Линейные уравнения эластичности

Сводные данные уравнений линейной эластичности

Матрица жесткости линейного эластичного изотропного материала содержит два параметра:

E, модуль Молодежи (эластичный модуль)
ν, отношение Пуассона

Задайте следующие количества.

$\begin{array}{l} σ = напряжение \\ f = массовая сила \\ ε = деформация \\ u = смещение \end{array}$

Уравнение равновесия

$- \nabla \cdot σ = f$

Линеаризовавшее, отношение смещения деформации маленького смещения

$ε = \frac{}{12} (\nabla u + \nabla u^{T})$

Баланс углового момента утверждает, что напряжение симметрично:

$σ_{i j} = σ_{j i}$

Обозначение Войт для конститутивного уравнения линейной изотропной модели

$[\begin{matrix} σ_{11} \\ σ_{22} \\ σ_{33} \\ σ_{23} \\ σ_{13} \\ σ_{12} \end{matrix}] = \frac{E}{(1 + ν) (1 - 2 ν)} [\begin{matrix} 1 - ν & ν & ν & 000 \\ ν & 1 - ν & ν & 000 \\ ν & ν & 1 - ν \\ 000000 & 1 - 2 ν \\ 000000 & 1 - 2 ν \\ 000000 & 1 - 2 ν \end{matrix}] [\begin{matrix} ε_{11} \\ ε_{22} \\ ε_{33} \\ ε_{23} \\ ε_{13} \\ ε_{12} \end{matrix}]$

Расширенная форма использует все записи в σ, и ε принимает симметрию во внимание.

[\begin{matrix} σ_{11} \\ σ_{12} \\ σ_{13} \\ σ_{21} \\ σ_{22} \\ σ_{23} \\ σ_{31} \\ σ_{32} \\ σ_{33} \end{matrix}] = \frac{E}{(1 + ν) (1 - 2 ν)} [\begin{matrix} 1 - ν & 000 & ν & 000 & ν \\ • & 1 - 2 ν & 0000000 \\ • & • & 1 - 2 ν & 000000 \\ • & • & • & 1 - 2 ν & 00000 \\ • & • & • & • & 1 - ν & 000 & ν \\ • & • & • & • & • & 1 - 2 ν & 000 \\ • & • & • & • & • & • & 1 - 2 ν & 00 \\ • & • & • & • & • & • & • & 1 - 2 ν & 0 \\ • & • & • & • & • & • & • & • & 1 - ν \end{matrix}] [\begin{matrix} ε_{11} \\ ε_{12} \\ ε_{13} \\ ε_{21} \\ ε_{22} \\ ε_{23} \\ ε_{31} \\ ε_{32} \\ ε_{33} \end{matrix}]

(1)

В предыдущей схеме, • означает, что запись симметрична.

3D линейная проблема эластичности

Форма тулбокса для уравнения

$- \nabla \cdot (c \otimes \nabla u) = f$

Но уравнения в сводных данных не имеют ∇u один, это появляется вместе с транспонировать:

$ε = \frac{}{12} (\nabla u + \nabla u^{T})$

Это - прямое осуществление, чтобы преобразовать это уравнение для деформации ε к ∇u. В форме вектор-столбца,

$\nabla u = [\begin{matrix} \partial u_{x} / \partial x \\ \partial u_{x} / \partial y \\ \partial u_{x} / \partial z \\ \partial u_{y} / \partial x \\ \partial u_{y} / \partial y \\ \partial u_{y} / \partial z \\ \partial u_{z} / \partial x \\ \partial u_{z} / \partial y \\ \partial u_{z} / \partial z \end{matrix}]$

Поэтому можно записать уравнение смещения деформации как

$ε = [\begin{matrix} 1000000000 & \frac{}{12} & 0 & \frac{}{12} \\ 0000000 & \frac{}{12} & 000 & \frac{}{12} \\ 000 & \frac{}{12} & 0 & \frac{}{12} \\ 0000000001000000000 & \frac{}{12} & 0 & \frac{}{12} \\ 000 & \frac{}{12} & 000 & \frac{}{12} \\ 0000000 & \frac{}{12} & 0 & \frac{}{12} \\ 0000000001 \end{matrix}] \nabla u \equiv A \nabla u$

