Уравнения можно решить Используя устаревшие функции

Примечание

ЭТОТ ПЭЙДЖ ОПИСЫВАЕТ УСТАРЕВШИЙ РАБОЧИЙ ПРОЦЕСС. Новые возможности не могут быть совместимы с устаревшим рабочим процессом. Для соответствующего шага в рекомендуемом рабочем процессе смотрите уравнения, которые Можно Решить Используя Тулбокс УЧП.

Этот тулбокс применяется к следующему типу УЧП:

$- \nabla \cdot (c \nabla u) + a u = f$

выраженный в Ω, который мы назовем elliptic equation, независимо от того, делают ли его коэффициенты и граничные условия проблему УЧП эллиптической в математическом смысле. Аналогично, мы используем термины parabolic equation и hyperbolic equation для уравнений с пространственными операторами как предыдущий и производные времени первого и второго порядка, соответственно. Ω является ограниченной областью в плоскости или является ограниченной 3-D областью. c, a, f и неизвестный u являются скалярными, комплексными функциями, заданными на Ω. c может быть матричной функцией на Ω (см. c Коэффициент для Систем). Программное обеспечение может также обработать параболический УЧП

$d \frac{\partial u}{\partial t} - \nabla \cdot (c \nabla u) + a u = f$

гиперболический УЧП

$d \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} - \nabla \cdot (c \nabla u) + a u = f$

и задача о собственных значениях

$- \nabla \cdot (c \nabla u) + a u = λ d u$

где d является комплексной функцией на Ω, и λ является неизвестным собственным значением. Для параболического и гиперболического УЧП коэффициенты c, a, f и d могут зависеть вовремя на решении u, и на его градиенте ∇u. Нелинейный решатель (pdenonlin) доступен для нелинейного эллиптического УЧП

$- \nabla \cdot (c (u) \nabla u) + a (u) u = f (u)$

где c, a и f являются функциями неизвестного решения u и его градиента ∇u. Параболические и гиперболические решатели уравнения также решают нелинейные и зависящие от времени проблемы.

Примечание

Прежде, чем решить нелинейный эллиптический УЧП, из меню Solve в приложении PDE Modeler, выбирают Parameters. Затем установите флажок Use nonlinear solver и нажмите OK.

Для задач о собственных значениях коэффициенты не могут зависеть от решения u или его градиент.

Система УЧП с компонентами N является связанными УЧП N с двойными граничными условиями. Скалярные УЧП - те с N = 1, означая всего один УЧП. Системы УЧП обычно означают N > 1. Документация иногда называет системы многомерными УЧП или УЧП с векторным решением u. Во всех случаях системы УЧП имеют одну геометрию и mesh. Это - только N, количество уравнений, которые могут отличаться.

Все решатели могут обработать системный случай связанных уравнений N. Можно решить N = 1 или 2 уравнения с помощью приложения PDE Modeler и любого количества уравнений с помощью функций командной строки. Например, N = 2 эллиптических уравнения:

$\begin{matrix} - \nabla \cdot (c_{11} \nabla u_{1}) - \nabla \cdot (c_{12} \nabla u_{2}) + a_{11} u_{1} + a_{12} u_{2} = f_{1} \\ - \nabla \cdot (c_{21} \nabla u_{1}) - \nabla \cdot (c_{22} \nabla u_{2}) + a_{21} u_{1} + a_{22} u_{2} = f_{2} \end{matrix}$

Для эллиптической проблемы реализован адаптивный алгоритм улучшения mesh. Это может также использоваться в сочетании с нелинейным решателем. Кроме того, быстрый решатель для уравнения Пуассона на прямоугольной сетке доступен.

Следующие граничные условия заданы для скалярного u:

Dirichlet: hu = r на контуре ∂ Ω.
Generalized Neumann: $\vec{n} \cdot (c \nabla u) + q u = g$ на ∂ Ω.

$\vec{n}$ исходящий нормальный модуль. g, q, h и r являются комплексными функциями, заданными на ∂ Ω. (Задача о собственных значениях является гомогенной проблемой, т.е. g = 0, r = 0.) В нелинейном случае, коэффициенты g, q, h и r могут зависеть от u, и для гиперболического и параболического УЧП, коэффициенты могут зависеть вовремя. Для двумерного системного случая граничное условие Дирихле

$\begin{matrix} h_{11} u_{1} + h_{12} u_{2} = r_{1} \\ h_{21} u_{1} + h_{22} u_{2} = r_{2} \end{matrix}$

обобщенное Нейманово граничное условие

$\begin{matrix} \vec{n} \cdot (c_{11} \nabla u_{1}) + \vec{n} \cdot (c_{12} \nabla u_{2}) + q_{11} u_{1} + q_{12} u_{2} = g_{1} \\ \vec{n} \cdot (c_{21} \nabla u_{1}) + \vec{n} \cdot (c_{22} \nabla u_{2}) + q_{21} u_{1} + q_{22} u_{2} = g_{2} \end{matrix}$

и смешанное граничное условие

$\begin{matrix} h_{11} u_{1} + h_{12} u_{2} = r_{1} \\ \vec{n} \cdot (c_{11} \nabla u_{1}) + \vec{n} \cdot (c_{12} \nabla u_{2}) + q_{11} u_{1} + q_{12} u_{2} = g_{1} + h_{11} μ \\ \vec{n} \cdot (c_{21} \nabla u_{1}) + \vec{n} \cdot (c_{22} \nabla u_{2}) + q_{21} u_{1} + q_{22} u_{2} = g_{2} + h_{12} μ \end{matrix}$

где µ вычисляется таким образом, что граничное условие Дирихле удовлетворено. Граничные условия Дирихле также называются существенными граничными условиями, и Неймановы граничные условия также называются естественными граничными условиями.

Для усовершенствованных, нестандартных приложений можно передать описание областей, граничные условия и т.д. к рабочей области MATLAB^®. Оттуда вы используете функции Partial Differential Equation Toolbox™ для данных об управлении по неструктурированным сеткам. У вас есть полный доступ к генераторам mesh, дискретизациям FEM УЧП и граничных условий, функций интерполяции, и т.д. Можно разработать собственные решатели или использовать FEM, чтобы решить подпроблемы более комплексных алгоритмов. См. также Решают УЧП Программно.

Документация