Гармонический анализ передаточной функции Вывод

Этот пример извлекает решения закрытой формы для коэффициентов частот в выходном сигнале. Результаты выходного сигнала передачи входа через аналитическую нелинейную передаточную функцию.

Этот пример использует следующие возможности Symbolic Math Toolbox™:

Расширение ряда Тейлора с помощью taylor
Манипуляция с формулами

Мотивация

Чтобы мотивировать решение, мы берем простой элемент из теории схемы: идеальный диод (в операции прямого смещения). Током, I, является вывод, который зависит экспоненциально от входа, V. Диоды нашли использование в создании устройств, таких как микшеры и усилители, где понимание гармонической структуры вывода может быть полезным в охарактеризовании устройства и встрече спецификаций проекта.

syms Is V Vo real;
I = Is*(exp(V/Vo) - 1)

I =  $(e^{V / Vo} - 1)$

Если V будет линейная комбинация 2 сигналов в LO частот и РФ, нелинейная передаточная функция смешает LO и РФ, чтобы создать вывод с содержимым в комбинаторных гармонических комбинациях частоты: freqs = {LO, 2LO, РФ, 2RF, LO-RF, LO-2RF...}.

Цель этого примера состоит в том, чтобы определить коэффициенты freqs в выводе.

Задайте входной сигнал

Входной сигнал является линейной комбинацией двух сигналов косинуса.

syms c1 c2 t LO RF real;
input = c1*cos(LO*t) + c2*cos(RF*t)

input =  $c_{1} потому что (LO t) + c_{2} потому что (РФ t)$

Задайте пробел гармонических комбинаций частоты

Ниже, harmCombinations является комбинаторной комбинацией целочисленных множителей входных частот LO и RF. Мы ограничиваем пробел интереса, заданного 3 гармониками каждый в направлениях RF и LO.

n = 3;
harmCombinations = [kron((0:n)',ones(n*2+1,1)),repmat((-n:n)',n+1,1)];
freqs = harmCombinations*[LO;RF];

Первые частоты n являются только отрицательными гармоническими частотами и являются поэтому избыточным рассмотрением, что входной сигнал действителен.

freqs = freqs(n+1:end)

freqs = 
 $(\begin{matrix} 0 \\ РФ \\ 2 РФ \\ 3 РФ \\ LO - 3 РФ \\ LO - 2 РФ \\ LO - РФ \\ LO \\ LO + РФ \\ LO + 2 РФ \\ LO + 3 РФ \\ 2 LO - 3 РФ \\ 2 LO - 2 РФ \\ 2 LO - РФ \\ 2 LO \\ 2 LO + РФ \\ 2 LO + 2 РФ \\ 2 LO + 3 РФ \\ 3 LO - 3 РФ \\ 3 LO - 2 РФ \\ 3 LO - РФ \\ 3 LO \\ 3 LO + РФ \\ 3 LO + 2 РФ \\ 3 LO + 3 РФ \end{matrix})$

Разложение Тейлора

Чтобы покрыть спектр частоты интереса, Ряд Тейлора порядка четыре для I(V) достаточен.

s = taylor(I, V, 'Order', 4)

s = 
 $\frac{V^{2}}{2 {Vo}^{2}} + \frac{V^{3}}{6 {Vo}^{3}} + \frac{V}{Vo}$

Используйте комбинацию входного сигнала LO и частот RF и выразите f с точки зрения cos(LO*t) и cos(RF*t).

