Документация

Обзор опций Swing

Опции Swing являются популярными финансовыми инструментами на энергетическом рынке, которые обеспечивают гибкость в объеме поставленного актива. Для энергетических потребителей, чтобы защитить себя от колебаний цен на энергоносители, они хотят привязать цену путем покупки форвардного контракта, названного baseload форвардным контрактом. Однако потребители не знают точно, сколько энергии будет использоваться в будущем, и энергетические предметы потребления, такие как электричество и газ не могут легко храниться. Поэтому потребитель хочет, чтобы гибкость изменила сумму энергии, которая поставляется в каждую дату поставки. Опции Swing обеспечивают эту гибкость. Таким образом полный контракт состоит из двух частей: baseload форвардный контракт и компонент опции колебания.

Опции Swing являются обычно внебиржевыми (OTC) контрактами, которые могут быть высоко настроены. Поэтому существует много различных типов ограничений и штрафов (см. [5] для получения дополнительной информации). В этом примере оценена опция колебания, где единственное ограничение является ежедневным объемом, который известен как Ежедневное количество контракта (DCQ). Когда право колебания реализовано, объем не может понизиться минимальный DCQ (minDCQ) или выйти за предел максимального DCQ (maxDCQ).

Существует несколько методов, чтобы оценить опции колебания, такие как конечные разности, симуляция и динамическое программирование на основе деревьев [5]. Этот пример использует основанный на симуляции подход с методом Лонгштафф-Шварца. Преимущество основанного на симуляции подхода - то, что движущие силы, используемые, чтобы моделировать цену базового актива, разделяются от алгоритма оценки. В конечной разности и основанных на дереве методах, алгоритм оценки должен быть изменен в порядке считать оценку с различной базовой ценой динамической.

Нейтральная к риску симуляция цены на природный газ

В этом примере природный газ используется в качестве базового актива со следующим средним возвращением, динамическим [8]:

где $$W_t$$ стандартное Броуновское движение. Применение Леммы ITO к логарифму цены приводит к процессу Orstein-Uhlenbeck:

где $$X_t=\mathrm{журнал}(S_t)$$, $$\kappa >0$$, и $$\theta$$ задан как:

$$\theta$$ уровень возвращения к среднему уровню, который определяет значение, в котором моделируемые значения вернутся к в конечном счете. $$\kappa$$ скорость возвращения к среднему уровню, которая определяет, как быстро это возвращение происходит. $$\sigma$$ энергозависимость $$X$$. Мы сначала продолжаем путем симуляции логарифма цены. Впоследствии, экспоненциал моделируемых значений взяты, чтобы получить цены.

Продолжительность симуляции в течение одного периода года с начальной ценой 3,9 долларов на млн БТЕ. Симуляция Монте-Карло проводится для 1 000 испытаний с ежедневными периодами. На практике эти параметры калибруются против данных о рынке. В этом примере, $$\kappa =1.2$$, $$\theta =1.7$$, и $$\sigma =\mathrm{}59\%$$. Объект HWV от Financial Toolbox™ используется, чтобы моделировать возвращающуюся среднее значение динамику цены на природный газ.

% Settlement date
Settle = '01-Jun-2014';

% Maturity Date
Maturity = '01-Jun-2015';

% Actual/Actual basis
Basis = 0;

% Initial log(price in $/MMBtu)
X0 = log(3.9);

% Volatility of log(price)
Sigma = 0.59;

% Number of trials in the Monte Carlo simulation
NumTrials =1000;

% Number of periods (daily)
NumPeriods = daysdif(Settle, Maturity, Basis);

% Daily time step
dt = 1/NumPeriods;

% Mean reversion speed of log(price)
Kappa = 1.2;

% Mean reversion level of log(price)
Theta = 1.7;

% Create HWV object
hwvobj = hwv(Kappa, Theta, Sigma, 'StartState', X0);

Симуляция запущена и построена ниже.

