Аппроксимирующая функция Padé входа с временной задержкой

Этот пример показывает, как использовать аппроксимирующую функцию Padé в теории системы управления смоделировать задержки ответа системы первого порядка.

Задержки возникают в системах, таких как химические и транспортные процессы, где существует задержка между входом и откликом системы. Когда эти входные параметры моделируются, они называются входными параметрами потери времени.

Введение

Аппроксимирующая функция Padé порядка [m, n] аппроксимирует функциональный f(x) вокруг $x = x_{0}$ как

$\frac{a_{0} + a_{1} (x - x_{0}) + \dots + a_{m} (x - x_{0})^{m}}{1 + b_{1} (x - x_{0}) + \dots + b_{n} (x - x_{0})^{n}} .$

Аппроксимирующая функция Padé является рациональной функцией, сформированной отношением двух степенных рядов. Поскольку это - рациональная функция, это более точно, чем Ряд Тейлора в приближении функций с полюсами. Аппроксимирующая функция Padé представлена функцией Symbolic Math Toolbox™ pade.

Когда полюс или нуль существуют в точке расширения $x = x_{0}$ , точность уменьшений аппроксимирующей функции Padé. Чтобы увеличить точность, используйте альтернативную форму аппроксимирующей функции Padé, которая является

$\frac{(x - x_{0})^{p} (a_{0} + a_{1} (x - x_{0}) + \dots + a_{m} (x - x_{0})^{m})}{1 + b_{1} (x - x_{0}) + \dots + b_{n} (x - x_{0})^{n}} .$

Функция pade возвращает альтернативную форму аппроксимирующей функции Padé, когда вы устанавливаете входной параметр OrderMode на Relative.

Найдите передаточную функцию системы первого порядка

Поведение системы первого порядка описано этим дифференциальным уравнением

$τ \frac{d y (t)}{d t} + y (t) = a x (t) .$

Введите дифференциальное уравнение в MATLAB®.

syms tau a x(t) y(t) xS(s) yS(s) H(s) tmp
F = tau*diff(y)+y == a*x;

Найдите Преобразование Лапласа F с помощью laplace.

F = laplace(F,t,s)

F =  $Лаплас (y (t), t, s) - τ (y (0) - s Лаплас (y (t), t, s)) = a Лаплас (x (t), t, s)$

Примите, что ответом системы в t = 0 является 0. Используйте subs, чтобы заменить y(0) = 0.

F = subs(F,y(0),0)

F =  $Лаплас (y (t), t, s) + s τ Лаплас (y (t), t, s) = a Лаплас (x (t), t, s)$

Чтобы собрать распространенные слова, используйте simplify.

F = simplify(F)

F =  $(s τ + 1) Лаплас (y (t), t, s) = a Лаплас (x (t), t, s)$

Для удобочитаемости замените Преобразования Лапласа x(t) и y(t) с xS(s) и yS(s).

F = subs(F,[laplace(x(t),t,s) laplace(y(t),t,s)],[xS(s) yS(s)])

F =  $yS (s) (s τ + 1) = a xS (s)$

Преобразованием Лапласа передаточной функции является yS(s)/xS(s). Разделите обе стороны уравнения xS(s) и используйте нижние индексы, чтобы заменить yS(s)/xS(s) на H(s).

F = F/xS(s);
F = subs(F,yS(s)/xS(s),H(s))

F =  $H (s) (s τ + 1) = a$

Решите уравнение для H(s). Замените H(s) с фиктивной переменной, решите для фиктивного переменного использования, решают и присваивают решение Hsol(s).

F = subs(F,H(s),tmp);
Hsol(s) = solve(F,tmp)

Hsol(s) = 
 $\frac{a}{s τ + 1}$

Найдите ответ системы к задержанному временем входу шага

Вход к системе первого порядка является задержанным временем входом шага. Чтобы представлять вход шага, используйте heaviside. Задержите вход тремя единицами измерения времени. Найдите Преобразование Лапласа с помощью laplace.

step = heaviside(t - 3);
step = laplace(step)

step = 
 $\frac{e^{- 3 s}}{s}$

Найдите ответ системы, которая является продуктом передаточной функции и входа.

y = Hsol(s)*step

y = 
 $\frac{a e^{- 3 s}}{s (s τ + 1)}$

Чтобы позволить строить ответа, установите параметры a и tau к определенным значениям. Для a и tau, выберите значения 1 и 3, соответственно.

y = subs(y,[a tau],[1 3]);
y = ilaplace(y,s);

Найдите ответ системы Используя аппроксимирующие функции Padé

Найдите аппроксимирующую функцию Padé порядка [2 2] входа шага с помощью входного параметра Порядка для pade.

stepPade22 = pade(step,'Order',[2 2])

stepPade22 = 
 $\frac{3 s^{2} - 4 s + 2}{2 s (s + 1)}$

Найдите ответ на вход путем умножения передаточной функции и аппроксимирующей функции Padé входа.

yPade22 = Hsol(s)*stepPade22

yPade22 = 
 $\frac{a (3 s^{2} - 4 s + 2)}{2 s (s τ + 1) (s + 1)}$

Найдите обратное Преобразование Лапласа yPade22 с помощью ilaplace.

