Исследуйте арбитраж актива Одно Периода

Этот пример исследует основные арбитражные концепции в одно период, портфель активов с двумя состояниями. Портфель состоит из связи, длинного запаса и длинного колл-опциона на запасе.

Это использует эти функции Symbolic Math Toolbox™:

equationsToMatrix, чтобы преобразовать линейную систему уравнений к матрице.
linsolve, чтобы решить систему.
Символьные эквиваленты стандартных функций MATLAB®, такие как diag.

Этот пример символически выводит нейтральные к риску вероятности и досрочную цену в течение одно периода, сценария с двумя состояниями.

Задайте параметры портфеля

Создайте символьную переменную r, представляющую безрисковый уровень за период. Установите предположение, что r является положительным значением.

syms r positive

Задайте параметры в течение начала одного периода, time = 0. Здесь S0 является курсом акций, и C0 является ценой колл-опциона с забастовкой, K.

syms S0 C0 K positive

Теперь, задайте параметры для конца периода, time = 1. Маркируйте два возможных состояния в конце периода как U (курс акций за этот период повышается), и D (курс акций за этот период понижается). Таким образом SU и SD являются курсами акций в состояниях U и D, и CU является значением вызова в состоянии U. Обратите внимание на то, что $S D < = K < = S U$ .

syms SU SD CU positive

Цена облигаций в time = 0 равняется 1. Обратите внимание на то, что этот пример игнорирует затраты на трение.

Соберите цены в time = 0 в вектор-столбец.

prices = [1 S0 C0]'

prices = 
 $(\begin{matrix} 1 \\ S_{0} \\ C_{0} \end{matrix})$

Соберите выплаты портфеля в time = 1 в матрицу payoff. Столбцы payoff соответствуют выплатам для состояний D и U. Строки соответствуют выплатам для связи, запаса и вызова. Выплатой для связи является 1 + r. Выплата для вызова в состоянии D является нулем, поскольку это не осуществлено (потому что $S D < = K$ ).

payoff = [(1 + r), (1 + r); SD, SU; 0, CU]

payoff = 
 $(\begin{matrix} r + 1 & r + 1 \\ SD & SU \\ 0 & CU \end{matrix})$

CU стоит SU - K в состоянии U. Замените этим значением в payoff.

payoff = subs(payoff, CU, SU - K)

payoff = 
 $(\begin{matrix} r + 1 & r + 1 \\ SD & SU \\ 0 & SU - K \end{matrix})$

Решите для нейтральных к риску вероятностей

Задайте вероятности достижения состояний U и D.

syms pU pD real

Под без арбитражей eqns == 0 должен всегда сохраняться с положительным pU и pD.

eqns = payoff*[pD; pU] - prices

eqns = 
 $(\begin{matrix} фунт (r + 1) + pU (r + 1) - 1 \\ SD фунт - S_{0} + SU pU \\ - C_{0} - pU (K - SU) \end{matrix})$

Преобразуйте уравнения, чтобы использовать нейтральные к риску вероятности.

syms pDrn pUrn real;
eqns = subs(eqns, [pD; pU], [pDrn; pUrn]/(1 + r))

eqns = 
 $(\begin{matrix} pDrn + pUrn - 1 \\ \frac{SD pDrn}{r + 1} - S_{0} + \frac{SU pUrn}{r + 1} \\ - C_{0} - \frac{pUrn (K - SU)}{r + 1} \end{matrix})$

Неизвестными переменными является pDrn, pUrn и C0. Преобразуйте линейную систему к матричной форме с помощью этих неизвестных переменных.

[A, b] = equationsToMatrix(eqns, [pDrn, pUrn, C0]')

A = 
 $(\begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ \frac{SD}{r + 1} & \frac{SU}{r + 1} & 0 \\ 0 & - \frac{K - SU}{r + 1} & - 1 \end{matrix})$

b = 
 $(\begin{matrix} 1 \\ S_{0} \\ 0 \end{matrix})$

Используя linsolve, найдите решение для нейтральных к риску вероятностей и досрочной цены.

x = linsolve(A, b)

x = 
 $(\begin{matrix} \frac{S_{0} - SU + S_{0} r}{SD - SU} \\ - \frac{S_{0} - SD + S_{0} r}{SD - SU} \\ \frac{(K - SU) (S_{0} - SD + S_{0} r)}{(SD - SU) (r + 1)} \end{matrix})$

Проверьте решение

Проверьте, что под нейтральными к риску вероятностями, x(1:2), ожидаемой нормой прибыли для портфеля, E_return равняется безрисковому уровню, r.

E_return = diag(prices)\(payoff - [prices,prices])*x(1:2);
E_return = simplify(subs(E_return, C0, x(3)))

E_return = 
 $(\begin{matrix} r \\ r \\ r \end{matrix})$

Протестируйте на нарушения без Арбитражей

Как пример тестирования нарушений без арбитражей, используйте следующие значения: r = 5%, S0 = 100 и K = 100. Для SU < 105 нарушено условие без арбитражей, потому что pDrn = xSol(1) отрицателен (SU >= SD). Далее, для любой досрочной цены кроме xSol(3), существует арбитраж.

xSol = simplify(subs(x, [r,S0,K], [0.05,100,100]))

xSol = 
 $(\begin{matrix} - \frac{SU - 105}{SD - SU} \\ \frac{SD - 105}{SD - SU} \\ \frac{20 (SD - 105) (SU - 100)}{21 (SD - SU)} \end{matrix})$

Постройте досрочную цену как поверхность

Постройте досрочную цену, C0 = xSol(3), для 50 <= SD <= 100 и 105 <= SU <= 150. Обратите внимание на то, что вызов стоит больше, когда "отклонение" базового курса акций выше, например, SD = 50, SU = 150.

fsurf(xSol(3), [50,100,105,150])
xlabel SD
ylabel SU
title 'Call Price'

Ссылка

Advanced Derivatives, Pricing and Risk Management: Theory, Tools and Programming Applications Альбанезе, C., Campolieti, G.

Документация