f0 = subs(s, V, input);
f = expand(f0)

f = 
 $\begin{array}{l} \frac{{c_{1}}^{2} σ_{2}}{2 {Vo}^{2}} + \frac{{c_{1}}^{3} {потому что (LO t)}^{3}}{6 {Vo}^{3}} + \frac{{c_{2}}^{2} σ_{1}}{2 {Vo}^{2}} + \frac{{c_{2}}^{3} {потому что (РФ t)}^{3}}{6 {Vo}^{3}} + \frac{c_{1} потому что (LO t)}{Vo} + \frac{c_{2} потому что (РФ t)}{Vo} + \frac{c_{1} c_{2} потому что (LO t) потому что (РФ t)}{{Vo}^{2}} + \frac{c_{1} {c_{2}}^{2} потому что (LO t) σ_{1}}{2 {Vo}^{3}} + \frac{{c_{1}}^{2} c_{2} σ_{2} потому что (РФ t)}{2 {Vo}^{3}} \\ где \\ σ_{1} = {потому что (РФ t)}^{2} \\ σ_{2} = {потому что (LO t)}^{2} \end{array}$

Перепишите f с точки зрения одной степеней косинусов.

f = combine(f, 'sincos')

f = 
 $\frac{{c_{1}}^{2}}{4 {Vo}^{2}} + \frac{{c_{2}}^{2}}{4 {Vo}^{2}} + \frac{c_{1} потому что (LO t)}{Vo} + \frac{c_{2} потому что (РФ t)}{Vo} + \frac{{c_{1}}^{2} потому что (2 LO t)}{4 {Vo}^{2}} + \frac{{c_{1}}^{3} потому что (LO t)}{8 {Vo}^{3}} + \frac{{c_{1}}^{3} потому что (3 LO t)}{24 {Vo}^{3}} + \frac{{c_{2}}^{2} потому что (2 РФ t)}{4 {Vo}^{2}} + \frac{{c_{2}}^{3} потому что (РФ t)}{8 {Vo}^{3}} + \frac{{c_{2}}^{3} потому что (3 РФ t)}{24 {Vo}^{3}} + \frac{c_{1} {c_{2}}^{2} потому что (LO t)}{4 {Vo}^{3}} + \frac{{c_{1}}^{2} c_{2} потому что (РФ t)}{4 {Vo}^{3}} + \frac{c_{1} c_{2} потому что (LO t + РФ t)}{2 {Vo}^{2}} + \frac{c_{1} c_{2} потому что (LO t - РФ t)}{2 {Vo}^{2}} + \frac{c_{1} {c_{2}}^{2} потому что (LO t - 2 РФ t)}{8 {Vo}^{3}} + \frac{c_{1} {c_{2}}^{2} потому что (LO t + 2 РФ t)}{8 {Vo}^{3}} + \frac{{c_{1}}^{2} c_{2} потому что (2 LO t + РФ t)}{8 {Vo}^{3}} + \frac{{c_{1}}^{2} c_{2} потому что (2 LO t - РФ t)}{8 {Vo}^{3}}$

Извлеките и отобразите коэффициенты

Получите непостоянное т.е. условия частоты гармоники неDC формы cos(freq*t).

cosFreqs = cos(expand(freqs*t));
terms = collect(setdiff(cosFreqs', sym(1)));

Извлеките коэффициенты для всех гармонических условий частоты включая DC.

newvars = sym('x', [1,numel(terms)]);
[cx, newvarsx] = coeffs(subs(f,terms,newvars), newvars);
tx = sym(zeros(1,numel(cx)));
for k=1:numel(newvarsx)
    if newvarsx(k) ~= 1
        tx(k) = terms(newvars == newvarsx(k));
    else
        tx(k) = newvarsx(k);
    end
end
cx = simplify(cx);

Отобразите содействующую таблицу использования, T. Используйте cosFreqs в качестве идентификатора строки.

cosFreqs = arrayfun(@char,cosFreqs,'UniformOutput',false);
Frequencies = arrayfun(@char,freqs,'UniformOutput',false);
Coefficients = num2cell(zeros(size(freqs)));
T = table(Frequencies,Coefficients,'RowNames',cosFreqs);

Присвойте cx соответствующим строкам T, соответствующего условиям косинуса tx.

nonzeroCosFreqs = arrayfun(@char,tx,'UniformOutput',false).';
T(nonzeroCosFreqs,'Coefficients') = arrayfun(@char,cx,'UniformOutput',false).';

Теперь, удалите имена строки, когда они избыточны.