yPade22 = ilaplace(yPade22,s)

yPade22 = 
 $a + \frac{9 a e^{- s}}{2 τ - 2} - \frac{a e^{- \frac{s}{τ}} (2 τ^{2} + 4 τ + 3)}{τ (2 τ - 2)}$

Чтобы построить ответ, установите параметры a и tau к их значениям 1 и 3, соответственно.

yPade22 = subs(yPade22,[a tau],[1 3])

yPade22 = 
 $\frac{9 e^{- s}}{4} - \frac{11 e^{- \frac{s}{3}}}{4} + 1$

Постройте ответ системы y и ответ, вычисленный от аппроксимирующей функции Padé yPade22.

fplot(y,[0 20])
hold on
fplot(yPade22, [0 20])
grid on
title 'Padé approximant for dead-time step input'
legend('Response to dead-time step input', 'Padé approximant [2 2]',...
    'Location', 'Best');

Увеличьте Точность использования Аппроксимирующей функции Padé OrderMode

Аппроксимирующая функция Padé [2 2] не представляет ответ хорошо, потому что полюс существует в точке расширения 0. Чтобы увеличить точность pade, когда существует полюс или нуль в точке расширения, устанавливает входной параметр OrderMode на Родственника и повторяют шаги. Для получения дополнительной информации смотрите pade.

stepPade22Rel = pade(step,'Order',[2 2],'OrderMode','Relative')

stepPade22Rel = 
 $\frac{3 s^{2} - 6 s + 4}{s (3 s^{2} + 6 s + 4)}$

yPade22Rel = Hsol(s)*stepPade22Rel

yPade22Rel = 
 $\frac{a (3 s^{2} - 6 s + 4)}{s (s τ + 1) (3 s^{2} + 6 s + 4)}$

yPade22Rel = ilaplace(yPade22Rel);
yPade22Rel = subs(yPade22Rel,[a tau],[1 3])

yPade22Rel = 
 $\frac{12 e^{- t} (потому что (\frac{\sqrt{3} t}{3}) + \frac{2 \sqrt{3} \sin (\frac{\sqrt{3} t}{3})}{3})}{7} - \frac{19 e^{- \frac{t}{3}}}{7} + 1$

fplot(yPade22Rel, [0 20], 'DisplayName', 'Relative Padé approximant [2 2]')

Увеличьте точность аппроксимирующей функции Padé путем увеличения порядка

Можно увеличить точность аппроксимирующей функции Padé путем увеличения ее порядка. Увеличьте порядок до [4 5] и повторите шаги. Аппроксимирующая функция Padé [n-1 n] лучше в приближении ответа в t = 0, чем аппроксимирующая функция Padé [n n].

stepPade45 = pade(step,'Order',[4 5])

stepPade45 = 
 $\frac{27 s^{4} - 180 s^{3} + 540 s^{2} - 840 s + 560}{s (27 s^{4} + 180 s^{3} + 540 s^{2} + 840 s + 560)}$

yPade45 = Hsol(s)*stepPade45

yPade45 = 
 $\frac{a (27 s^{4} - 180 s^{3} + 540 s^{2} - 840 s + 560)}{s (s τ + 1) (27 s^{4} + 180 s^{3} + 540 s^{2} + 840 s + 560)}$

yPade45 = subs(yPade45,[a tau],[1 3])

yPade45 = 
 $\frac{27 s^{4} - 180 s^{3} + 540 s^{2} - 840 s + 560}{s (3 s + 1) (27 s^{4} + 180 s^{3} + 540 s^{2} + 840 s + 560)}$

yPade45 = vpa(ilaplace(yPade45));
display('yPade45 ='); pretty(yPade45);

yPade45 =
exp(-1.930807068546914778929595950184 t)

   cos(0.57815608595633583454598214328008

   t) 3.2418384981662546679005910164486

   - exp(-0.33333333333333333333333333333333 t)

   2.7182817182817182817182817182817

   - exp(-1.4025262647864185544037373831494 t)

   cos(1.7716120279045018112388813990878

   t) 1.5235567798845363861823092981669

   + exp(-1.930807068546914778929595950184 t)

   sin(0.57815608595633583454598214328008

   t) 11.595342871672681856604670597166

   - exp(-1.4025262647864185544037373831494 t)

   sin(1.7716120279045018112388813990878

   t) 1.7803798379230333426855987436911 + 1.0

fplot(yPade45, [0 20], 'DisplayName', 'Padé approximant [4 5]')

Заключения

Следующие моменты показали:

Аппроксимирующие функции Padé могут смоделировать входные параметры шага потери времени.
Точность аппроксимирующей функции Padé увеличивается с увеличением порядка аппроксимирующей функции.
Когда полюс или нуль существуют в точке расширения, аппроксимирующая функция Padé неточна о точке расширения. Чтобы увеличить точность аппроксимирующей функции, установите опцию OrderMode на Relative. Можно также использовать, увеличивают порядок знаменателя относительно числителя.

Документация