Этот пример иллюстрирует, как Financial Instruments Toolbox™ используется, чтобы оценить европейские колл-опционы ванили с помощью различных моделей акции.
Пример сравнивает цены колл-опциона с помощью модели Кокса-Росса-Рубинштейна, модели Лайзена-Раймера и закрытой формулы Блэка-Шоулза.
Рассмотрите европейский колл-опцион с ценой исполнения 30$ 1 января 2010. Опция истекает 1 сентября 2010. Примите, что базовый запас не обеспечивает дивидендов. Запас стоит на уровне 25$ и имеет энергозависимость 35% в год. Пересчитываемый на год постоянно составляемый безрисковый уровень составляет 1,11% в год.
% Option Settle = 'Jan-01-2010'; Maturity = 'Sep-01-2010'; Strike = 30; OptSpec = 'call'; % Stock AssetPrice = 25; Sigma = .35;
StartDates = '01 Jan 2010'; EndDates = '01 Jan 2013'; Rates = 0.0111; ValuationDate = '01 Jan 2010'; Compounding = -1; RateSpec = intenvset('Compounding',Compounding,'StartDates', StartDates,... 'EndDates', EndDates, 'Rates', Rates,'ValuationDate', ValuationDate);
Предположим, что мы хотим создать два сценария. Первый принимает, что AssetPrice составляет в настоящее время 25$, опция вне денег (OTM). Второй сценарий принимает, что опция является на уровне денег (ATM), и поэтому AssetPriceATM = 30.
AssetPriceATM = 30; StockSpec = stockspec(Sigma, AssetPrice); StockSpecATM = stockspec(Sigma, AssetPriceATM);
Используйте функциональный optstockbybls в Financial Instruments Toolbox, чтобы вычислить цену европейских колл-опционов.
% Price the option with AssetPrice = 25 PriceBLS = optstockbybls(RateSpec, StockSpec, Settle, Maturity, OptSpec, Strike); % Price the option with AssetPrice = 30 PriceBLSATM = optstockbybls(RateSpec, StockSpecATM, Settle, Maturity, OptSpec, Strike);
% Create the time specification of the tree NumPeriods = 15; CRRTimeSpec = crrtimespec(ValuationDate, Maturity, NumPeriods); % Build the tree CRRTree = crrtree(StockSpec, RateSpec, CRRTimeSpec); CRRTreeATM = crrtree(StockSpecATM, RateSpec, CRRTimeSpec);
% Create the time specification of the tree LRTimeSpec = lrtimespec(ValuationDate, Maturity, NumPeriods); % Use the default method 'PP1' (Peizer-Pratt method 1 inversion)to build % the tree LRTree = lrtree(StockSpec, RateSpec, LRTimeSpec, Strike); LRTreeATM = lrtree(StockSpecATM, RateSpec, LRTimeSpec, Strike);
PriceCRR = optstockbycrr(CRRTree, OptSpec, Strike, Settle, Maturity); PriceCRRATM = optstockbycrr(CRRTreeATM, OptSpec, Strike, Settle, Maturity);
PriceLR = optstockbylr(LRTree, OptSpec, Strike, Settle, Maturity); PriceLRATM = optstockbylr(LRTreeATM, OptSpec, Strike, Settle, Maturity);
sprintf('PriceBLS: \t%f\nPriceCRR: \t%f\nPriceLR:\t%f\n', PriceBLS, ... PriceCRR, PriceLR)
ans =
'PriceBLS: 1.275075
PriceCRR: 1.294979
PriceLR: 1.275838
'
sprintf('\t== ATM ==\nPriceBLS ATM: \t%f\nPriceCRR ATM: \t%f\nPriceLR ATM:\t%f\n', PriceBLSATM, ... PriceCRRATM, PriceLRATM)
ans =
' == ATM ==
PriceBLS ATM: 3.497891
PriceCRR ATM: 3.553938
PriceLR ATM: 3.498571
'
Следующие таблицы сравнивают цены колл-опциона с помощью моделей CRR и LR против результатов, полученных с формулой Блэка-Шоулза.
В то время как биномиальная модель CRR и модель Black-Scholes сходятся, когда количество временных шагов становится большим, и длина каждого шага становится маленькой, эта сходимость, за исключением по денежным опциям, совсем не сглаженна или универсальна.
Приведенные ниже таблицы показывают, что модель Лайзена-Раймера уменьшает размер ошибки с как раз когда немного шагов 45.