% Set random number generator seed
savedState = rng(0, 'twister');

% Simulate gas prices
[Paths, Times] = hwvobj.simBySolution(NumPeriods, 'NTRIALS', NumTrials, ...
    'DeltaTime', dt);
Paths = squeeze(exp(Paths));

% Restore random number generator state
rng(savedState);

% Plot paths
figure;
plot(Times, Paths);
title('Natural Gas Risk-Neutral Price Simulation');
xlabel('Time');
ylabel('Price');

В этом примере природный газ используется в качестве базового актива с динамическим средним возвращением. Однако алгоритм Лонгштафф-Шварца может использоваться для других базовых активов, таких как электричество, с любой базовой динамической ценой.

Оценка опции Swing

Мы рассматриваем возможность колебания с пятью правами колебания в забастовке $4.69/млн БТЕ, которые могут осуществляться ежедневно между на следующий день после расчетного дня и даты погашения. Количество Контракта The Daily (DCQ) составляет 10 000 млн БТЕ, который является средним количеством природного газа, который потребитель ожидает покупать в данный день. У потребителя есть гибкость, чтобы уменьшать объем покупки (спад) за один день к минимальному DCQ 2 500 млн БТЕ или увеличить покупку (подъем) до 15 000 млн БТЕ. Постоянно составляемый ежегодный безрисковый уровень составляет 1%.

RateSpec используется, чтобы представлять структуру термина процентной ставки. Ради простоты мы рассматриваем плоскую структуру термина процентной ставки в этом примере. Значения RateSpec могут быть изменены, чтобы разместить любую кривую процентной ставки. Функциональный hswingbyls в этом примере принимает ежедневное осуществление, если вход ExerciseDates пуст.

% Define RateSpec
rfrate = 0.01;
Compounding = -1;
RateSpec = intenvset('ValuationDate', Settle, 'StartDates', Settle, ...
                     'EndDates', Maturity, 'Rates', rfrate, ...
                     'Compounding', Compounding, 'Basis', Basis);

% Daily exercise
% hswingbyls assumes daily exercise for empty ExerciseDates
ExerciseDates = [];

% Number of swings
NumSwings = 5;

% Daily Contract Quantity in MMBtu
DCQ = 10000;

% Minimum DCQ constraint in MMBtu
minDCQ = 2500;

% Maximum DCQ constraint in MMBtu
maxDCQ = 15000;

% Strike
Strike = 4.69;

Метод Лонгштафф-Шварца является обратным алгоритмом итерации, который продвигается назад вовремя с даты погашения. В каждую дату осуществления алгоритм аппроксимирует значение продолжения, которое является значением опции, если это не осуществлено. Это сделано путем подбора кривой регрессии против значений моделируемых цен и обесцененного будущего значения опции в следующую дату осуществления. Будущее значение опции известно, когда алгоритм перемещается назад вовремя. Значение продолжения сравнивается с суммой выплаты от мгновенного осуществления (спад или подъем) и значение продолжения опции колебания с одним меньшим правом колебания. Если эта сумма меньше, оптимальная стратегия держателя опции не состоит в том, чтобы тренироваться в ту дату. Функциональный hswingbyls в этом примере использует этот метод, чтобы определить оптимальную стратегию осуществления и цену за опции колебания [1,2,7].

Как обсуждено ранее, единственным ограничением, рассмотренным в этом примере, является минимальный и максимальный DCQ. В этом случае оптимальная ранняя стратегия осуществления имеет тип "скорострельного оружия". Это означает, что, когда это оптимально к подъему или спаду в определенную дату осуществления, держатель опции должен всегда тренироваться в максимальном или минимальном DCQ, чтобы максимизировать прибыль. Осуществление "скорострельного оружия" не было бы оптимальной стратегией если, например, существует терминальный штраф на основе объема. Алгоритм оценки должен был бы затем дополнительно отслеживать все возможные уровни громкости, который значительно добавляет к стоимости производительности во время выполнения.

