Жорданова каноническая форма (Жорданова нормальная форма) следует из попыток преобразовать матрицу в ее диагональную форму преобразованием подобия. Для данного матричного A найдите несингулярный матричный V, так, чтобы inv(V)*A*V, или, более кратко, J = V\A*V, был “максимально близко к диагонали”. Почти для всех матриц Жорданова каноническая форма является диагональной матрицей собственных значений, и столбцы матрицы преобразования являются собственными векторами. Это всегда происходит, если матрица симметрична или если она имеет отличные собственные значения. Некоторые несимметричные матрицы с несколькими собственными значениями не могут быть преобразованы в диагональные формы. Жорданова форма имеет собственные значения на своей диагонали, но некоторые супердиагональные элементы один вместо нуля. Оператор
J = jordan(A)
вычисляет Жорданову каноническую форму A. Оператор
[V,J] = jordan(A)
также вычисляет преобразование подобия где J = inv(V)*A*V. Столбцы V являются обобщенными собственными векторами A.
Жорданова форма чрезвычайно чувствительна к изменениям. Почти любое изменение в A заставляет свою Жорданову форму быть диагональной. Это подразумевает, что A должен быть известен точно (т.е. без ошибки округления, и т.д.) и делает очень трудным вычислить Жорданову форму надежно с арифметикой с плавающей точкой. Таким образом вычисление Жордановой формы со значениями с плавающей точкой ненадежно и не рекомендуемое.
Например, позволить
A = sym([12,32,66,116;-25,-76,-164,-294;
21,66,143,256;-6,-19,-41,-73])A = [ 12, 32, 66, 116] [ -25, -76, -164, -294] [ 21, 66, 143, 256] [ -6, -19, -41, -73]
Затем
[V,J] = jordan(A)
производит
V = [ 4, -2, 4, 3] [ -6, 8, -11, -8] [ 4, -7, 10, 7] [ -1, 2, -3, -2] J = [ 1, 1, 0, 0] [ 0, 1, 0, 0] [ 0, 0, 2, 1] [ 0, 0, 0, 2]
Покажите, что J и inv(V)*A*V равны при помощи isequal. Функция isequal возвращает логический 1 (true), означающий, что входные параметры равны.
isequal(J, inv(V)*A*V)
ans = logical 1
От J мы видим, что A имеет двойное собственное значение в 1, с одним Иорданским блоком и двойным собственным значением в 2, также с одним Иорданским блоком. Матрица имеет только два собственных вектора, V(:,1) и V(:,3). Они удовлетворяют
A*V(:,1) = 1*V(:,1) A*V(:,3) = 2*V(:,3)
Другие два столбца V являются обобщенными собственными векторами класса 2. Они удовлетворяют
A*V(:,2) = 1*V(:,2) + V(:,1) A*V(:,4) = 2*V(:,4) + V(:,3)
В математическом обозначении с v j = v(:,j), столбцы V и собственных значений удовлетворяют отношения