T.Properties.RowNames = {};

Заметьте, что выражения для условий симметричны в LO и РФ.

T=25×2 table
     Frequencies                    Coefficients                
    _____________    ___________________________________________

    '0'              '(Is*(c1^2 + c2^2))/(4*Vo^2)'              
    'RF'             '(Is*c2*(8*Vo^2 + 2*c1^2 + c2^2))/(8*Vo^3)'
    '2*RF'           '(Is*c2^2)/(4*Vo^2)'                       
    '3*RF'           '(Is*c2^3)/(24*Vo^3)'                      
    'LO - 3*RF'      [                                        0]
    'LO - 2*RF'      '(Is*c1*c2^2)/(8*Vo^3)'                    
    'LO - RF'        '(Is*c1*c2)/(2*Vo^2)'                      
    'LO'             '(Is*c1*(8*Vo^2 + c1^2 + 2*c2^2))/(8*Vo^3)'
    'LO + RF'        '(Is*c1*c2)/(2*Vo^2)'                      
    'LO + 2*RF'      '(Is*c1*c2^2)/(8*Vo^3)'                    
    'LO + 3*RF'      [                                        0]
    '2*LO - 3*RF'    [                                        0]
    '2*LO - 2*RF'    [                                        0]
    '2*LO - RF'      '(Is*c1^2*c2)/(8*Vo^3)'                    
    '2*LO'           '(Is*c1^2)/(4*Vo^2)'                       
    '2*LO + RF'      '(Is*c1^2*c2)/(8*Vo^3)'                    
      ⋮

Проверьте коэффициенты

Как показано ниже, выходная форма волны восстановлена от коэффициентов и имеет точное совпадение с выводом.

simplify(f0 - (dot(tx,cx)))

ans =  $0$

Постройте нелинейную передачу

Следующее показывает конкретную нелинейную передаточную функцию, анализируемую выше, во временном и частотном диапазоне, для определенных значений отношений напряжения и частот. Во-первых, извлеките данные.

sample_values = struct('c1',0.4,'c2',1,'LO',800,'RF',13600,'Vo',1,'Is',1);
sample_input = subs(input,sample_values)

sample_input = 
 $\frac{2 потому что (800 t)}{5} + потому что (13600 t)$

sample_output = subs(f,sample_values)

sample_output = 
 $\frac{127 потому что (800 t)}{250} + \frac{потому что (1600 t)}{25} + \frac{потому что (2400 t)}{375} + \frac{потому что (12000 t)}{50} + \frac{потому что (12800 t)}{5} + \frac{233 потому что (13600 t)}{200} + \frac{потому что (14400 t)}{5} + \frac{потому что (15200 t)}{50} + \frac{потому что (26400 t)}{20} + \frac{потому что (27200 t)}{4} + \frac{потому что (28000 t)}{20} + \frac{потому что (40800 t)}{24} + \frac{29}{100}$

sample_freqs = zeros(size(tx));
for k=1:numel(tx)
    cosTerm = subs(tx(k),sample_values);
    freq = simplify(acos(cosTerm),'IgnoreAnalyticConstraints',true)/t;
    sample_freqs(k) = double(freq);
end
sample_heights = double(subs(cx,sample_values));

Затем используйте fplot и stem, чтобы построить функции и их гармонические частоты.

subplot(2,2,1);
fplot(sample_input,[0,0.01])
title Input
subplot(2,2,3);
stem([sample_values.LO, sample_values.RF],[sample_values.c1,sample_values.c2]);
title 'Input Frequencies'

subplot(2,2,2);
fplot(sample_output,[0,0.01])
title Output
subplot(2,2,4);
stem(sample_freqs,sample_heights)
title 'Output Frequencies'

Документация