Во-первых, опция колебания оценена с помощью 3-го полинома порядка, чтобы соответствовать регрессии метода Лонгштафф-Шварца. Функциональный hswingbyls также генерирует график регрессии между базовой ценой и значением продолжения в дату осуществления перед зрелостью.

% Price swing option using 3rd order polynomial to fit Longstaff-Schwartz
% regression
tic;
useSpline = false;
SwingPrice = hswingbyls(Paths, Times, RateSpec, Settle, Maturity, ...
    Strike, ExerciseDates, NumSwings, DCQ, minDCQ, maxDCQ, useSpline, ...
    [], true)

SwingPrice = 5.6943e+04

lsPolyTime = toc;

Вышеупомянутый график подгонки регрессии показывает, что 3-й полином порядка не соответствует значению продолжения отлично, особенно около стержня и в экстремальных точках. Мы теперь используем функцию csaps, чтобы соответствовать регрессии с помощью кубического сплайна сглаживания с параметром сглаживания 0,7. Curve Fitting Toolbox™ требуется запустить остаток от примера.

% Price swing option using smoothed splines to fit Longstaff-Schwartz
% regression
tic;
useSpline = true;
smoothingParam = 0.7;
SwingPriceSpline = hswingbyls(Paths, Times, RateSpec, Settle, Maturity, ...
    Strike, ExerciseDates, NumSwings, DCQ, minDCQ, maxDCQ, useSpline, ...
    smoothingParam, true)

SwingPriceSpline = 6.0729e+04

lsSplineTime = toc;

График регрессии показывает, что кубический сплайн сглаживания имеет лучшую подгонку против данных, таким образом получая более точное значение для значений продолжения. Однако сравнение ниже показов, что использование кубического сплайна сглаживания занимает больше времени, чем 3-й полином порядка.

% Print comparison of running times
displayRunningTimes(lsPolyTime, lsSplineTime)

Comparison of running times:

3rd order polynomial: 2.82 sec
Spline              : 8.55 sec

Кроме того, важно отметить, что цена представляет только компонент возможностей. Следовательно, цена baseload форвардного контракта не включена в вышеупомянутую расчетную цену. Поскольку мы использовали фиксированную цену исполнения опциона, контракт baseload имеет ненулевое значение, которое может быть вычислено:

где $$t_i,i=1,...,N,$$ даты осуществления (см. [3] для получения дополнительной информации). Полная цена контракта, включая baseload и опцию колебания, вычисляется ниже использования цены опции колебания от сглаживавшего кубического сплайна.

% Obtain discount factors
RS2 = intenvset(RateSpec, 'StartTimes', 0, 'EndTimes', Times(2:end));
D = intenvget(RS2,'Disc');

% Calculate baseload price
BaseLoadPrice = DCQ.*mean(Paths(2:end,:)-Strike,2)'*D;

% Calculate full contract price, based on results from cubic spline LS
FullContractPrice = BaseLoadPrice + SwingPriceSpline

FullContractPrice = 1.2479e+05

Ценовые границы

Нижняя граница для опции колебания является полосой европейских опций, и верхняя граница является полосой американских опций [4]. По сравнению с европейскими опциями опции колебания имеют раннюю премию осуществления в каждую дату осуществления, таким образом цена должна быть выше. Цена ниже, чем американские полосы опции, потому что только одно право колебания может быть реализовано в каждую дату осуществления. Больше чем одна полоса может быть осуществлена в один день с помощью американских опций.

Цены на полосы нижних и верхних границ вычисляются ниже, чтобы проверять, что цены опции колебания в этих границах. Европейские цены полосы вычисляются против последних пяти дат осуществления.