где A обозначает отображенную матрицу. Так переписывая уравнение 1 и вспоминая, что • означает, что запись симметрична, можно записать тензор жесткости как

$\begin{matrix} σ = \frac{E}{(1 + ν) (1 - 2 ν)} [\begin{matrix} 1 - ν & 000 & ν & 000 & ν \\ • & 1 - 2 ν & 0000000 \\ • & • & 1 - 2 ν & 000000 \\ • & • & • & 1 - 2 ν & 00000 \\ • & • & • & • & 1 - ν & 000 & ν \\ • & • & • & • & • & 1 - 2 ν & 000 \\ • & • & • & • & • & • & 1 - 2 ν & 00 \\ • & • & • & • & • & • & • & 1 - 2 ν & 0 \\ • & • & • & • & • & • & • & • & 1 - ν \end{matrix}] A \nabla u \\ = \frac{E}{(1 + ν) (1 - 2 ν)} [\begin{matrix} 1 - ν & 000 & ν & 000 & ν \\ 0 & 1 / 2 - ν & 0 & 1 / 2 - ν \\ 0000000 & 1 / 2 - ν & 000 & 1 / 2 - ν \\ 000 & 1 / 2 - ν & 0 & 1 / 2 - ν & 00000 \\ ν & 000 & 1 - ν & 000 & ν \\ 00000 & 1 / 2 - ν & 0 & 1 / 2 - ν \\ 000 & 1 / 2 - ν & 000 & 1 / 2 - ν \\ 0000000 & 1 / 2 - ν & 0 & 1 / 2 - ν & 0 \\ ν & 000 & ν & 000 & 1 - ν \end{matrix}] \nabla u \end{matrix}$

Сделайте определения

$\begin{array}{l} μ = \frac{E}{2 (1 + ν)} \\ λ = \frac{E ν}{(1 + ν) (1 - 2 ν)} \\ \frac{E (1 - ν)}{(1 + ν) (1 - 2 ν)} = 2 μ + λ \end{array}$

и уравнение становится

$σ = [\begin{matrix} 2 μ + λ & 000 & λ & 000 & λ \\ 0 & μ & 0 & μ \\ 0000000 & μ & 000 & μ \\ 000 & μ & 0 & μ & 00000 \\ λ & 000 & 2 μ + λ & 000 & λ \\ 00000 & μ & 0 & μ \\ 000 & μ & 000 & μ \\ 0000000 & μ & 0 & μ & 0 \\ λ & 000 & λ & 000 & 2 μ + λ \end{matrix}] \nabla u \equiv c \nabla u$

Если вы решаете 3-D линейную проблему эластичности при помощи PDEModel вместо StructuralModel, используйте функцию elasticityC3D(E,nu) (включенный в ваше программное обеспечение), чтобы получить коэффициент c. Эта функция использует линеаризовавшее, предположение маленького смещения для изотропного материала. Для примеров, которые используют эту функцию, смотрите Вибрацию Квадратной Пластины.

Плоское напряжение

Плоское напряжение является условием, которое преобладает в плоской пластине в x-y плоскость, загруженная только в ее собственной плоскости и без z - сдержанность направления. Для плоского напряжения, σ ₁₃ = σ ₂₃ = σ ₃₁ = σ ₃₂ = σ ₃₃ = 0. Принимая изотропные условия, закон Гука для плоского напряжения дает следующее отношение напряжения деформации:

$[\begin{matrix} ε_{11} \\ ε_{22} \\ 2 ε_{12} \end{matrix}] = \frac{1}{E} [\begin{matrix} 1 & - ν & 0 \\ - ν \\ 1000 & 2 + 2 ν \end{matrix}] [\begin{matrix} σ_{11} \\ σ_{22} \\ σ_{12} \end{matrix}]$

При инвертировании этого уравнения получите отношение деформации напряжения:

$(\begin{matrix} σ_{11} \\ σ_{22} \\ σ_{12} \end{matrix}) = \frac{E}{1 - ν^{2}} (\begin{matrix} 1 & ν & 0 \\ ν \\ 1000 & \frac{1 - ν}{2} \end{matrix}) (\begin{matrix} ε_{11} \\ ε_{22} \\ 2 ε_{12} \end{matrix})$

Преобразуйте уравнение для деформации ε к ∇u.

