Документация

Введение в модели Смешанных Эффектов

В статистике effect - что-либо, что влияет на значение переменной отклика при конкретной установке переменных прогноза. Эффекты переводятся в параметры модели. В линейных моделях эффекты становятся коэффициентами, представляя пропорциональные вклады образцовых условий. В нелинейных моделях эффекты часто имеют определенные физические интерпретации и появляются в более общих нелинейных комбинациях.

Fixed effects представляет параметры генеральной совокупности, принятые, чтобы быть тем же каждым разом, когда данные собраны. Оценка фиксированных эффектов является традиционной областью моделирования регрессии. Random effects, для сравнения, является демонстрационно-зависимыми случайными переменными. В моделировании должны быть заданы случайное действие эффектов как дополнительные остаточные члены, и их дистрибутивы и ковариации.

Например, рассмотрите модель устранения препарата от кровотока. Модель использует время t в качестве предиктора и концентрации препарата C как ответ. Нелинейный образцовый термин C _0e–r^t комбинирует параметры C ₀ и r, представление, соответственно, начальная концентрация и уровень устранения. Если данные собраны через несколько человек, разумно принять, что уровень устранения является случайной переменной r _i в зависимости от отдельного i, отличающегося вокруг среднего значения генеральной совокупности $$\overline{r}$$. Термин C _0e–r^t становится

где β = $$\overline{r}$$ фиксированный эффект и b _i = $$r_i-\overline{r}$$ случайный эффект.

Случайные эффекты полезны, когда данные попадают в естественные группы. В модели устранения препарата группы являются просто людьми при исследовании. Более сложные модели могут сгруппировать данные возрастом человека, весом, диетой, и т.д. Несмотря на то, что группы не являются особым вниманием исследования, добавляя, что случайные эффекты к модели расширяют надежность выводов вне определенной выборки людей.

Счет Mixed-effects models и зафиксированные и случайные эффекты. Как со всеми моделями регрессии, их цель состоит в том, чтобы описать переменную отклика как функцию переменных прогноза. Модели смешанных эффектов, однако, распознают корреляции в демонстрационных подгруппах. Таким образом они обеспечивают компромисс между игнорированием групп данных полностью и подбором кривой каждой группе с отдельной моделью.

Иерархия модели смешанных эффектов

Предположим, что данные для нелинейной модели регрессии попадают в один из m отличные группы i = 1..., m. Чтобы составлять группы в модели, напишите ответу j в группе i как:

y _{i, j} является ответом, x _{i j}, является вектором предикторов, φ, является вектором параметров модели и ε _{i, j} является ошибкой измерения или процесса. Индексный j колеблется от 1 до n _i, где n _i является количеством наблюдений в группе i. Функциональный f задает форму модели. Часто, x _{i j} является просто временем наблюдения t _{i j}. Ошибки обычно принимаются, чтобы быть независимыми и тождественно, нормально распределенными, с постоянным отклонением.

Оценки параметров в φ описывают генеральную совокупность, принимая, что те оценки являются тем же самым для всех групп. Если, однако, оценки отличаются группой, модель становится

В модели смешанных эффектов φ _i может быть комбинацией фиксированного и случайного эффекта:

Случайные эффекты b _i обычно описываются как многомерные нормально распределенный со средним нулем и ковариацией Ψ. Оценка фиксированных эффектов, β и ковариация случайных эффектов Ψ предоставляют описание генеральной совокупности, которая не принимает параметры φ_{, i} является тем же самым через группы. При оценке случайных эффектов b _i также дает описание определенных групп в данных.

Параметры модели не должны быть идентифицированы с отдельными эффектами. В целом design matrices A и B используется, чтобы идентифицировать параметры с линейными комбинациями фиксированных и случайных эффектов:

Если матрицы проекта отличаются среди групп, модель становится

Если матрицы проекта также отличаются среди наблюдений, модель становится

Некоторые специфичные для группы предикторы в x _{i j} не могут изменить с наблюдением j. Вызывая тех v _i, модель становится

Определение моделей Смешанных Эффектов

Предположим, что данные для нелинейной модели регрессии попадают в один из m отличные группы i = 1..., m. (А именно, предположите, что группы не вкладываются.), Чтобы задать общую нелинейную модель смешанных эффектов для этих данных:

Модель:

Эта формулировка нелинейной модели смешанных эффектов использует следующее обозначение:

Например, рассмотрите модель устранения препарата от кровотока. Модель включает две перекрывающихся фазы:

Для данных по нескольким людям i модель

где y _{i j} является наблюдаемой концентрацией в отдельном i во время t _{i j}. Модель позволяет в течение различного времени выборки и различных количеств наблюдений для различных людей.