% Obtain discount factor for the last NumSwings exercise dates
D = D(end-NumSwings+1:end);

% European lower bound
idx = size(Paths, 1):-1:(size(Paths, 1) - NumSwings + 1);
putEuro = D'*mean(max(Strike - Paths(idx,:), 0),2);
callEuro = D'*mean(max(Paths(idx,:) - Strike, 0),2);
lowerBound = ((DCQ-minDCQ).*putEuro+(maxDCQ-DCQ).*callEuro);

% American upper bound
[putAmer, callAmer] = hamericanPrice(Paths, Times, RateSpec, Strike);
upperBound = NumSwings.*((DCQ-minDCQ).*putAmer+(maxDCQ-DCQ).*callAmer);

% Print price and lower/upper bounds
displaySummary(SwingPriceSpline, lowerBound, upperBound);

Comparison to lower and upper bounds:

Lower bound (European) : 44412.14
Swing Option Price     : 60729.00
Upper bound (American) : 68181.42

Цены вычислили, использование алгоритма Лонгштафф-Шварца в нижних и верхних границах. График ниже показов сравнение между опцией колебания и верхними и нижними границами как количество увеличений колебания. Когда количеством колебания является 1, опция колебания эквивалентна американской опции. В случае ежедневной возможности осуществления (NumSwings = 365) опция колебания эквивалентна полосе европейских опций с ежедневной зрелостью.

Заключение

Пример показывает использование метода Лонгштафф-Шварца, чтобы оценить опцию колебания, где базовый актив следует за динамическим средним возвращением. 3-й полином порядка и сглаживавший кубический сплайн используются, чтобы приспособить регрессию в алгоритме Лонгштафф-Шварца, чтобы аппроксимировать значение продолжения. Было показано, что сглаживавший кубический сплайн соответствует данным лучше за счет более медленной производительности. Наконец, получившиеся цены опции колебания проверялись по нижней границе полосы европейских опций и верхней границы полосы американских опций.

Ссылки

[1] Boogert, A., Де Йонг, C., Газовая оценка устройства хранения данных с помощью Метода Монте-Карло. Журнал Производных, 15 (3):81-98, 2008.

[2] Dorr, Уве, Оценка Опций Swing и Оценка стратегий Осуществления Методами Монте-Карло, Оксфордом, 2002.

[3] Оболочка, Джон К., опции, фьючерсы, и другие производные, шестой выпуск, Pearson Education, Inc., 2006.

[4] Jaillet, P., Ronn, E. I. Tompaidis, S., Оценка основанных на товаре опций колебания, Науки управления, 50 (7):909-921, 2004.

[5] Loland, янтарь, Lindqvist, Ola, оценка основанных на товаре опций Swing: обзор, Норск, Regnesentral, 2008.

[6] Longstaff, Фрэнсис А., Шварц, Эдуардо С, оценивая американские опции симуляцией: простой подход наименьших квадратов, анализ финансовых исследований, 14 (1):113-147, 2001.

[7] Meinshausen, N., Hambly, B.M., Методы Монте-Карло для оценки нескольких опций осуществления, Математической Науки, 14:557-583, 2004.

[8] Шварц, Эдуардо С, стохастическое поведение товарных цен: последствия для оценки и хеджирования, журнала финансов, 52 (3):923-973, 1997.

Служебные функции

function displaySummary(SwingPriceSpline, lowerBound, upperBound)
fprintf('Comparison to lower and upper bounds:\n');
fprintf('\n')
fprintf('Lower bound (European) : %.2f\n', lowerBound);
fprintf('Swing Option Price     : %.2f\n', SwingPriceSpline);
fprintf('Upper bound (American) : %.2f\n\n', upperBound); 
end

function displayRunningTimes(lsPolyTime, lsSplineTime)
fprintf('Comparison of running times:\n');
fprintf('\n')
fprintf('3rd order polynomial: %.2f sec\n', lsPolyTime);
fprintf('Spline              : %.2f sec\n\n', lsSplineTime);
end