Документация

Постоянная задержка DDEs

Система дифференциальных уравнений (DDEs) с постоянными задержками имеет следующую форму:

Здесь, t является независимой переменной, y является вектором - столбцом зависимых переменных, и y ′ представляет первую производную y относительно t. Задержки, τ1, …, τk, являются положительными константами.

Функция dde23 решает DDEs формы, данной Уравнением 1 с историей y (t) = S (t) для t <t0.

Решения DDEs обычно непрерывны, но у них есть разрывы в их производных. Функция dde23 отслеживает разрывы в производных младшего разряда. Это интегрирует дифференциальные уравнения с то же явное Рунге-Кутта (2,3) пара и interpolant, используемый ode23. Формулы Рунге-Кутта неявны для размеров шага, больше, чем задержки. Когда y (t) достаточно сглажен, чтобы выровнять по ширине шаги это большое, неявные формулы оценены итерацией корректора предиктора.

Зависящий от времени и DDEs состояния зависимый

Уравнение 1 является особым случаем

это включает задержки, dy1..., dyk, который может зависеть и от времени, t, и от состояния, y. Задержки, dyj (t, y), должен удовлетворить dyj (t, y) ≤ t на интервале [t0, tf] с t0 <tf.

Функция ddesd находит решение, y (t), для DDEs формы данным Уравнением 2 с историей y (t) = S (t) для t <t0. Функция ddesd интегрируется с четырехэтапной классикой, четвертый порядок явный Метод Рунге-Кутта, и это управляет размером невязки естественного interpolant. Это использует итерацию, чтобы предпринять шаги, которые более длинны, чем задержки.

DDEs нейтрального типа

Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом нейтрального типа включают задержки y ′, а также y:

Задержки решения должны удовлетворить dyi (t, y) ≤ t. Задержки первой производной должны удовлетворить dypj (t, y) <t так, чтобы y ′ не появлялся с обеих сторон уравнения.

Функция ddensd решает DDEs нейтрального типа путем приближения их с DDEs формы, данной Уравнением 2. Для получения дополнительной информации смотрите Шемпина [1].

Оценка решения в отдельных моментах

Используйте функцию deval и вывод от любого из решателей DDE, чтобы оценить решение в отдельных моментах в интервале интегрирования. Например, y = deval(sol, 0.5*(sol.x(1) + sol.x(end))) оценивает решение в средней точке интервала интегрирования.

История и начальные значения

Когда вы решаете DDE, вы аппроксимируете решение через определенный интервал [t0, _tf] с t0 <_tf. DDEs показывают, как y ′ (t) зависит от значений решения (и возможно его производная) время от времени до t. Например, Уравнение 1 показывает, что y ′ (t0) зависит от y (t0 – τ1), …, y (t0 – τk) для положительных констант τj. Из-за этого решение на [t0, tk] зависит от значений, которые оно имеет в t ≤ t0. Необходимо задать эти значения с функцией истории, y (t) = S (t) для t <t0.

Распространение разрывов

Обычно первая производная решения имеет скачок в начальной точке. Это вызвано тем, что первая производная функции истории, S (t), обычно не удовлетворяет DDE в этой точке. Разрыв в любой производной y (t) распространяет в будущее при интервалах τ1, …, τk, когда задержки являются постоянными, как в Уравнении 1. Если задержки не являются постоянными, распространение разрывов более сложно. Для нейтрального DDEs формы, данной Уравнением 1 или Уравнением 2, разрыв появляется в следующей производной высшего порядка каждый раз, когда это распространено. В этом смысле решение становится более сглаженным, в то время как интегрирование продолжает. Решения нейтрального DDEs формы, данной Уравнением 3, качественно отличаются. Разрыв в решении не распространяет к производной высшего порядка. В частности, типичный скачок в y ′ (t) в t0 распространяет как скачки в y ′ (t) повсюду [t0, tf].