Этот пример показывает, как найти минимум стохастической целевой функции с помощью patternsearch. Это также показывает, как решатели Optimization Toolbox™ не подходят для этого типа проблемы. Пример использует простую 2-мерную целевую функцию, которая затем встревожена шумом.
X0 = [2.5 -2.5]; % Starting point. LB = [-5 -5]; % Lower bound UB = [5 5]; % Upper bound range = [LB(1) UB(1); LB(2) UB(2)]; Objfcn = @smoothFcn; % Handle to the objective function. % Plot the smooth objective function fig = figure('Color','w'); showSmoothFcn(Objfcn,range); hold on; title('Smooth objective function'); ph = []; ph(1) = plot3(X0(1),X0(2),Objfcn(X0)+30,'or','MarkerSize',10,'MarkerFaceColor','r'); hold off; ax = gca; ax.CameraPosition = [-31.0391 -85.2792 -281.4265]; ax.CameraTarget = [0 0 -50]; ax.CameraViewAngle = 6.7937; % Add legend information legendLabels = {'Start point'}; lh = legend(ph,legendLabels,'Location','SouthEast'); lp = lh.Position; lh.Position = [1-lp(3)-0.005 0.005 lp(3) lp(4)];
fmincon на сглаженной целевой функцииЦелевая функция сглаженна (дважды непрерывно дифференцируемый). Решите задачу оптимизации с помощью Optimization Toolbox решатель fmincon. fmincon находит ограниченный минимум функции нескольких переменных. Эта функция имеет уникальный минимум в точке x* = [-5,-5], где это имеет значение f(x*) = -250.
Установите опции возвращать итеративное отображение.
options = optimoptions(@fmincon,'Algorithm','interior-point','Display','iter'); [Xop,Fop] = fmincon(Objfcn,X0,[],[],[],[],LB,UB,[],options) figure(fig); hold on;
First-order Norm of
Iter F-count f(x) Feasibility optimality step
0 3 -1.062500e+01 0.000e+00 2.004e+01
1 6 -1.578420e+02 0.000e+00 5.478e+01 6.734e+00
2 9 -2.491310e+02 0.000e+00 6.672e+01 1.236e+00
3 12 -2.497554e+02 0.000e+00 2.397e-01 6.310e-03
4 15 -2.499986e+02 0.000e+00 5.065e-02 8.016e-03
5 18 -2.499996e+02 0.000e+00 9.708e-05 3.367e-05
6 21 -2.500000e+02 0.000e+00 1.513e-04 6.867e-06
7 24 -2.500000e+02 0.000e+00 1.161e-06 6.920e-08
Local minimum found that satisfies the constraints.
Optimization completed because the objective function is non-decreasing in
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.
Xop =
-5.0000 -5.0000
Fop =
-250.0000
Постройте конечный пункт
ph(2) = plot3(Xop(1),Xop(2),Fop,'dm','MarkerSize',10,'MarkerFaceColor','m'); % Add a legend to plot legendLabels = [legendLabels, '|fmincon| solution']; lh = legend(ph,legendLabels,'Location','SouthEast'); lp = lh.Position; lh.Position = [1-lp(3)-0.005 0.005 lp(3) lp(4)]; hold off;
Теперь встревожьте целевую функцию путем добавления случайного шума.
rng(0,'twister') % Reset the global random number generator peaknoise = 4.5; Objfcn = @(x) smoothFcn(x,peaknoise); % Handle to the objective function. % Plot the objective function (non-smooth) fig = figure('Color','w'); showSmoothFcn(Objfcn,range); title('Stochastic objective function') ax = gca; ax.CameraPosition = [-31.0391 -85.2792 -281.4265]; ax.CameraTarget = [0 0 -50]; ax.CameraViewAngle = 6.7937;
fmincon на стохастической целевой функцииВстревоженная целевая функция является стохастической и не сглаженной. fmincon является общим ограниченным решателем оптимизации, который находит локальное минимальное использование производными целевой функции. Если вы не обеспечиваете первые производные целевой функции, fmincon использует конечные разности, чтобы аппроксимировать производные. В этом примере целевая функция случайна, таким образом, конечная разность оценивает, что производные следовательно могут быть ненадежными. fmincon может потенциально остановиться в точке, которая не является минимумом. Это может произойти, потому что оптимальные условия, кажется, удовлетворены в конечном пункте из-за шума, или fmincon не мог сделать дальнейшие успехи.
