l}\left(\begin{array}{cccc}\pi +{\sigma }_1& {\sigma }_1-\pi & -{\sigma }_1& -2\hspace{0.17em}\pi -{\sigma }_1\\ {\sigma }_2& \pi -{\sigma }_2& {\sigma }_2-2\hspace{0.17em}\pi & -\pi -{\sigma }_2\end{array}\right)\\ \\ \mathrm{where}\\ \\ \mathrm{ }{\sigma }_1=\mathrm{asin}\left(\frac{\sqrt{6}}{10}-\frac{2}{5}\right)\\ \\ \mathrm{ }{\sigma }_2=\mathrm{asin}\left(\frac{\sqrt{6}}{10}+\frac{2}{5}\right)\end{array}$$

solparamy(2,:) = solve(S.y(2) > -2*pi, S.y(2) < 2*pi, paramy)

solparamy = 
$$\begin{array}{l}\left(\begin{array}{cccc}{\sigma }_2& {\sigma }_2-2\hspace{0.17em}\pi & -{\sigma }_2& 2\hspace{0.17em}\pi -{\sigma }_2\\ {\sigma }_1& {\sigma }_1-2\hspace{0.17em}\pi & -{\sigma }_1& 2\hspace{0.17em}\pi -{\sigma }_1\end{array}\right)\\ \\ \mathrm{where}\\ \\ \mathrm{ }{\sigma }_1=\mathrm{acos}\left(\frac{2}{5}-\frac{\sqrt{6}}{10}\right)\\ \\ \mathrm{ }{\sigma }_2=\mathrm{acos}\left(\frac{\sqrt{6}}{10}+\frac{2}{5}\right)\end{array}$$

Первые строки paramx и paramy сформируйте первое решение системы уравнений, и вторые строки формируют второе решение.

Найти значения x и y для этих значений paramx и paramy, используйте subs заменять paramx и paramy в S.x и S.y.

solx(1,:) = subs(S.x(1), paramx, solparamx(1,:));
solx(2,:) = subs(S.x(2), paramx, solparamx(2,:))

solx = 
$$\begin{array}{l}\left(\begin{array}{cccc}\pi +{\sigma }_1& {\sigma }_1-\pi & -{\sigma }_1& -2\hspace{0.17em}\pi -{\sigma }_1\\ {\sigma }_2& \pi -{\sigma }_2& {\sigma }_2-2\hspace{0.17em}\pi & -\pi -{\sigma }_2\end{array}\right)\\ \\ \mathrm{where}\\ \\ \mathrm{ }{\sigma }_1=\mathrm{asin}\left(\frac{\sqrt{6}}{10}-\frac{2}{5}\right)\\ \\ \mathrm{ }{\sigma }_2=\mathrm{asin}\left(\frac{\sqrt{6}}{10}+\frac{2}{5}\right)\end{array}$$

soly(1,:) = subs(S.y(1), paramy, solparamy(1,:));
soly(2,:) = subs(S.y(2), paramy, solparamy(2,:))

soly = 
$$\begin{array}{l}\left(\begin{array}{cccc}{\sigma }_2& {\sigma }_2-2\hspace{0.17em}\pi & -{\sigma }_2& 2\hspace{0.17em}\pi -{\sigma }_2\\ {\sigma }_1& {\sigma }_1-2\hspace{0.17em}\pi & -{\sigma }_1& 2\hspace{0.17em}\pi -{\sigma }_1\end{array}\right)\\ \\ \mathrm{where}\\ \\ \mathrm{ }{\sigma }_1=\mathrm{acos}\left(\frac{2}{5}-\frac{\sqrt{6}}{10}\right)\\ \\ \mathrm{ }{\sigma }_2=\mathrm{acos}\left(\frac{\sqrt{6}}{10}+\frac{2}{5}\right)\end{array}$$

Обратите внимание на то, что solx и soly два набора решений x и к y. Полные наборы решений системы уравнений являются этими двумя наборами точек, сформированными всеми возможными комбинациями значений в solx и soly.

Постройте эти два набора точек с помощью scatter. Наложите их на графике уравнений. Как ожидалось решения появляются на пересечении графиков этих двух уравнений.

for i = 1:length(solx(1,:))
    for j = 1:length(soly(1,:))
        scatter(solx(1,i), soly(1,j), 'k')
        scatter(solx(2,i), soly(2,j), 'k')
    end
end

Преобразуйте символьные результаты в числовые значения

Символьные вычисления обеспечивают точную точность, в то время как числовые вычисления являются приближениями. Несмотря на эту потерю точности, вы можете должны быть преобразовать символьные результаты в числовые приближения для использования в числовых вычислениях. Для высокоточного преобразования используйте арифметику переменной точности, обеспеченную vpa функция. Для стандартной точности и лучшей эффективности, преобразуйте в двойную точность с помощью double.

Используйте vpa преобразовывать символьные решения solx и soly к числовой форме.

vpa(solx)

ans = 
$$\left(\begin{array}{cccc}2.9859135500977407388300518406219& -3.2972717570818457380952349259371& 0.15567910349205249963259154265761& -6.1275062036875339772926952239014\\ 0.70095651347102524787213653614929& 2.4406361401187679905905068471302& -5.5822287937085612290531502304097& -3.8425491670608184863347799194288\end{array}\right)$$

vpa(soly)

ans = 
$$\left(\begin{array}{cccc}0.86983981332387137135918515549046& -5.4133454938557151055661016110685& -0.86983981332387137135918515549046& 5.4133454938557151055661016110685\\ 1.4151172233028441195987301489821& -4.8680680838767423573265566175769& -1.4151172233028441195987301489821& 4.8680680838767423573265566175769\end{array}\right)$$

Упростите сложные результаты и улучшайте производительность

Если результаты выглядят сложными, solve застревает, или если вы хотите улучшать производительность, смотрите, Решения для уравнения Поиска и устранения неисправностей от решают Функцию.