Интегрирование

Этот пример показывает, как вычислить определенные интегралы с помощью Symbolic Math Toolbox™.

Определенный интеграл

Покажите что определенный интеграл $\int_{a}^{b} f (x) d x$ для $f (x) = s i n (x)$ на $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$ 0.

syms x
int(sin(x),pi/2,3*pi/2)

ans =  $0$

Определенные интегралы в максимумах и минимумах

Максимизировать $F (a) = \int_{- a}^{a} \sin (a x) \sin (x / a) d x$ для $a \geq 0$ , во-первых, задайте символьные переменные и примите это $a \geq 0$ :

syms a x
assume(a >= 0);

Затем задайте функцию, чтобы максимизировать:

F = int(sin(a*x)*sin(x/a),x,-a,a)

F = 
 ${\begin{array}{cl} 1 - \frac{\sin (2)}{2} & если a = 1 \\ \frac{2 a (\sin (a^{2}) потому что (1) - a^{2} потому что (a^{2}) \sin (1))}{a^{4} - 1} & если a \neq 1 \end{array}$

Отметьте особый случай здесь $a = 1$ . Чтобы сделать вычисления легче, используйте assumeAlso, чтобы проигнорировать эту возможность (и более поздняя проверка это $a = 1$ не максимум):

assumeAlso(a ~= 1);
F = int(sin(a*x)*sin(x/a),x,-a,a)

F = 
 $\frac{2 a (\sin (a^{2}) потому что (1) - a^{2} потому что (a^{2}) \sin (1))}{a^{4} - 1}$

Создайте график $F$ проверять его форму:

fplot(F,[0 10])

Используйте diff, чтобы найти производную $F$ относительно $a$ :

Fa = diff(F,a)

Fa = 
 $\begin{array}{l} \frac{2 σ_{1}}{a^{4} - 1} + \frac{2 a (2 a потому что (a^{2}) потому что (1) - 2 a потому что (a^{2}) \sin (1) + 2 a^{3} \sin (a^{2}) \sin (1))}{a^{4} - 1} - \frac{8 a^{4} σ_{1}}{{(a^{4} - 1)}^{2}} \\ где \\ σ_{1} = \sin (a^{2}) потому что (1) - a^{2} потому что (a^{2}) \sin (1) \end{array}$

Нули $F a$ локальные экстремальные значения $F$ :

hold on
fplot(Fa,[0 10])
grid on

Максимум между 1 и 2. Используйте vpasolve, чтобы найти приближение нуля $F a$ в этом интервале:

a_max = vpasolve(Fa,a,[1,2])

a_max =  $1.5782881585233198075558845180583$

Используйте subs, чтобы получить максимальное значение интеграла:

F_max = subs(F,a,a_max)

F_max =  $0.36730152527504169588661811770092 потому что (1) + 1.2020566879911789986062956284113 \sin (1)$

Результат все еще содержит точные числа $\sin (1)$ и $потому что (1)$ . Используйте vpa, чтобы заменить их числовыми приближениями:

vpa(F_max)

ans =  $1.2099496860938456039155811226054$

Проверяйте что исключенный случай $a = 1$ не приводит к большему значению:

vpa(int(sin(x)*sin(x),x,-1,1))

ans =  $0.54535128658715915230199006704413$

Несколько интегрирование

Численное интегрирование по более высоким размерным областям имеет специальные функции:

integral2(@(x,y) x.^2-y.^2,0,1,0,1)

ans = 4.0127e-19

Нет таких специальных функций для более многомерного символьного интегрирования. Используйте вложенные одномерные интегралы вместо этого:

syms x y
int(int(x^2-y^2,y,0,1),x,0,1)

ans =  $0$

Линейные интегралы

Задайте векторное поле F на 3D пробеле:

syms x y z
F(x,y,z) = [x^2*y*z, x*y, 2*y*z];

Затем, задайте кривую:

syms t
ux(t) = sin(t);
uy(t) = t^2-t;
uz(t) = t;

Линейный интеграл F вдоль кривой u задан как $\int f \cdot d u = \int f (u x (t), u y (t), u z (t)) \cdot \frac{d u}{d t} d t$ , где $\cdot$ на правой стороне обозначает скалярное произведение.

Используйте это определение, чтобы вычислить линейный интеграл для $t$ от $[0, 1]$

F_int = int(F(ux,uy,uz)*diff([ux;uy;uz],t),t,0,1)

F_int = 
 $\frac{19 потому что (1)}{4} - \frac{потому что (3)}{108} - 12 \sin (1) + \frac{\sin (3)}{27} + \frac{395}{54}$

Получите числовое приближение этого точного результата:

vpa(F_int)

ans =  $- 0.20200778585035447453044423341349$

Документация