Диагональ, масштабирующаяся, чтобы улучшить точность собственного значения
[T, B] = баланс (A)
[S, P, B] = баланс (A)
B = балансируйтесь (A)
B = баланс (A, 'noperm')
[T,B] = balance(A) возвращает преобразование подобия T, таким образом, что B = T\A*T и B имеют, почти, приблизительно равные нормы строки и столбца. T является перестановкой диагональной матрицы, элементы которой являются целочисленными степенями двойки, чтобы предотвратить введение ошибки округления. Если A симметричен, то B == A и T являются единичной матрицей.
[S,P,B] = balance(A) возвращает масштабирующийся векторный S и вектор перестановки P отдельно. Преобразование T и сбалансированный матричный B получено из A, S и P T(:,P) = diag(S) и B(P,P) = diag(1./S)*A*diag(S).
B = balance(A) возвращает просто сбалансированный матричный B.
B = balance(A,'noperm') масштабирует A, не переставляя его строки и столбцы.
Этот пример показывает основную идею. Матричный A имеет большие элементы в верхних правых и маленьких элементах в нижнем левом углу. Это далеко от того, чтобы быть симметричным.
A = [1 100 10000; .01 1 100; .0001 .01 1]
A =
1.0e+04 *
0.0001 0.0100 1.0000
0.0000 0.0001 0.0100
0.0000 0.0000 0.0001Балансировка производит диагональный матричный T с элементами, которые являются степенями двойки и сбалансированным матричным B, который ближе к симметричному, чем A.
[T,B] = balance(A)
T =
1.0e+03 *
2.0480 0 0
0 0.0320 0
0 0 0.0003
B =
1.0000 1.5625 1.2207
0.6400 1.0000 0.7813
0.8192 1.2800 1.0000Чтобы видеть эффект на собственные вектора, сначала вычислите собственные вектора A, показанного здесь как столбцы V.
[V,E] = eig(A); V V = 0.9999 -0.9999 -0.9999 0.0100 0.0059 + 0.0085i 0.0059 - 0.0085i 0.0001 0.0000 - 0.0001i 0.0000 + 0.0001i
Обратите внимание на то, что все три вектора имеют первый компонент самое большое. Это указывает, что V плохо обусловливается; на самом деле cond(V) является 8.7766e+003. Затем, посмотрите на собственные вектора B.
[V,E] = eig(B); V V = 0.6933 -0.6993 -0.6993 0.4437 0.2619 + 0.3825i 0.2619 - 0.3825i 0.5679 0.2376 - 0.4896i 0.2376 + 0.4896i
Теперь собственные вектора хорошего поведения, и cond(V) является 1.4421. Плохое создание условий сконцентрировано в масштабирующейся матрице; cond(T) является 8192.
Этот пример является небольшим и не действительно плохо масштабируемый, таким образом, вычисленные собственные значения A и B соглашаются в ошибке округления; балансировка имеет мало эффекта на вычисленные результаты.
Балансировка может уничтожить свойства определенных матриц; используйте его с некоторой осторожностью. Если матрица содержит маленькие элементы, которые происходят из-за ошибки округления, балансировка может увеличить их, чтобы сделать их столь же значительными как другие элементы исходной матрицы.
Несимметричные матрицы могли плохо обусловить собственные значения. Небольшие возмущения в матрице, такие как ошибки округления, могут привести к большим возмущениям в собственных значениях. Количество условия матрицы собственного вектора,
cond(V) = norm(V)*norm(inv(V))
где
[V,T] = eig(A)
связывает размер матричного возмущения к размеру возмущения собственного значения. Обратите внимание на то, что количество условия самого A не важно задаче о собственных значениях.
Балансировка является попыткой сконцентрировать любое плохое создание условий матрицы собственного вектора в диагональное масштабирование. Балансировка обычно не может превращать несимметричную матрицу в симметрическую матрицу; это только пытается сделать норму каждой строки равной норме соответствующего столбца.
Функция собственного значения MATLAB®, eig(A), автоматически балансирует A прежде, чем вычислить его собственные значения. Выключите балансировку с eig(A,'nobalance').