[Xop,Fop] = fmincon(Objfcn,X0,[],[],[],[],LB,UB,[],options) figure(fig); hold on; ph = []; ph(1) = plot3(X0(1),X0(2),Objfcn(X0)+30,'or','MarkerSize',10,'MarkerFaceColor','r'); ph(2) = plot3(Xop(1),Xop(2),Fop,'dm','MarkerSize',10,'MarkerFaceColor','m'); % Add legend to plot legendLabels = {'Start point','|fmincon| solution'}; lh = legend(ph,legendLabels,'Location','SouthEast'); lp = lh.Position; lh.Position = [1-lp(3)-0.005 0.005 lp(3) lp(4)]; hold off;
First-order Norm of
Iter F-count f(x) Feasibility optimality step
0 3 -1.925772e+01 0.000e+00 2.126e+08
1 6 -7.107849e+01 0.000e+00 2.623e+08 8.873e+00
2 11 -8.055890e+01 0.000e+00 2.401e+08 6.715e-01
3 20 -8.325315e+01 0.000e+00 7.348e+07 3.047e-01
4 48 -8.366302e+01 0.000e+00 1.762e+08 1.593e-07
5 64 -8.591081e+01 0.000e+00 1.569e+08 3.111e-10
Local minimum possible. Constraints satisfied.
fmincon stopped because the size of the current step is less than
the value of the step size tolerance and constraints are
satisfied to within the value of the constraint tolerance.
Xop =
-4.9628 2.6673
Fop =
-85.9108
patternsearchТеперь минимизируйте стохастическую целевую функцию с помощью решателя patternsearch Global Optimization Toolbox. Методы оптимизации поиска шаблона являются классом прямых методов поиска для оптимизации. Алгоритм поиска шаблона не использует производные целевой функции, чтобы найти оптимальную точку.
PSoptions = optimoptions(@patternsearch,'Display','iter'); [Xps,Fps] = patternsearch(Objfcn,X0,[],[],[],[],LB,UB,PSoptions) figure(fig); hold on; ph(3) = plot3(Xps(1),Xps(2),Fps,'dc','MarkerSize',10,'MarkerFaceColor','c'); % Add legend to plot legendLabels = [legendLabels, 'Pattern Search solution']; lh = legend(ph,legendLabels,'Location','SouthEast'); lp = lh.Position; lh.Position = [1-lp(3)-0.005 0.005 lp(3) lp(4)]; hold off
Iter Func-count f(x) MeshSize Method
0 1 -7.20766 1
1 3 -34.7227 2 Successful Poll
2 3 -34.7227 1 Refine Mesh
3 5 -34.7227 0.5 Refine Mesh
4 8 -96.0847 1 Successful Poll
5 10 -96.0847 0.5 Refine Mesh
6 13 -132.888 1 Successful Poll
7 15 -132.888 0.5 Refine Mesh
8 17 -132.888 0.25 Refine Mesh
9 20 -197.689 0.5 Successful Poll
10 22 -197.689 0.25 Refine Mesh
11 24 -197.689 0.125 Refine Mesh
12 27 -241.344 0.25 Successful Poll
13 30 -241.344 0.125 Refine Mesh
14 33 -241.344 0.0625 Refine Mesh
15 36 -241.344 0.03125 Refine Mesh
16 39 -241.344 0.01562 Refine Mesh
17 42 -242.761 0.03125 Successful Poll
18 45 -242.761 0.01562 Refine Mesh
19 48 -242.761 0.007812 Refine Mesh
20 51 -242.761 0.003906 Refine Mesh
21 55 -242.761 0.001953 Refine Mesh
22 59 -242.761 0.0009766 Refine Mesh
23 63 -242.761 0.0004883 Refine Mesh
24 67 -242.761 0.0002441 Refine Mesh
25 71 -242.761 0.0001221 Refine Mesh
26 75 -242.761 6.104e-05 Refine Mesh
27 79 -242.761 3.052e-05 Refine Mesh
28 83 -242.761 1.526e-05 Refine Mesh
29 87 -242.761 7.629e-06 Refine Mesh
30 91 -242.761 3.815e-06 Refine Mesh
Iter Func-count f(x) MeshSize Method
31 95 -242.761 1.907e-06 Refine Mesh
32 99 -242.761 9.537e-07 Refine Mesh
Optimization terminated: mesh size less than options.MeshTolerance.
Xps =
-4.9844 -4.5000
Fps =
-242.7611
Поиск шаблона как строго не затронут случайным шумом в целевой функции. Поиск шаблона требует только значений функции а не производных, следовательно шум (некоторого универсального вида) не может влиять на него. Однако поиск шаблона требует, чтобы больше функциональной оценки нашло истинный минимум, чем основанные на производной алгоритмы, стоимость для того, чтобы не использовать производные.