Этот пример показывает 3 из этих 19 способов вычислить экспоненциал матрицы.
Для фона на вычислении матричных экспоненциалов см.:
Moler, C. и К. ван Лоун. "Девятнадцать сомнительных способов вычислить экспоненциал матрицы, двадцать пять лет спустя". Анализ SIAM. Издание 45, Номер 1, 2003, стр 3-49.
Другой рекомендуемый ресурс является веб-сайтом Шлюза Псевдоспектров.
Запустите путем создания матричного A
.
A = [0 1 2; 0.5 0 1; 2 1 0]
A = 3×3
0 1.0000 2.0000
0.5000 0 1.0000
2.0000 1.0000 0
Asave = A;
expmdemo1
является реализацией алгоритма 11.3.1 в книге:
Golub, Джин Х. и Чарльз Ван Лоун. Матричные Вычисления, 3-й выпуск. Балтимор, MD: Johns Hopkins University Press, 1996.
% Scale A by power of 2 so that its norm is < 1/2 . [f,e] = log2(norm(A,'inf')); s = max(0,e+1); A = A/2^s; % Pade approximation for exp(A) X = A; c = 1/2; E = eye(size(A)) + c*A; D = eye(size(A)) - c*A; q = 6; p = 1; for k = 2:q c = c * (q-k+1) / (k*(2*q-k+1)); X = A*X; cX = c*X; E = E + cX; if p D = D + cX; else D = D - cX; end p = ~p; end E = D\E; % Undo scaling by repeated squaring for k = 1:s E = E*E; end E1 = E
E1 = 3×3
5.3091 4.0012 5.5778
2.8088 2.8845 3.1930
5.1737 4.0012 5.7132
expmdemo2
использует классическое определение для матричного экспоненциала, данного степенным рядом
единичная матрица с теми же размерностями как . Как практический численный метод, этот подход является медленным и неточным, если norm(A)
является слишком большим.
A = Asave; % Taylor series for exp(A) E = zeros(size(A)); F = eye(size(A)); k = 1; while norm(E+F-E,1) > 0 E = E + F; F = A*F/k; k = k+1; end E2 = E
E2 = 3×3
5.3091 4.0012 5.5778
2.8088 2.8845 3.1930
5.1737 4.0012 5.7132
expmdemo3
принимает, что матрица имеет полный набор собственных векторов таким образом, что . Матричный экспоненциал может быть вычислен возведением в степень диагональная матрица собственных значений:
Как практический численный метод, точность определяется условием матрицы собственного вектора.
A = Asave; [V,D] = eig(A); E = V * diag(exp(diag(D))) / V; E3 = E
E3 = 3×3
5.3091 4.0012 5.5778
2.8088 2.8845 3.1930
5.1737 4.0012 5.7132
Для матрицы в этом примере все три метода работают одинаково хорошо.
E = expm(Asave); err1 = E - E1
err1 = 3×3
10-14 ×
0.3553 0.1776 0.0888
0.0888 0.1332 -0.0444
0 0 -0.2665
err2 = E - E2
err2 = 3×3
10-14 ×
0 0 -0.1776
-0.0444 0 -0.0888
0.1776 0 0.0888
err3 = E - E3
err3 = 3×3
10-13 ×
-0.0711 -0.0444 -0.0799
-0.0622 -0.0488 -0.0933
-0.0711 -0.0533 -0.1066
Для некоторых матриц условия в Ряду Тейлора становятся очень большими, прежде чем они перейдут к нулю. Следовательно, сбои expmdemo2
.
A = [-147 72; -192 93]; E1 = expmdemo1(A)
E1 = 2×2
-0.0996 0.0747
-0.1991 0.1494
E2 = expmdemo2(A)
E2 = 2×2
106 ×
-1.1985 -0.5908
-2.7438 -2.0442
E3 = expmdemo3(A)
E3 = 2×2
-0.0996 0.0747
-0.1991 0.1494
Вот матрица, которая не имеет полного набора собственных векторов. Следовательно, сбои expmdemo3
.
A = [-1 1; 0 -1]; E1 = expmdemo1(A)
E1 = 2×2
0.3679 0.3679
0 0.3679
E2 = expmdemo2(A)
E2 = 2×2
0.3679 0.3679
0 0.3679
E3 = expmdemo3(A)
E3 = 2×2
0.3679 0
0 0.3679