Решите систему дифференциальных уравнений

Скрипт Open Live Script

Решите систему нескольких обыкновенных дифференциальных уравнений в нескольких переменных при помощи dsolve функция, с или без начальных условий. Чтобы решить одно дифференциальное уравнение, смотрите, Решают Дифференциальное уравнение.

Решите систему дифференциальных уравнений

Решите эту систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка.

$\begin{array}{l} \frac{du}{dt} = 3 u + 4 v, \\ \frac{dv}{dt} = - 4 u + 3 v . \end{array}$

Во-первых, представлять $u$ и $v$ при помощи syms создать символьные функции u(t) и v(t).

syms u(t) v(t)

Определите уравнения с помощью == и представляйте дифференцирование с помощью diff функция.

ode1 = diff(u) == 3*u + 4*v;
ode2 = diff(v) == -4*u + 3*v;
odes = [ode1; ode2]

odes(t) = 
 $(\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial t} u (t) = 3 u (t) + 4 v (t) \\ \frac{\partial}{\partial t} v (t) = 3 v (t) - 4 u (t) \end{array})$

Решите систему с помощью dsolve функция, которая возвращает решения как элементы структуры.

S = dsolve(odes)

S = struct with fields:
    v: C1*cos(4*t)*exp(3*t) - C2*sin(4*t)*exp(3*t)
    u: C2*cos(4*t)*exp(3*t) + C1*sin(4*t)*exp(3*t)

Если dsolve не может решить ваше уравнение, затем попытаться решить уравнение численно. Смотрите Решают Дифференциальное уравнение Второго порядка Численно.

Получить доступ к u(t) и v(t), индексируйте в структуру S.

uSol(t) = S.u

uSol(t) =  $C_{2} \cos (4 t) e^{3 t} + C_{1} \sin (4 t) e^{3 t}$

vSol(t) = S.v

vSol(t) =  $C_{1} \cos (4 t) e^{3 t} - C_{2} \sin (4 t) e^{3 t}$

В качестве альтернативы сохраните u(t) и v(t) непосредственно путем обеспечения нескольких выходных аргументов.

[uSol(t),vSol(t)] = dsolve(odes)

uSol(t) =  $C_{2} \cos (4 t) e^{3 t} + C_{1} \sin (4 t) e^{3 t}$

vSol(t) =  $C_{1} \cos (4 t) e^{3 t} - C_{2} \sin (4 t) e^{3 t}$

Константы C1 и C2 появитесь, потому что никакие условия не заданы. Решите систему с начальными условиями u(0) == 0 и v(0) == 0. dsolve функция находит значения для констант, которые удовлетворяют этим условиям.

cond1 = u(0) == 0;
cond2 = v(0) == 1;
conds = [cond1; cond2];
[uSol(t),vSol(t)] = dsolve(odes,conds)

uSol(t) =  $\sin (4 t) e^{3 t}$

vSol(t) =  $\cos (4 t) e^{3 t}$

Визуализируйте решение с помощью fplot.

fplot(uSol)
hold on
fplot(vSol)
grid on
legend('uSol','vSol','Location','best')

Figure contains an axes object. The axes object contains 2 objects of type functionline. These objects represent uSol, vSol.

Решите дифференциальные уравнения в матричной форме

Решите дифференциальные уравнения в матричной форме при помощи dsolve.

Рассмотрите эту систему дифференциальных уравнений.

$\begin{array}{l} \frac{dx}{dt} = x + 2 y + 1, \\ \frac{dy}{dt} = - x + y + t . \end{array}$

Матричная форма системы

$[\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 1 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] + [\begin{array}{c} 1 \\ t \end{array}] .$

Пусть

$Y = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}], A = [\begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 1 & 1 \end{array}], B = [\begin{array}{c} 1 \\ t \end{array}] .$

Система теперь $Y^{'} = A Y + B .$ .

Задайте эти матрицы и матричное уравнение.

syms x(t) y(t)
A = [1 2; -1 1];
B = [1; t];
Y = [x; y];
odes = diff(Y) == A*Y + B

odes(t) = 
 $(\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial t} x (t) = x (t) + 2 y (t) + 1 \\ \frac{\partial}{\partial t} y (t) = t - x (t) + y (t) \end{array})$

Решите матричное уравнение с помощью dsolve. Упростите решение при помощи simplify функция.

[xSol(t),ySol(t)] = dsolve(odes);
xSol(t) = simplify(xSol(t))

xSol(t) = 
 $\frac{2 t}{3} + \sqrt{2} C_{2} e^{t} \cos (\sqrt{2} t) + \sqrt{2} C_{1} e^{t} \sin (\sqrt{2} t) + \frac{1}{9}$

ySol(t) = simplify(ySol(t))

ySol(t) = 
 $C_{1} e^{t} \cos (\sqrt{2} t) - \frac{t}{3} - C_{2} e^{t} \sin (\sqrt{2} t) - \frac{2}{9}$

Константы C1 и C2 появитесь, потому что никакие условия не заданы.

Решите систему с начальными условиями $u (0) = 2$ и $v (0) = - 1$ . При определении уравнений в матричной форме необходимо задать начальные условия в матричной форме также. dsolve находит значения для констант, которые удовлетворяют этим условиям.

C = Y(0) == [2;-1];
[xSol(t),ySol(t)] = dsolve(odes,C)

xSol(t) = 
 $\begin{array}{l} \sqrt{2} e^{t} σ_{2} (\frac{17 \sqrt{2}}{18} + \frac{e^{- t} (4 σ_{1} + \sqrt{2} σ_{2} + 6 t σ_{1} + 6 \sqrt{2} t σ_{2})}{18}) - \sqrt{2} e^{t} σ_{1} (\frac{e^{- t} (4 σ_{2} - \sqrt{2} σ_{1} + 6 t σ_{2} - 6 \sqrt{2} t σ_{1})}{18} + \frac{7}{9}) \\ where \\ σ_{1} = \sin (\sqrt{2} t) \\ σ_{2} = \cos (\sqrt{2} t) \end{array}$

ySol(t) = 
 $\begin{array}{l} - e^{t} σ_{1} (\frac{17 \sqrt{2}}{18} + \frac{e^{- t} (4 σ_{1} + \sqrt{2} σ_{2} + 6 t σ_{1} + 6 \sqrt{2} t σ_{2})}{18}) - e^{t} σ_{2} (\frac{e^{- t} (4 σ_{2} - \sqrt{2} σ_{1} + 6 t σ_{2} - 6 \sqrt{2} t σ_{1})}{18} + \frac{7}{9}) \\ where \\ σ_{1} = \sin (\sqrt{2} t) \\ σ_{2} = \cos (\sqrt{2} t) \end{array}$

Визуализируйте решение с помощью fplot.

clf
fplot(ySol)
hold on
fplot(xSol)
grid on
legend('ySol','xSol','Location','best')

Figure contains an axes object. The axes object contains 2 objects of type functionline. These objects represent ySol, xSol.

Смотрите также

Решите дифференциальное уравнение

Документация

Решите систему дифференциальных уравнений