Уровни устранения r _{p i} и r _{q i} должны быть положительны быть физически значимыми. Осуществите это путем представления логарифмических уровней R _{p i} = журнал (r _{p i}) и R _{q i} = журнал (r _{q i}) и перепараметризации модели:

Выбор, какие параметры к модели со случайными эффектами являются важным соображением при создавании модели смешанных эффектов. Один метод должен добавить случайные эффекты во все параметры и оценки использования их отклонений, чтобы определить их значение в модели. Альтернатива должна соответствовать модели отдельно к каждой группе, без случайных эффектов, и посмотреть на изменение оценок параметра. Если оценка значительно различается через группы, или если доверительные интервалы для каждой группы имеют минимальное перекрытие, параметр является хорошим кандидатом на случайный эффект.

Чтобы ввести зафиксированные эффекты β и случайные эффекты b _i для всех параметров модели, повторно выразите модель можно следующим образом:

В обозначении общей модели:

где n _i является количеством наблюдений за отдельным i. В этом случае матрицы проекта A _i и B _i являются, по крайней мере, первоначально, единичными матрицами 4 на 4. Матрицы проекта могут быть изменены, по мере необходимости, чтобы ввести взвешивание отдельных эффектов или зависимость времени.

Подбор кривой модели и оценка ковариационной матрицы Ψ часто приводят к дальнейшим улучшениям. Относительно небольшая оценка для отклонения случайного эффекта предполагает, что это может быть удалено из модели. Аналогично, относительно небольшие оценки для ковариаций среди определенных случайных эффектов предполагает, что полная ковариационная матрица является ненужной. Поскольку случайные эффекты не наблюдаются, Ψ должен быть оценен косвенно. Определение диагонального или диагонального блоком шаблона ковариации для Ψ может улучшить сходимость и эффективность алгоритма подбора.

Функции Statistics and Machine Learning Toolbox™ nlmefit и nlmefitsa соответствуют общей нелинейной модели смешанных эффектов к данным, оценивая фиксированные и случайные эффекты. Функции также оценивают ковариационную матрицу Ψ для случайных эффектов. Дополнительные диагностические выходные параметры позволяют вам оценивать компромиссы между количеством параметров модели и качеством подгонки.

Определение ковариационных моделей

Если модель в Определении Моделей Смешанных Эффектов принимает зависимый группой ковариант, такой как вес (w), модель становится:

Таким образом параметр φ _i для любого человека в i th группа:

Чтобы задать ковариационную модель, используйте опцию 'FEGroupDesign'.

'FEGroupDesign' является массивом p-by-q-by-m, задающим различный p-by-q, фиксированные эффекты разрабатывают матрицу для каждой из групп m. Используя предыдущий пример, массив напоминает следующее:

Выбор nlmefit или nlmefitsa

Statistics and Machine Learning Toolbox обеспечивает две функции, nlmefit и nlmefitsa для подбора кривой нелинейным моделям смешанных эффектов. Каждая функция предусматривает различные возможности, которые могут помочь вам решить, чтобы использовать.

• Методы приближения

• Параметры, Характерные для nlmefitsa

• Модель и требования к данным

Используя выходные функции с моделями Смешанных Эффектов

Поле Outputfcn структуры options задает одну или несколько функций что вызовы решателя после каждой итерации. Как правило, вы можете использовать выходную функцию, чтобы построить точки в каждой итерации или отобразить количества оптимизации из алгоритма. Настраивать выходную функцию:

Для примера выходной функции смотрите Демонстрационную Выходную функцию.

stop = outfun(beta,status,state)

switch state
    case 'iter'
          % Make updates to plot or guis as needed
    case 'init'
          % Setup for plots or guis
    case 'done'
          % Cleanup of plots, guis, or final plot
otherwise
end

stop = outfun(beta,status,state)
stop = false;
% Check if loglikelihood is more than 132.
if status.fval > -132
    stop = true;
end

function retval = stop_outfcn(beta,str,status)
persistent h stop;
if isequal(str.inner.state,'none')
    switch(status)
        case 'init'
            % Initialize dialog
            stop = false;
            h = msgbox('Press STOP to cancel calculations.',...
                'NLMEFIT: Iteration 0 ');
            button = findobj(h,'type','uicontrol');
            set(button,'String','STOP','Callback',@stopper)
            pos = get(h,'Position');
            pos(3) = 1.1 * pos(3);
            set(h,'Position',pos)
            drawnow
        case 'iter'
            % Display iteration number in the dialog title
            set(h,'Name',sprintf('NLMEFIT: Iteration %d',...
                str.iteration))
            drawnow;
        case 'done'
            % Delete dialog
            delete(h);
    end
end
if stop
    % Stop if the dialog button has been pressed
    delete(h)
end
retval = stop;
 
    function stopper(varargin)
        % Set flag to stop when button is pressed
        stop = true;
        disp('Calculation stopped.')
    end
end

opt = statset('OutputFcn', @nlmefitoutputfcn, …)
beta = nlmefit(…, 'Options', opt, …)

opt = statset('OutputFcn', [], …)
beta = nlmefitsa(…, 'Options', opt, …)