Strike = 30, Asset Price = 30
-------------------------------------
#Steps LR CRR
15 3.4986 3.5539
25 3.4981 3.5314
45 3.4980 3.5165
65 3.4979 3.5108
85 3.4979 3.5077
105 3.4979 3.5058
201 3.4979 3.5020
501 3.4979 3.4996
999 3.4979 3.4987
Strike = 30, Asset Price = 25
-------------------------------------
#Steps LR CRR
15 1.2758 1.2950
25 1.2754 1.2627
45 1.2751 1.2851
65 1.2751 1.2692
85 1.2751 1.2812
105 1.2751 1.2766
201 1.2751 1.2723
501 1.2751 1.2759
999 1.2751 1.2756
Следующие графики показывают, как сходимость изменяется, когда количество шагов в биномиальном вычислении увеличивается, а также, влияние на сходимость к изменениям в курсе акций. Заметьте, что модель Лайзена-Раймера удаляет колебание и производит оценки близко к модели Black-Scholes только с помощью небольшого количества шагов.
NPoints = 300; % Cox-Ross-Rubinstein NumPeriodCRR = 5 : 1 : NPoints; NbStepCRR = length(NumPeriodCRR); PriceCRR = nan(NbStepCRR, 1); PriceCRRATM = PriceCRR; for i = 1 : NbStepCRR CRRTimeSpec = crrtimespec(ValuationDate, Maturity, NumPeriodCRR(i)); CRRT = crrtree(StockSpec, RateSpec, CRRTimeSpec); PriceCRR(i) = optstockbycrr(CRRT, OptSpec, Strike,ValuationDate, Maturity) ; CRRTATM = crrtree(StockSpecATM, RateSpec, CRRTimeSpec); PriceCRRATM(i) = optstockbycrr(CRRTATM, OptSpec, Strike,ValuationDate, Maturity) ; end % Now with Leisen-Reimer NumPeriodLR = 5 : 2 : NPoints; NbStepLR = length(NumPeriodLR); PriceLR = nan(NbStepLR, 1); PriceLRATM = PriceLR; for i = 1 : NbStepLR LRTimeSpec = lrtimespec(ValuationDate, Maturity, NumPeriodLR(i)); LRT = lrtree(StockSpec, RateSpec, LRTimeSpec, Strike); PriceLR(i) = optstockbylr(LRT, OptSpec, Strike,ValuationDate, Maturity) ; LRTATM = lrtree(StockSpecATM, RateSpec, LRTimeSpec, Strike); PriceLRATM(i) = optstockbylr(LRTATM, OptSpec, Strike,ValuationDate, Maturity) ; end
Первый сценарий: Из Денежного колл-опциона
% For Cox-Ross-Rubinstein plot(NumPeriodCRR, PriceCRR); hold on; plot(NumPeriodCRR, PriceBLS*ones(NbStepCRR,1),'Color',[0 0.9 0], 'linewidth', 1.5); % For Leisen-Reimer plot(NumPeriodLR, PriceLR, 'Color',[0.9 0 0], 'linewidth', 1.5); % Concentrate in the area of interest by clipping on the Y axis at 5x the % LR Price: YLimDelta = 5*abs(PriceLR(1) - PriceBLS); ax = gca; ax.YLim = [PriceBLS-YLimDelta PriceBLS+YLimDelta]; % Annotate Plot titleString = sprintf('\nConvergence of CRR and LR models to a BLS Solution (OTM)\nStrike = %d, Asset Price = %d', Strike , AssetPrice); title(titleString) ylabel('Option Price') xlabel('Number of Steps') legend('CRR', 'BLS', 'LR', 'Location', 'NorthEast')
Второй сценарий: По Денежному колл-опциону
% For Cox-Ross-Rubinstein figure; plot(NumPeriodCRR, PriceCRRATM); hold on; plot(NumPeriodCRR, PriceBLSATM*ones(NbStepCRR,1),'Color',[0 0.9 0], 'linewidth', 1.5); % For Leisen-Reimer plot(NumPeriodLR, PriceLRATM, 'Color',[0.9 0 0], 'linewidth', 1.5); % Concentrate in the area of interest by clipping on the Y axis at 5x the % LR Price: YLimDelta = 5*abs(PriceLRATM(1) - PriceBLSATM); ax = gca; ax.YLim = [PriceBLSATM-YLimDelta PriceBLSATM+YLimDelta]; % Annotate Plot titleString = sprintf('\nConvergence of CRR and LR models to a BLS Solution (ATM)\nStrike = %d, Asset Price = %d', Strike , AssetPriceATM); title(titleString) ylabel('Option Price') xlabel('Number of Steps') legend('CRR', 'BLS', 'LR', 'Location', 'NorthEast')