$ε = [\begin{matrix} 10000 & \frac{}{12} & \frac{}{12} \\ 00 & \frac{}{12} & \frac{}{12} \\ 00001 \end{matrix}] \nabla u \equiv A \nabla u$

Теперь можно переписать матрицу жесткости как

$[\begin{matrix} σ_{11} \\ σ_{12} \\ σ_{21} \\ σ_{22} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{E}{1 - ν^{2}} & 00 & \frac{E ν}{1 - ν^{2}} \\ 0 & \frac{E}{2 (1 + ν)} & \frac{E}{2 (1 + ν)} \\ 00 & \frac{E}{2 (1 + ν)} & \frac{E}{2 (1 + ν)} & 0 \\ \frac{E ν}{1 - ν^{2}} & 00 & \frac{E}{1 - ν^{2}} \end{matrix}] \nabla u = [\begin{matrix} \frac{2 μ (μ + λ)}{2 μ + λ} & 00 & \frac{2 λ μ}{2 μ + λ} \\ 0 & μ & μ \\ 00 & μ & μ & 0 \\ \frac{2 λ μ}{2 μ + λ} & 00 & \frac{2 μ (μ + λ)}{2 μ + λ} \end{matrix}] \nabla u$

Плоская деформация

Плоская деформация является состоянием деформации, где нет никаких смещений в z - направления и смещений в x - и y - направления являются функциями x и y, но не z. Отношение деформации напряжения незначительно отличается от плоского случая напряжения, и тот же набор материальных параметров используется.

Для плоской деформации, ε ₁₃ = ε ₂₃ = ε ₃₁ = ε ₃₂ = ε ₃₃ = 0. Принимая изотропные условия, отношение деформации напряжения может быть записано можно следующим образом:

$(\begin{matrix} σ_{11} \\ σ_{22} \\ σ_{12} \end{matrix}) = \frac{E}{(1 + ν) (1 - 2 ν)} (\begin{matrix} 1 - ν & ν & 0 \\ ν & 1 - ν \\ 000 & \frac{1 - 2 ν}{2} \end{matrix}) (\begin{matrix} ε_{11} \\ ε_{22} \\ 2 ε_{12} \end{matrix})$

Преобразуйте уравнение для деформации ε к ∇u.

$ε = [\begin{matrix} 10000 & \frac{}{12} & \frac{}{12} \\ 00 & \frac{}{12} & \frac{}{12} \\ 00001 \end{matrix}] \nabla u \equiv A \nabla u$

Теперь можно переписать матрицу жесткости как

$[\begin{matrix} σ_{11} \\ σ_{12} \\ σ_{21} \\ σ_{22} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{E (1 - ν)}{(1 + ν) (1 - 2 ν)} & 00 & \frac{E ν}{(1 + ν) (1 - 2 ν)} \\ 0 & \frac{E}{2 (1 + ν)} & \frac{E}{2 (1 + ν)} \\ 00 & \frac{E}{2 (1 + ν)} & \frac{E}{2 (1 + ν)} & 0 \\ \frac{E ν}{(1 + ν) (1 - 2 ν)} & 00 & \frac{E (1 - ν)}{(1 + ν) (1 - 2 ν)} \end{matrix}] \nabla u = [\begin{matrix} 2 μ + λ & 00 & λ \\ 0 & μ & μ \\ 00 & μ & μ & 0 \\ λ & 00 & 2 μ + λ \end{matrix}] \nabla u$

Документация